Physik 4. - 6. Klasse 2013

Physik 4. - 6. Klasse 2013C. Ferndriger30. April 2013

26.4 Die Geschwindigkeit einer fortlaufenden Welle . . . . . . . . . . 11226.5 Die Wellengeschwindigkeit für ein gespanntes Seil . . . . . . . . 11426.6 Die Energietransportrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11426.7 Das Superpositionsprinzip für Wellen . . . . . . . . . . . . . . . 11526.8 Die Interferenz von Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11626.9 Darstellung einer Welle durch einen Vektor . . . . . . . . . . . . 11726.10Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11826.11Stehende Wellen und Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11827 RC-Kreise 12127.1 Laden eines Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12127.2 Entladen eines Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12228 Selbstinduktion 12329 Gedämpfte harmonische Schwingungen 12530 Elektromagnetische Schwingkreise 12730.1 Der LC-Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12730.2 Kreisfrequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12830.3 Schwingung der elektrischen und magnetischen Energie . . . . . 12830.4 Gedämpfte Schwingung in einem RLC − Schwingkreis . . . . . . 12931 Wechselstrom 13131.1 Der ohmsche Widerstand im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . 13131.2 Die Spule im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13331.3 Der Kondensator im Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . 13431.4 Die Leistung des Wechselstromes . . . . . . . . . . . . . . . . . 13531.5 Der in Reihe geschaltete RLC − Kreis . . . . . . . . . . . . . . . 13632 Interferenz 13932.1 Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13932.2 Licht als Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13932.3 Wellenlänge und Brechungsindex . . . . . . . . . . . . . . . . . 14032.4 Der Doppelspaltversuch von Young . . . . . . . . . . . . . . . . 14132.5 Lokalisierung der Interferenzstreifen . . . . . . . . . . . . . . . . 14132.6 Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14232.7 Intensitäten bei der Interferenz am Doppelspalt . . . . . . . . . . 14332.8 Interferenz an dünnen Schichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14433 Beugung 14533.1 Beugung an einem Einzelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14533.2 Lokalisierung der Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465

TERVEZETA MINISZTER ÁLLÁSPONTJÁT NEM TÜKRÖZI7ezek után más funkciót kap, a célterületeket tömörítő katalógust fogja csak tartalmazni.A Pályázati Felhívást az Irányító Hatóság a honlapján közzéteszi, ezt követően az MVHa honlapján a célterület-katalógust kereshető formában az ügyfelek használatára bocsátja.Az Irányító Hatóság ezzel is hozzájárul a LEADER program végrehajtásahatékonyságának növeléséhez, a vidék fejlesztésének tervezésében és végrehajtásában avidéki szereplők teljesebb részvételéhez, valamint a kormányprogrambanmegfogalmazott vidéki felzárkóztatásra vonatkozó célkitűzések megvalósításához.Az előterjesztő részéről nyilatkozó:4. Részletes kommunikációs terv:V. Németh ZsoltállamtitkárA rendelet előkészítését országos társadalmi vita előzte meg. A tervezet egyeztetés ésvéleményezés céljából megküldésre kerül a LEADER HACS-ok részére. A kihirdetéstkövetően pedig tájékoztató fórumok tartására kerül sor.Javasolt-e az előterjesztés kommunikációja?Kormányülést követő szóvivői tájékoztatóTárcaközleményTárca által szervezett sajtótájékoztatóTovábbi szakmai programok szervezéseTovábbi lakossági tájékoztatásAz előterjesztő részéről nyilatkozni fog:Igen / nem ?IgenNemIgenIgenNemNem-Következik-e kommunikációs kényszer a döntésből?NemRészletes kommunikációs terv:készítette: látta: jóváhagyta:Dr. Illés ViktóriaViktoria.Illes@vm.gov.hutel.: 301-4293Arnóczi RozáliaRozalia.Arnoczi@vm.gov.hutel.: 301-4293Tóth PéterDr. Maácz Miklós főosztályvezetőBúsi Lajos helyettes államtitkárV. Németh Zsolt államtitkár

Kapitel 1Kinematik1.1 Die gleichförmige BewegungWir betrachten als Beispiel ein Auto, das mit konstanter Geschwindigkeit v fährt.Dabei wird in einem Zeitintervall ∆t = t 2 −t 1 der Weg ∆s = s 2 − s 1 zurückgelegt.Dies führt direkt zur Definition der (mittleren) GeschwindigkeitDie Einheit der Geschwindigkeit ist m/s.v = ∆s∆t(1.1)1.2 Die gleichmässig beschleunigte Bewegung ohne AnfangsgeschwindigkeitAnalog zur Definition der Geschwindigkeit kann man auch die Änderung der Geschwindigkeitin einem Zeitintervall betrachten. Dies führt zur Definition der (mittleren)Beschleunigunga = ∆v(1.2)∆tDie Einheit der Beschleunigung ist m/s 2 . Wenn z.B. ein Auto mit einer Beschleunigungvon 2 m/s 2 anfährt, so nimmt seine Geschwindigkeit jede Sekunde um 2m/s zu. Die Gleichung für die Geschwindigkeit lautet alsov = at (1.3)Um den Weg s einer beschleunigten Bewegung zu berechnen, benützt man dieTatsache, dass die Geschwindigkeit linear anwächst. Damit kann man den Wegbestimmen, indem man eine mittlere Geschwindigkeit ¯v definiert.¯v = a · t27

Für den Weg gilt also:s = ¯v ·t = a · t2 ·tSomit ist die Formel für die Berechnung des Weges bei einer beschleunigten Bewegunggegeben durch:s = 1 2 at2 (1.4)Dabei ist immer vorausgesetzt, dass die Beschleunigung a konstant ist.1.3 Die gleichmässig beschleunigte Bewegung mit AnfangsgeschwindigkeitUm zu den Formeln für diese Bewegung zu gelangen ist es nützlich, sich die Bewegungzusammengesetzt vorzustellen. Wenn man ohne zu beschleunigen einfachmit der Anfangsgeschwindigkeit weitergefahren wäre, so hätte man einerseits fürdie Geschwindigkeit vv = v 0und andererseits für den Weg ss = v 0 t.Da nun aber zusätzlich beschleunigt wird, kommen noch die jeweiligen Terme derbeschleunigten Bewegung dazu. Man hat also insgesamt:v = v 0 + at (1.5)unds = v 0 t + 1 2 at2 (1.6)Dies sind die gesuchten Formeln für den Weg und die Geschwindigkeit bei einerbeschleunigten Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit. Wie vorher geht man auchhier von einer konstanten Beschleunigung a aus.1.4 Die gleichmässig gebremste BewegungIm Unterschied zum letzten Paragraphen ist bei einer gebremsten Bewegung dieBeschleunigung a negativ. Man spricht deshalb auch von einer negativen Beschleunigung.Dies ist der einzige Unterschied zu vorher. Es gilt also wiederv = v 0 + at (1.7)unds = v 0 t + 1 2 at2 (1.8)wobei diesmal a < 0 angenommen ist. Auch hier gilt, dass a = konstant ist.8

1.5 Der freie FallGalileo Galilei: Ohne Luftwiderstand fallen alle Körper gleich.Dabei ist dies eine beschleunigte Bewegung mit der sogenannten Fallbeschleunigungg = 9,81 m/s 2 . Diese in der Nähe der Erdoberfläche konstante Beschleunigungkann mit den bereits bekannten Gesetzen verknüpft werden, und man bekommtdann für den freien Fall ohne Anfangsgeschwindigkeitv = gt (1.9)unds = 1 2 gt2 (1.10)beziehungsweise für den freien Fall mit Anfangsgeschwindigkeitv = v 0 + gt (1.11)unds = v 0 t + 1 2 gt2 (1.12)9

Kapitel 2Dynamik2.1 Die drei Newtonschen Gesetze (Axiome)Das 1. Newtonsches Gesetz (auch Trägheitssatz genannt) lautet:Ein Körper, auf den keine Kraft wirkt, verharrt im Zustand der Ruhe oder dergleichförmigen Bewegung auf geradliniger Bahn.Das 2. Newtonsche Gesetz (auch Bewegungsgleichung) beschreibt was passiert,wenn eine resultierende Kraft auf eine Masse einwirkt: die Masse wird beschleunigt.In Formeln:F = ma (2.1)Dabei ist F die Kraft in N (Newton), m die Masse in Kilogramm und a die Beschleunigung.Diese Gleichung wird oft auch als die Grundgleichung der Mechanikbezeichnet, denn ihre Anwendungsmöglichkeit ist riesig.Das 3. Newtonsche Gesetz (auch bekannt als actio=reactio) lautet:Kräfte treten immer paarweise auf. Sie sind gleich gross, aber entgegengesetzt gerichtet.Im Allgemeinen greifen sie an verschiedenen Körpern an2.2 KräfteUm Anwendungen der Bewegungsgleichung machen zu können, führen wir einigemechanische Kräfte ein:• Die Gewichtskraft F G bewirkt den freien Fall mit der Beschleunigung a =10

g = 9,81 m/s 2 . (Fallbeschleunigung oder Erdbeschleunigung). Wir schreibenF G = mg (2.2)• Eine Feder hat die Eigenschaft, dass sie für nicht zu grosse Auslenkungeneine lineare Rückstellkraft liefert. D.h. die Federkraft wird durch das sogenannteHooke’sche Gesetz beschrieben:F = D · y (2.3)Dabei ist y die Auslenkung aus der Ruhelage in m und D die Federkonstante,eine Materialkonstante. Die Einheit von D ergibt sich zu N/m.• Die Reibungskraft ist eine weitere mechanische Kraft, die man definierenkann. Allerdings ist diese nicht so einfach zu verstehen, da durch Reibungauch Wärme, also ungeordnete Energie entsteht. Man unterscheidet zwischenGleitreibung und Haftreibung. Die Haftreibung ist im allgemeinenetwas grösser als die Gleitreibung. In Formeln:F R = µ G F N (2.4)mit µ G : Gleitreibungskoeffizient und F N der Normalkraft undF R = µ H F N (2.5)mit µ H dem Haftreibungskoeffizienten und µ H > µ G . Die Normalkraft istdefinitionsgemäss die Kraft, die die Unterlage (der Boden) auf den Körperausübt. Das heisst es gilt in der Ebene, dass F N = mg. Auf einer schiefen Ebenemit dem Neigungswinkel α gilt hingegen (s. Unterkapitel Schiefe Ebeneweiter unten) für die Normalkraft:F N = mgcosα (2.6)11

Kapitel 3Vektoren in der Physik3.1 Die Kraft als VektorEine Kraft F ist bestimmt durch Richtung und Stärke (Betrag). Das heisst, eineKraft ist ein Vektor. Sie wird dargestellt durch einen Pfeil: Die Richtung des Pfeilsist die Richtung der Kraft und die Länge des Pfeils entspricht der Stärke der Kraft.Wenn auf einen Körper mehrere Kräfte wirken, so findet man die resultierendeKraft mithilfe der Vektoraddition, d.h. mithilfe der Parallelogrammregel! EinAbbildung 3.1: Addition von KräftevektorenKörper der Masse m( erfährt die Beschleunigung a = F/m in Richtung der resultierendenKraft F. Er bleibt genau dann in Ruhe (oder bewegt sich gleichförmigweiter), wenn die resultierende Kraft (Vektorsumme) Null ist.3.2 Die schiefe EbeneEine schiefe Ebene sei mit einem Winkel α geneigt. Die Kräfte, die auf eine (punktförmige)Masse m wirken, sind die Hangabtriebskraft F H und die Normalkraft F N .Die Berechnung erfolgt mittels sin und cos am rechtwinkligen Dreieck. Dabei istdie Gewichtskraft F G = mg in die beiden Richtiungen, senkrecht und parallel zur12

schiefen Ebene aufzuteilen (s. Abb. 3.2). Es folgt für die NormalkraftF N = mgcosα (3.1)und für die HangabtriebskraftF H = mgsinα. (3.2)Abbildung 3.2: Die schiefe Ebene mit der Aufteilung der Gewichtskraft13

Kapitel 4Fall- und Wurfbewegungen14

Kapitel 5Erhaltungssätze5.1 Arbeit5.2 Leistung5.3 Energie und EnergieerhaltungAbbildung 5.1: Der Hebel als Krafttransformator15

5.4 Impuls und ImpulserhaltungIn der Physik definiert man den Impuls eines Teilchens alsp = mv. (5.1)Für ein abgeschlossenes System mit n Teilchen verschiedener Masse und Geschwindigkeiten,definiert man den Impuls P des gesamten Systems alsP = m 1 v 1 + m 2 v 2 + ... + m n v n . (5.2)Für diesen Gesamtimpuls gilt: In einem abgschlossenen System ist der GesamtimpulsP erhalten.Bemerkung: Man beachte, dass dies eine Vektorsumme ist, im Gegensatz zur Energieerhaltung,bei der man Skalare addiert.5.5 Zentrale StösseWir betrachten im Folgenden vollkommen elastische (innere Energie ändert nicht)und unelastische Stösse (innere Energie wird verändert). Als Beispiel betrachtenwir eine Kugel m 1 , welche mit der Geschwindigkeit v 1 zentral auf eine zweiteKugel m 2 auftrifft. Der Stoss soll vollkommen elastisch sein. Zur Berechnung benützenwir sowohl den Energiesatzals auch den Impulserhaltungssatz12 m 1v 2 1 + 0 +U = 1 2 m 1v ′ 21 + 1 2 m 2v ′ 22 +Um 1 v 1 + 0 = m 1 v ′ 1 + m 2 v ′ 2.Da sich die innere Energie U nicht ändert, kann man sie mit dem gleichen Buchstabenbezeichnen. Man sieht nun, dass sie sich wegkürzt. Nach etwas Kürzenverbleibenm 1 v ′ 21 + m 2 v ′ 22 = m 1 v 2 1undm 1 v ′ 1 + m 2 v ′ 2 = m 1 v 1Dies sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Diese lassen sich mit der sogenanntenSubstitutionsmethode auflösen und man erhält dannv ′ 1 = m 1 − m 2m 1 + m 2v 1 (5.3)undv ′ 2 = 2m 1m 1 + m 2v 1 (5.4)16

Dies sind die Formeln für den Spezialfall, dass die eine Masse zu Beginn ruht. DieFormeln für den allgemeinen Fall lassen sich auf ähnliche Weise herleiten. Manfindet sie im Formelbuch. Sie lauten für den vollkommen elastischen Stoss:undv ′ 1 = (m 1 − m 2 )v 1 + 2m 2 v 2m 1 + m 2(5.5)v ′ 2 = (m 2 − m 1 )v 2 + 2m 1 v 1m 1 + m 2(5.6)Dabei gilt, dass E def = 0 ist, die Deformationsenergie also verschwindet. Andersgesagt, bleibt bei diesen Stössen die kinetische Energie erhalten.Betrachten wir nun noch den unelastischen Stoss. Eine Kugel der Masse m 1stösst zentral mit der Geschwindigkeit v 1 auf eine ruhende Kugel mit Masse m 2 .Nach dem Stoss sollen die beiden Kugeln zusammenkleben und gemeinsam weiterfliegen.Wieder stellen wir die Gleichungen für die Energie- und die Impulserhaltungauf:12 m 1v 2 1 +U = 1 2 (m 1 + m 2 )v ′2 +U ′ (5.7)undm 1 v 1 + 0 = (m 1 + m 2 )v ′ (5.8)Daraus lässt sich v ′ nach dem Stoss berechnen:v ′ = m 1m 1 + m 2v 1 (5.9)Für die Änderung der inneren Energie (= Deformationsenergie, Wärme) ergibt sichdann durch Einsetzen:U ′ −U = ∆U = 1 m 1 m 2v 2 1 > 0 (5.10)2 m 1 + m 2Man erkennt, dass die innere Energie dabei zugenommen hat. Ein Teil der kinetischenEnergie ist in Wärmeenergie umgewandelt worden. Die Formeln für denallgemeineren Fall, dass sich ursprünglich beide Körper bewegen, findet man inder Formelsammlung. Sie lauten:v ′ 1 = v′ 2 = v′ (5.11)wobeiv ′ = m 1v 1 + m 2 v 2(5.12)m 1 + m 2Die Deformationsenergie E def ist dabeiwobei gilt, dassE def = m 1m 2 (v 1 − v 2 ) 22(m 1 + m 2 )(5.13)E def = E kin − E ′ kin (5.14)17

5.6 Der Impulssatz im nicht abgeschlossenen SystemIn einem nichtabgeschlossenen System (äussere Kräfte) wird der Gesamtimpulsnatürlich nicht konstant bleiben. Wir untersuchen nun an einem Beispiel, wovondie Impulsänderung abhängt. Dazu betrachten wir einen fallenden Körper auf derErde. Die Erde nehmen wir nicht zum System dazu. Das System ist somit nicht abgeschlossen,da ja von aussen eine Kraft wirkt und die Masse zunehmend schnellerfällt. Es gilt∆P = P − 0 = P = mv = m(gt) = mgt (5.15)Der Impuls wächst proportional zur Zeit t. Der Proportionalitätsfaktor ist geradedie Gewichtskraft. Somit giltP = F ·t oder ∆P = F · ∆t (5.16)Das Produkt F · ∆t wird als Kraftstoss bezeichnet. Zusammengefasst gilt also: Ineinem nichtabgeschlossenen System ist die sekundliche Impulsänderung gleich dergesamten, von aussen angreifenden Kraft. Oder: Die Impulsänderung ist gleichdem Kraftstoss.18

Kapitel 7Gravitation20

Kapitel 8Mechanik des starren KörpersUnter einem starren Körper versteht man eine Massenverteilung, die sich unter demEinfluss von Kräften nicht verformt.8.1 Statik des starren KörpersDas Wesen der Statik: Wenn ein Körper in Ruhe (bzw. unbeschleunigt ist), dannsagt man die an ihm angreifenden Kräfte seien ”im Gleichgewicht”.8.2 Die Herleitung der GleichgewichtsbedingungBetrachte einen Hebel mit OA doppelt so gross wie OB (Gewicht des Hebels seivernachlässigbar). Drückt man mit F A nach unten, so verschiebt sich B mit derAbbildung 8.1: Der Hebel als KrafttransformatorKraft F B nach oben. Da der Weg von B nur halb so gross ist, muss gemäss derEnergieerhaltung gelten, dass F B doppelt so gross ist wie F A . Bezeichne mit W 1 dieArbeit an der ”Eingangsseite” und mit W 2 jene der ”Ausgangsseite”, dann giltW 1 = W 2 (8.1)21

oder(F s · s) 1 = (F s · s) 2 (8.2)Daraus lässt sich die sogenannte ”goldene Regel der Mechanik” ableiten:Was an Kraft gewonnen wird, geht an Weg verloren. Dies entspricht dem Energieerhaltungssatz.Beispiel: Das Gleichgewicht am WellradWelche Kraft F muss am grossen Rad längs des Umfanges angreifen, um das Wellradim Gleichgewicht zu halten? Wir drehen das Wellrad in Gedanken einmal ganzAbbildung 8.2: Wellradherum. Die Arbeit, die wir am Wellrad verrichten, ist dannW 1 = (F s · s) 1 = F · 2πR (8.3)diese muss gleich sein der Arbeit, die das Wellrad an der Last verrichtet:oderW 2 = (F s · s) 2 = G · 2πr (8.4)F · R = G · r (8.5)Diese letzte Gleichung wird häufig als ”Hebelgesetz” bezeichnet.Kraft mal Kraftarm = Last mal Lastarm8.3 Das DrehmomentDie Gleichung des ”Hebelgesetzes” bringt zum Ausdruck, dass die Drehwirkungder nach links drehenden Kraft gleich gross ist wie diejenige der nach rechts drehenden.Man bezeichnet das Produkt ”Kraft mal Kraftarm” als Drehmoment bezüglichder Drehachse. Man definiert folgendes: Das Drehmoment M einer Kraft22

ist ein Vektor. Die Richtung des Drehmomentes wird mit der Korkenzieherregelfestgelegt. Der Betrag des Drehmomentes ist gegeben durch Kraft mal Kraftarm.(Die Kraft muss senkrecht zur Drehachse wirken). Mit der Vektorrechnung lässtsich diese Definition in eine einfache Form bringen:Das Drehmoment ist das vektorielle Produkt aus Ortsvektor mal Kraftvektor, d.h.M = r × F (8.6)Die Reihenfolge ist wichtig, da durch sie die räumliche Orientierung des Drehmomentvektorsfestgelegt wird. Damit lässt sich die Gleichgewichtsbedingung neuschreiben:Ein Körper, der sich unter der Einwirkung äusserer Kräfte um eine feste Achsedrehen kann, ist im Gleichgewicht, wenn die Vektorsumme aller Drehmomenteverschwindet. Dann ist die Summe der linksdrehenden Drehmomente gleich grosswie die Summe der rechtsdrehenden Drehmomente.8.4 Der MassenmittelpunktDie Mathematik zeigt, wie man den Schwerpunkt eines Dreiecks konstruiert. Manhalbiert die Seiten und verbindet die Halbierungspunkte mit den gegenüberliegendenEckpunkten. Man erhält so drei ”Schwerlinien”, die sich in einem einzigenPunkt, im ”Schwerpunkt” (=Massenmittelpunkt) schneiden. Das Dreieck balanciert,wenn man es im Schwerpunkt unterstützt. Wir berechnen nun für einen allgemeinen,räumlichen Körper den Schwerpunkt. Dazu sezten wir ihn in ein Koordinatensystemund unterstützen ihn mit einer Schneide, die parallel zur y-Achseliegt, derart, dass der Körper balanciert. Die linksdrehenden Drehmomente derSchwerkraft werden jetzt durch die rechtsdrehenden Drehmomente aufgehoben.Wir betrachten nun einen materiellen Punkt m 1 . Wir erhalten:M 1 = m 1 g(x s − x 1 ) (8.7)Nun betrachten wir einen Punkt m 2 auf der rechten Seite.M 2 = m 2 g(x 2 − x s ) (8.8)Wären nur diese beiden materiellen Punkte vorhanden, so müsste gelten:oderm 1 g(x s − x 1 ) = m 2 g(x 2 − x s ) (8.9)m 1 g(x s − x 1 ) + m 2 g(x s − x 2 ) = 0 (8.10)Berücksichtigt man nun die Drehmomente der anderen materiellen Punkte, ergibtsichm 1 g(x s − x 1 ) + m 2 g(x s − x 2 ) + m 3 g(x s − x 3 ) + ... = 0 (8.11)23

Für die Schwerpunktskoordinate ergibt sich alsox s = m 1x 1 + m 2 x 2 + m 3 x 3 + ...m 1 + m 2 + m 3 + ...(8.12)Analoge Überlegungen gelten auch für die y und z Koordinaten. In Vektorschreibweiseergibt sich alsor s = m 1r 1 + m 2 r 2 + m 3 r 3 + ...m 1 + m 2 + m 3 + ...(8.13)wobei m 1 ,m 2 ,... die Massen und r 1 ,r 2 ,... die Ortsvektoren der materiellen Punktesind, die den Körper aufbauen.Abbildung 8.3: Zur Berechnung des MassenmittelpunktesAbbildung 8.4: Zur Berechnung des Massenmittelpunktes24

8.5 Die Bewegungsgleichung des starren Körpers8.6 Translation und RotationEine Translation liegt vor, wenn der starre Körper bei der Bewegung seine räumlicheOrientierung relativ zu einem Inertialsystem beibehält.Eine Rotation liegt vor, wenn sich der starre Körper um einen festen Punkt relativzu einem Inertialsystem dreht.8.7 Die Winkelgeschwindigkeit und die WinkelbeschleunigungDie Winkelgeschwindigkeit für eine gleichmässige Kreisbewegung ist definiert alsω = ∆φ∆t(8.14)wobei ∆φ im Bogenmass zu nehmen ist. Die Einheit ist rad/s wobei ”rad” keinerichtige Einheit ist. Das Bogenmass hat keine Einheit. Bei einer beschleunigtenKreisbewegung muss hingegen der Grenzwert∆φω = lim∆t→0 ∆tbetrachtet werden. Die Winkelgeschwindigkeit kann als sogenannter axialer Vektordefiniert werden. Die Richtung ist dann durch die Korkenzieherregel festgelegt. FürAbbildung 8.5: Darstellung der Bahn- und der Winkelgeschwindigkeit.die Bahngeschwindigkeit gilt dannv = ω × r (8.15)oder als Betrag (beachte, dass v immer senkrecht steht auf r und ω)v = ω · r (8.16)Die Winkelbeschleunigung ist definiert alsα = ∆ω∆t(8.17)25

Die Einheit ist rad/s 2 .Merke: Für die Rotationsbewegung gelten die gleichen Zusammenhänge wie fürdie eindimensionale Kinematik. Für die gleichförmige Rotationsbewegung um eineAchse gilt:α = 0 ω = ω 0 φ = ω ·tAnalog zua = 0 v = v 0 s = v ·tFür die konstant beschleunigte Rotationsbewegung um eine feste Achse gilt:α = α 0 ω = α ·t φ = 1 2 · α ·t2Analog zur eindimensionalen konstant beschleunigten Bewegung:a = a 0 v = a ·t s = 1 2 · a ·t28.8 Die Bewegungsgleichung für die TranslationsbewegungUm die Bewegungsgleichung für die Translation eines starren Körpers zu bekommen,ist es zweckmässig, eine Unterscheidung von äusseren und inneren Kräftenzu machen. Die inneren Kräfte (z.B. Molekularkräfte zwischen den Konstituentendes starren Körpers) können nämlich nach dem 3. Newtonschen Gesetzt (actio = reactio)weggelassen werden, denn da sie ja zwischen den Teilchen immer paarweiseauftreten, kompensieren sie sich zu Null. Die äusseren Kräfte hingegen bleiben bestehen.Wenn wir die Bewegungsgleichung für alle Massenpunkte aufstellen, bleibtalso folgendes bestehen:wobeim 1 a 1 + m 2 a 2 + ... = F resF res = F 1 + F 2 + ...bedeutet. Die linke Seite der Gleichung lässt sich umschreiben zu(m 1 + m 2 + ...) m 1a 1 + m 2 a 2 + ...m 1 + m 2 + ...Wenn man nun m = m 1 +m 2 +... als Gesamtmasse definiert, so kann man schreibenm · a s = F res (8.18)was soviel bedeutet wie:Der Massenmittelpunkt eines Systems materieller Punkte bewegt sich stets so, alswäre in ihm die gesamte Masse vereinigt und als würde in ihm die Resultierendealler Kräfte angreifen26

8.9 Der starre Körper im statischen GleichgewichtZusammenfassend lässt sich sagen: Ein Körper ist im statischen Gleichgewicht,wenn er sich unter dem Einfluss der angreifenden Kräfte nicht in Bewegung setzt.Damit er translatorisch nicht beschleunigt wird, muss F res = 0 sein, und da er nichtin in Drehung versetzt wird, muss M res = 0 sein.F res = ∑iF i = 0 und M res = ∑M i = 0i8.10 Die kinetische Energie rotierender KörperUm die Energie eines rotierenden starren Körpers zu bestimmen, betrachtet mandie Arbeit, die von einer antreibenden Kraft geleistet wird. Wir betrachten dazu einRad, welches von einer in der Radebene liegenden Kraft angetrieben wird und sichum eine feste Achse dreht. Die Arbeit ist dannW = F · s = F · rφ = F · r · 12 · α ·t2 .Diese Arbeit wird schlussendlich in kinetische Energie der Massenpunkte umgewandelt,d.h.W = 1 2 m 1v 2 1 + 1 2 m 2v 2 2 +... = 1 2 m 1r 2 1ω 2 + 1 2 m 2r 2 ω 2 +... = 1 2 (m 1r 2 1 +m 2 r 2 2 +...)α 2 t 2(dabei wurde v = ωr und ω = α ·t verwendet)Also gilt12 (m 1r1 2 + m 2 r2 2 + ...)α 2 t 2 = F · r · 12 αt2bzw.(m 1 r1 2 + m 2 r2 2 + ...)α = r · F (8.19)Dies ist die Bewegungsgleichung für die Rotationsbewegung. Der auf der linkenSeite aufgetretene Term wird Trägheitsmoment genannt und mit I oder J bezeichnet:J = m 1 r 2 1 + m 2 r 2 2 + ... (8.20)Dabei sind r 1 ,r 2 ,... die Achsenabstände der materiellen Punkte. Ausserdem lässtsich damit eine Formel für die Rotationsenergie, d.h. die kinetische Energie derRotationsbewegung ableiten:E rot = 1 2 Jω2 (8.21)27

8.11 Trägheitsmomente starrer Körper und Satz von SteinerDie Berechnung der Trägheitsmomente ist im Allgemeinen eine Anwendung derIntegralrechnung und kann hier nicht weiter erörtert werden. (Für den Moment beschränkenwir uns deshalb auf das Nachschlagen im Formelbuch. In der 6. Klassewird es dann möglich sein, einfache Beispiele selbst zu berechnen.) Für einfacheMassenverteilungen mit einzelnen Massen m i und den zugehörigen Abständen zurDrehachse kann man die Summe oben ausführen. Als zusätzliche Anwendung seihier noch der Satz von Steiner erwähnt:Wenn man das Trägheitsmoment J SP eines Körpers der Masse m bezüglich einerdurch den Schwerpunkt verlaufenden Drehachse kennt, kann man es bezüglich einerzu dieser Drehachse parallelen Drechachse mit Abstand d gemässberechnen (s. Abbildung 8.6).J d = J SP + md 2 (8.22)Abbildung 8.6: Darstellung zum Satz von Steiner: J d = J SP + m · d 2 .8.12 Die Bewegungsgleichung für die RotationsbewegungMit dem Begriff des Trägheitsmomentes lässt sich die Bewegungsgleichung für dieRotationsbewegung in folgende Gestalt bringen:M = J · α (8.23)Das heisst, die Summe aller Drehmomente M ist gleich dem Trägheitsmoment desKörpers mal der Winkelbeschleunigung. Bei der Berechnung müssen dabei allewirkenden Drehmomente unter Beachtung des Drehsinnes berücksichtigt werden.Bemerke dabei die Analogie zur Newtonschen Bewegungsgleichung F = m·a. DieRolle der Kräfte übernehmen die Drehmomente und die Masse wird in Form desTrägheitsmomentes einbezogen.28

8.13 Der Drehimpulssatzblabla8.14 Der Drehimpuls eines MassenpunktesWir haben gesehen, dass in der Rotationsbewegung nicht die Kraft F die entscheidendeBedeutung hat, sondern das Drehmoment M = r × F. Entsprechend wirdauch dem linearen Impuls p = m · v eine neue Grösse zugeordnet. Der Drehimpulseines Massenpunktes m bezüglich eines Punktes 0 ist definiert als das Vektorproduktdes Vektors r (von 0 aus gemessen) und dem Impuls p = m · vL = r × p. (8.24)Bemerke: Der Drehimpuls hängt vom gewählten Bezugspunkt ab!8.15 Der Drehimpulssatz im nicht abgeschlossenen SystemIn einem nichtabgeschlossenen System lässt sich der so genannte ”Drallsatz” beweisen.Ein von aussen angreifendes Drehmoment M führt zu einer Änderung desDrehimpulses L. In Formeln∆L= M (8.25)∆t8.16 Der Drehimpulssatz im abgeschlossenen SystemFalls kein äusseres Drehmoment angreift, bleibt der Drehimpuls L erhalten.L = konstant (8.26)8.17 Drehimpuls eines starren KörpersFür einen starren Körper, der um eine feste Achse rotiert, lässt sich der DrehimpulsL auch mit Hilfe der Winkelgeschwindigkeit ausdrücken.L = J · ω (8.27)Die Auswirkungen der Veränderung des Trägheitsmomentes oder der Richtungsänderungdes Drehimpulses kann man sehr gut beobachten am Beispiel des Drehschemels(→ Demonstrationsexperimente).8.18 Einige Beispiele29

Abbildung 8.7: Zieht der Junge auf dem rotierenden Drehschemel die Arme an, so verkleinertsich das Trägheitsmoment und die Winkelgeschwindigkeit nimmt zu. Der Drehimpulsbleibt jedoch konstant.Abbildung 8.8: Beim Anziehen der Arme steigert der Junge mit den KraftkomponenetenF // die Bahngeschwindigkeit der Hanteln. Die Winkelgeschwindigkeit des Mannes erhöhtsich daher stark.Abbildung 8.9: Setzt der Junge auf dem ruhenden Drehschemel das Rad in Rotation, sobeginnt er in entgegengesetzter Richtung zu rotieren. Der Gesamtdrehimpuls bleibt Null.30

Abbildung 8.10: Setzt der Junge auf dem ruhenden Drehschemel das Rad in Rotation, sobeginnt er in entgegengesetzter Richtung zu rotieren. Der Gesamtdrehimpuls bleibt Null.Abbildung 8.11: Die Abbildung zeigt die Funktionsweise des Kreiselkompasses. Ein Kreiseldreht sich in einem Gehäuse um die Achse AB. Das Gehäuse ist im Punkt P leichtdrehbar aufgehängt. Die Kreiselachse w31

Kapitel 9Hydrostatik32

Kapitel 10Hydrodynamik10.1 Ideale FluideWir machen einige Idealisierungen, da man nur so zu einigermassen verlässlichenmathematischen Theorien kommt.• Laminare Strömung: bei der gleichmässigen oder laminaren Strömung verändertsich die Geschwindigkeit des Fluids in einem Punkt nicht, weder Betragnoch Richtung.• Inkompressible Strömung: das Fluid sei inkompressibel, das heisst nichtzusammenpressbar.• Wirbelfreie Strömung: die Strömung sei rotations- respektive wirbelfrei.Mit Hilfe von sogenannten Tracern (z.B. Farbstoff in einer Flà 1 4ssigkeit oder Rauchbei Gasen) kann man Stromlinien sichtbar machen. Teilchen des Fluids würden diesenLinien folgen und ihre Geschwindigkeit ist jeweils tangential an die Linien.10.2 Die KontinuitätsgleichungWir leiten nun eine Beziehung her zwischen der Geschwindigkeit eines Fluids undder Querschnittsfläche beim Durchfliessen durch ein Röhrensystem, welches unterschiedlicheDurchmesser besitzt. Angenommen das Fluid fliesse vom dickerenRohr mit Querschnittsfläche A 1 zum dünneren Rohr mit A 2 , wobei die jeweiligenGeschwindigkeiten v 1 und v 2 betragen sollen. Nehmen wir an, A 1 > A 2 und damitv 2 > v 1 wie wir gleich sehen werden. Da das Fluid als inkompressibel angenommenwird, muss das selbe Volumen ∆V welches z.B. von links einfliesst, rechtsauch wieder abfliessen. Es gilt alsoA 1 v 1 ∆t = A 2 v 2 ∆t (10.1)33

für ein kleines Zeitintervall ∆t. Da ∆t auf beiden Seiten vorkommt, kann es gekürztwerden und es folgt die sogenannte Kontinuitätsgleichung:A 1 v 1 = A 2 v 2 (10.2)Diese Gleichung besagt also, dass die Strömungsgeschwindigkeit eines Fluids zunimmt,wenn die Querschnittsfläche der Strömung kleiner wird. Diese Beziehunggilt auch für ”gedachte” Röhren, d.h. es muss nicht immer eine materielle Röhrevorhanden sein.Man kann die Kontinuitätsgleichung auch in einer anderen Form schreiben, alsKontinuitätsgleichung für die Volumenflussrate R V :R V = Av = konstant (10.3)Oder falls man noch mit der Dichte des Fluids multipliziert:R M = ρR V = ρAv = konstant (10.4)Die SI-Einheit für diese Massenflussrate ist das Kilogramm pro Sekunde (kg/s).10.3 Die Bernoulli-GleichungUm 1700 herum entwickelte der Schweizer Gelehrte Daniel Bernoulli die nach ihmbenannte Gleichung zur Strömungslehre:p 1 + 1 2 ρv2 1 + ρgy 1 = p 2 + 1 2 ρv2 2 + ρgy 2 (10.5)oder in der Form:p + 1 2 ρv2 + ρgy = konstant (10.6)Dabei sind die Werte jeweils an zwei verschiedenen Stellen in einem Rohr einzusetzen.Z.B. gilt für ein ruhendes Fluid v 1 = v 2 = 0. Daraus folgtp 2 = p 1 + ρg(y 1 − y 2 )was genau der Form des Schweredruckes in der Hydrostatik entspricht.Ein wichtiger Spezielafall ergibt sich für den Fall, dass die Strömung auf gleicherHöhe erfolgt (z.B. y = 0). Da giltp 1 + 1 2 ρv2 1 = p 2 + 1 2 ρv2 2 (10.7)Dies bedeutet:Wenn die Geschwindigkeit eines einer horizontalen Stromlinie folgenden Fluidelementeszunimmt, muss der Druck des Fluids abnehmen (und umgekehrt).Die Bernoulli-Gleichung gilt strenggenommen nur für ideale Fluide. Sind Reibungskräftevorhanden, spielt auch die thermische Energie eine Rolle.34

10.4 Beweis der Bernoulli-GleichungWir betrachten dazu die Abbildung 10.1 und wenden den Energieerhaltungssatz anund zwar in der Form: W = ∆E. Das heisst, die Änderung der kinetischen Energieentspricht der Arbeit (vgl. Kap.7 im Halliday). Für die Änderung der kinetischenEnergie betrachten wir nur den Anfangs- und den Endbereich im Rohr, da zwischenden vertikalen gestrichelten Linien alles gleich bleibt. Die Änderung beträgt:Abbildung 10.1: Ein Fluid strömt mit gleichbleibender Rate durch einen Rohrabschnitt vonlinks nach rechts.E kin = 1 2 ∆mv2 2 − 1 2 ∆mv2 1 (10.8)oder12 ρ∆V (v2 2 − v 2 1) (10.9)35

Es wird auf zwei Arten Arbeit verrichtet. Enerseits verrichtet die Gravitationskraft(negative) Hubarbeit:W g = −∆mg(y 2 − y 1 ) = −ρg∆V (y 2 − y 1 ) (10.10)Andererseits wird am Anfang des Rohres positive Arbeit am System verrichtet undam Ende negative Arbeit vom System geleistet. D.h. es gilt:F∆x = (pA)(∆x) = p(A∆x) = p∆V (10.11)Die am System geleistete Arbeit ist also p 1 ∆V und die vom System geleistete Arbeit−p 2 ∆V . Insgesamt gilt alsoDie Energieerhaltung lautet nunW p = −p 2 ∆V + p 1 ∆V = −(p 2 − p 1 )∆V (10.12)W = W g +W p = E kin (10.13)und somit−ρg∆V (y 2 − y 1 ) − ∆V (p 2 − p 1 ) = 1 2 ρ∆V (v2 2 − v 2 1) (10.14)Dies entspricht der Bernoulli-Gleichung.36

Kapitel 11Thermodynamik11.1 Der TemperaturbegriffMit dem Begriff Temperatur beschreibt man einen bestimmten thermischen Zustandeines Körpers. Die Atome und Moleküle aller Stoffe weisen eine ständige,ungeordnete thermische Bewegung auf: die thermische Molekularbewegung. DieTemperatur eines Körpers ist ein Mass dafür, wie stark die thermische Bewegungseiner Atome und Moleküle ist. Bei festen Körpern sind die Teilchen fest im Gittereingebaut. Sie vollführen eine Zitterbewegung um die Gleichgewichtslage. BeiFlüssigkeiten sind die Teilchen dicht nebeneinander und sind leicht gegeneinanderverschiebbar. Bei Gasen ist der Teilchenabstand gross. Es gibt eine ständige, unregelmässigeBewegung (Zusammenstösse).Es gibt physikalische Vorgänge, die temperaturabhängig sind. Solche Vorgängekönnen zur Messung der Temperatur herangezogen werden.Beispiele solcher Vorgänge sind:• Leitfähigkeit• Farbe• Dichte/ Ausdehnung• AggregatszustandsänderungenEine weitere Frage ist: wie wird Wärme übertragen, bzw. wie kann ein Körpererwärmt werden? Hierzu gibt es verschiedene Möglichkeiten:• direkter Kontakt zweier Körper unterschiedlicher Temperatur• Reibung• Wärmestrahlung• Wärmekonvektion37

11.2 TemperaturmessungDie Stärke der Molekularbewegung ist das grundlegende Mass der Temperatur.Im Alltag geht man zur Festlegung der Temperaturskala jedoch zweckmässig voneiner leichter messbaren Grösse aus. Fast alle Körper dehnen sich nämlich beimErwärmen aus, da der Raumbedarf der Moleküle mit zunehmender thermischerBewegung wächst. Dies kann zur Konstruktion von Thermometern dienen.Eine bei uns hauptsächlich gebrauchte Energieskala ist diejenige des schwedischenAstronomen Anders Celsius (1701-1744) und sie wird mit Celsius-Skala bezeichnet.Die Festlegung geschieht folgendermassen:Eine Mischung von Eis und Wasser bestimmt die 0 ◦ C Marke. Kochendem Wasserwird der zweite Fixpunkt der Temperaturskala zugeordnet mit 100 ◦ C. Der Abstanddieser beiden Fixpunkte wird dann in 100 gleiche Stücke eingeteilt. Die CelsiusTemperatur wird oft mit θ bezeichnet.11.3 LängenausdehnungBei zunehmender Temperatur dehnen sich Stoffe aus. Die Temperaturausdehnungeines Stoffes ist umso grösser, je stärker die thermische Bewegung der Moleküleist.Die Längenänderung ∆L eines Körpers der Länge L beträgt bei der Temperaturänderung∆T :∆L = α · L 0 · ∆T (11.1)wobei ∆L = L − L 0L 0 =Länge bei der Temperatur T 1L =Länge bei der Temperatur T 2α =∆L∆T ·L 0: Längenausdehnungskoeffizient (Materialkonstante)[α] = K −1Die Gesamtlänge folgt aus L = L 0 + α · L 0 · ∆T = L 0 · (1 + α · ∆T ) somitL = L 0 (1 + α · ∆T ) (11.2)11.4 VolumenausdehnungUrsprüngliches Volumen: V 0 = a 0 · b 0 · c 0Volumen nach der Erwärmung: V = a · b · cAus der Längenausdehnung folgta = a 0 (1 + α · ∆T )b = b 0 (1 + α · ∆T )c = c 0 (1 + α · ∆T )V = a · b · c = a 0 (1 + α · ∆T ) · b 0 (1 + α · ∆T ) · c 0 (1 + α · ∆T ) =38

a 0 · b 0 · c 0 · (1 + α · ∆T ) 3 = V 0 · (1 + α · ∆T ) 3Ausmultipliziert(1 + α · T ) 3 = 1 + 3 · α · ∆T + 3 · α 2 · ∆T 2 + α 3 · ∆T 3In erster Näherung ergibt dies(1 + α · ∆T ) 3 ≃ 1 + 3 · α · ∆T (11.3)somit3 · α ≡ γ VolumenausdehnungskoeffizientDas heisstV = V 0 (1 + γ · ∆T ) (11.4)wobei: [γ] = 1 Koder direkt∆V = V 0 · γ · ∆T (11.5)39

Kapitel 12Gasgesetze12.1 Gesetz von Boyle-MariotteAus dem Experiment folgt, dass giltp ·V = konst. (12.1)wobei angenommen wird, dass T = konst. ist.12.2 Das Gesetz von AmontonsExperiment: Während man Gas in einem geschlossenen Behälter erwärmt, liestman die Temperatur ab. Es zeigt sich, dass die Messpunkte auf einer Geraden liegen.Verlängert man die Gerade zu negativen Temperaturen hin, so ergibt sich fürden Druck p = 0 die Temperatur −273,15 ◦ C. Bei dieser Temperatur hört die termischeBewegung auf (v = 0 ⇒ p = 0). Dies ist die tiefstmögliche Temperatur.Man bezeichnet sie als ”absoluten Nullpunkt”.Damit man nun eine Proportionalität hat zwischen p und T , führt man eine Temperaturskalaein, bei der die Zählung gerade beim absoluten Nullpunkt beginnt. Esgibt dann nur noch positive Temperaturen.Die absolute Temperatur kann man wie folgt ausrechnenT = θ + 273,15θ: Celsius Temperaturwert. T wird in Kelvin [K] angegeben.Mit der neuen Temperaturskala kann man nun die Abhängigkeit zwischen p und Tbei konstant gehaltenem Volumen formulieren:pT= konst. (12.2)40

12.3 Das Gesetz von Gay-LussacErgebnis des Experimentes: bei konstantem Druck ist das Volumen eines Gasesproportional zur absoluten Temperatur.12.4 Die allgemeine GasgleichungVT= konst. (12.3)Verbindet man die drei obigen Gesetze, so erhält man (N = konstant = AnzahlMoleküle)p ∼ T (V = konst.)V ∼ T (p = konst.)V ∼ 1 p ⇒ V · p = konst. (T = konst.)⇒ V · p ∼ Tp ·V = konst. · Tp ·V = N · k · T (12.4)oderwobeik = 1,38 · 10 −23 J/KR = 8,31441 J/(mol K)n =Anzahl Molp ·V = n · R · T (12.5)BoltzmannkonstanteUniverselle Gaskonstante41

Kapitel 13Wärme13.1 Die spezifische WärmekapazitätWie hängt die Temperatur eines Körpers von der Energie ab, die sich darin befindet?Die Energieänderung ∆Q eines Systems ist proportional zur Temperaturänderung∆T und zur Masse m des Stoffes.In Formeln:∆Q ∝ m · ∆Toder∆Q = c · m · ∆T (13.1)wobei c eine Konstante ist.∆Q ist die zugeführte, beziehungsweise abgegebene Wärmemenge (Energie), m istdie Masse des Stoffes und ∆T die Temperaturänderung.c = ∆Qm·∆T= spezifische WärmekapazitätEinheit: [c] =JkgKDie spezifische Wärmekapazität c eines Stoffes gibt an, welche Energie notwendigist um ein Kilogramm eines Stoffes um ein Kelvin zu erwärmen. Umgekehrt gibtsie auch an, wie viel Wärmeenergie von einem Kilo eines Stoffes abgegeben wird,wenn die Temperatur um ein Kelvin sinkt.42

Kapitel 14Aggregatszustandsänderungen14.1 Der Übergang fest-flüssigUm einen Stoff zu schmelzen ist Energie erforderlich. Man nennt diese EnergieAblösearbeit, da sich die Moleküle aus dem starren Metallgitter lösen. Die Temperatursteigt beim Schmelzen solange nicht, bis sich alle Moleküle aus dem Gittergelöst haben. Diese Temperatur heisst Schmelztemperatur bzw. Schmelzpunkt oderErstarrungspunkt.Die für die Umwandlung fest-flüssig benötigte Energie heisst SchmelzwärmeQ schmelzen (= Erstarrungswärme). Die Energie, die nötig ist, um 1 kg eines Stoffesohne Temperaturänderung zu schmelzen, heisst spezifische Schmelz- bzw. Erstarrungswärme:[L f ] = Jkg −1L f = Q schmelzenm(14.1)14.2 Der Übergang flüssig-gasförmigVerdunsten: In einem Stoff bewegen sich nicht alle Teilchen gleich schnell. Diemittlere Geschwindigkeit der Teilchen bestimmt die Temperatur. Die schnellstenMoleküle einer Flüssigkeit können bei jeder Temperatur die Bindungskräfte dersie umgebenden Moleküle überwinden und bilden an der Oberfläche ein Gas (beiWasser: Wasserdampf). Die kinetische Energie des Teilchens fehlt der Flüssigkeit.Dies bedeutet eine Abkühlung der restlichen Flüssigkeit.Verdampfen: In einer Flüssigkeit wirken zwischen den Molekülen Kohäsionskräfte.Bei Energiezufuhr wird die Bewegung der Moleküle heftiger, bis schliesslich dieKohäsionskraft überwunden wird. Für die Umwandlung flüssig-gasförmig ist einegewisse Umwandlungswärme Q verdamp f en nötig. Man nennt diese Verdampfungswärme= Kondensationswärme. Die Verdampfungswärme, die nötig ist, um eine43

estimmte Masse m ohne Temperaturänderung zu verdampfen, heisst spezifischeVerdampfungswärme L v :L v = Q verdamp f enm[L v ] = Jkg −1Die spezifische Verdampfungswärme von Wasser beträgt L v = 2,256 · 10 6 J/kg(14.2)Dampfdruck: Über jeder Flüssigkeit entsteht durch Verdunstung Dampf, dessenDruck bis zu einem bestimmten temperaturabhängigen Höchstwert wächst, demSättigungsdampfdruck. Wird dieser erreicht, so steht er mit dem Druck in der Flüssigkeitim Gleichgewicht, es entkommen pro Zeiteinheit gleichviele Teilchen derFlüssigkeit wie in sie zurückkehren. Dies wird als dynamisches Gleichgewicht bezeichnet.44

Kapitel 15Hauptsätze15.1 Nullter Hauptsatz der ThermodynamikWenn sich zwei Körper A und B jeweils im thermodynamischen Gleichgewichtmit einem dritten Körper C befinden, dann befinden sie sich auch untereinander imthermischen Gleichgewicht.15.2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik• Die innere Energie U eines Körpers ist die Summe aller Teilchenenergien(Rotations-, Translations- und Vibrationsenergie). Wird einem Körper Energiein Form mechanischer Arbeit (z.B. Kompression, Reibung) zu- oder abgeführt,dann ist die Zu- oder Abnahme der inneren Energie gleich der verrichtetenmechanischen Arbeit.• Die Wärme Q ist die Energieform, die durch Leitung (kalter Körper kommtin Berührung mit warmem Körper) oder durch Strahlung (Wärmestrahlung)übertragen wird.• Der 1. Hauptsatz der WärmelehreIn Worten: Die innere Energie eines Körpers kann man durch zu- bzw. abführenvon Arbeit oder Wärme ändern.dU = ∆Q + ∆W (15.1)Die Gesamtenergie bleibt in einem abgeschlossenen System erhalten. Dabeiist die Wärme eine Form der Energie.Gesamtenergie:E = E kin + E pot +U (15.2)oder∆E = 0 (15.3)45

15.3 Zweiter Hauptsatz der ThermodynamikDer zweite Hauptsatz der Thermodynamik macht eine Aussage über die Richtungdes Wärmeüberganges. Ausserdem sagt der Satz aus, dass es kein Perpetuum mobilezweiter Art geben kann.Der 2. Hauptsatz der WärmelehreDie Wärmeübertragung erfolgt von sich aus nur vom wärmeren zum kälteren Körper.Oder:Ohne Zufuhr von Energie (Arbeit) ist der Übergang von Wärmeenergie vom kaltenzum wärmeren Körper nicht möglich. (vgl. Wärmekraftmaschine)15.4 Eine ausführlichere Betrachtung zum 1. HauptsatzIm Folgenden wollen wir etwas genauer betrachten, wie Wärmeenergie und Arbeitzwischen einem System und seiner Umgebung übertragen werden können.Betrachte dazu die Abbildung 15.1. Das Volumen des Zylinders sei über einenbeweglichen Kolben veränderbar. Die nach oben gerichtete Kraft auf den Kolbendurch den Druck des eingeschlossenen Gases wird durch das Gewicht der Bleikugelnoben auf den Kolben ausgeglichen. Die Zylinderwände bestehen aus einemisolierenden, wärmeundurchlässigen Material. Der Zylinderboden befinde sich aufeinem Wärmereservoir (beispielsweise eine heisse Herdplatte).Das System (Gas) befinde sich zuerst in einem Anfangszustand i (Initialzustand,Druck p i , Volumen V i und Temperatur T i ). Nun soll dieses System in einenzweiten Zustand (den finalen Zustand) f gebracht werden (p f ,V f ,T f ). Einen solchenVorgang, bei welchem ein System von einem Anfangs- in einen Endzustandüberführt wird, bezeichnet man als thermodynamischen Prozess. Im Verlauf einessolchen Prozesses kann dem System von einem Wärmereservoir Energie zugeführtwerden (positive Wärme) oder es kann auch Energie an das Wärmereservoir abgegebenwerden (negative Wärme). Ausserdem kann das System Arbeit verrichten,indem es den mit Gewichten beladenen Kolben anhebt (negative Arbeit) oder ihnherabsinken lässt (positive Arbeit). Wir nehmen dabei an, dass alle diese Vorgängesehr langsam ablaufen so dass sich das System jederzeit (annähernd) im thermischenGleichgewicht befindet.Angenommen, man entfernt nun einige Bleikugeln von dem Kolben. Das Gasdrückt dann mit der Kraft ⃗F um die differenzielle Verschiebung d⃗s nach oben. Dadiese Verschiebung sehr klein ist, kann man die Kraft während des Vorgangs alskonstant ansehen. In diesem Fall ist der Betrag pA, wobei p der Gasdruck in demBehälter und A die Fläche des Kolbens sind. Die vom Gas verrichtete Arbeit istdann−dW = ⃗F · d⃗s = (pA)(ds) = p(Ads) (15.4)46

d.h.dW = −pdV (15.5)Werden nacheinander genügend Bleikugeln entfernt, sodass sich das Gas von V iauf V f ausdehnt, so ist die gesamte vom Gas geleistete Arbeitoder für die Mittelschule:∫W =W = ∑∆W =∫ VfdW = dW (15.6)V iV f∑V i∆W (15.7)Tatsächlich gibt es viele Möglichkeiten, das Gas vom Zustand i in den Zustand f zuüberführen. Im Folgenden sollen einige spezielle Zustandsänderungen besprochenwerden:Abbildung 15.1: Ein Zylinder mit einem beweglichen Kolben sei mit einem Gas gefüllt.Durch die Regelung der Temperatur T an einem Wärmereservoir kann dem Gas Wärme ∆Qzugeführt oder entzogen werden. Das Gas kann Arbeit ∆W leisten, indem es den Kolbenanhebt oder absinken lässt.Isotherme Zustansänderungen (∆T = 0)Zunächst beginnen wir mit einem idealisierten Prozess bei konstanter Temperatur.Ein solcher Prozess heisst isotherm (aus dem Griechischen: ”gleiche Temperatur”).Das System sei ein ideales Gas, dann gilt wegen pV = nRT und T = konst.,dass pV = konst. für eine bestimmte Gasmenge. Der Prozess folgt somit einem47

Abbildung 15.2: pV Diagramm, das einen isothermen Prozess bei zwei verschiedenenTemperaturen durchläuftVerlauf wie AB in dem pV Diagramm der Abbildung 15.2. Jeder Punkt auf derKurve steht für einen Systemzustand zu einem gegebenen Zeitpunkt. (Das ProduktpV ist kleiner wenn T kleiner ist, da pV = nRT ). Die dargestellten Kurven heissenIsotherme.Befindet sich das Gas ursprünglich im Zustand A und wird die Wärmemenge∆Q zugeführt, so bewegt sich das System zum Zustand B. Wenn die Temperaturkonstant bleiben soll, muss das Gas expandieren und die Arbeit ∆W an der Umgebungleisten (es übt eine Kraft auf den Kolben aus und bewegt ihn über einegewisse Distanz). Da bei einem idealen Gas gilt, dass U nur abhängig ist von derTemperatur T (ohne Beweis), so folgt hier: dU = ∆W + ∆Q = 0 ⇒ −∆W = ∆Q.Adiabatische Zustandsänderung (∆Q = 0)Bei einer adiabatischen Zustandsänderung darf keine Wärme in das System hineinoderaus dem System herausströmen. Z.B. ist das System sehr gut isoliert oder dieZustandsänderung läuft so schnell ab, dass Wärme (die langsam fliesst) keine Zeithat hinein- oder hinauszufliessen. Die schnelle Ausdehnung von Gasen in Verdichtungsmotorenist ein Beispiel für einen Prozess, der beinahe adiabatisch abläuft.Eine langsame adiabatische Expansion hat einen Verlauf wie AC in der Abbildung15.3. Da ∆Q = 0 folgt, dass dU = ∆W. Das bedeutet, dass die innere Energieabnimmt, wenn das Gas expandiert. Also fällt auch die Temperatur (U ist nur abhängigvon T beim idealen Gas). Eine adiabatische pV - Kurve ist i. a. steiler alseine Isotherme.In einer adiabatischen Kompression wird Arbeit am Gas verrichtet, somit nehmendie innere Energie und die Temperatur zu. In einem Dieselmotor beispielsweisevermindert die rasche adiabatische Kompression das Volumen um einen Faktor15 oder mehr. Der dadurch hervorgerufene Temperaturanstieg ist so gross, dasssich das Luft-Kraftstoff-Gemisch unmittelbar selbst entzündet.Isobare und Isochore Zustandsänderungen48

Abbildung 15.3: pV Diagramm für eine adiabatische (AC) und eine isotherme (AB) Zustandsänderungeines idealen Gases.Isobare und isochore Zustandsänderungen sind zwei weitere, einfache thermodynamischeProzesse. Sie sind in der Abbildung 15.4 dargestellt. Ein isobarer ProzessAbbildung 15.4: (a) Isobare (”derselbe Druck”) Zustandsänderung; (b) isochore (”dasselbeVolumen”) Zustandsänderung.ist ein solcher, bei dem der Druck konstant bleibt. Dieser Prozess wird durch einehorizontale Gerade im pV - Diagramm dargestellt. Ein isochorer Prozess oder isovolumetrischerProzess ist einer, in dem sich das Volumen nicht ändert. In diesenwie in allen anderen Prozessen gilt der erste Hauptsatz der Thermodynamik.49

Kapitel 16Elemente der kinetischenGastheorie16.1 Der GasdruckZiel: Makroskopische Eigenschaften von Gasen (p,T,V,...) auf die Bewegung derTeilchen zurückzuführen.Die Ursache für den Gasdruck in einem Behälter sind die Stösse der Gasteilchenauf die Gefässwände (vgl. Abbildung 16.1). Je N/6 Teilchen bewegen sich auf eineAbbildung 16.1: (a) Gasmoleküle bewegen sich in einem würfelförmigen Behälter (b) Pfeilezeigen den Impuls eines Moleküls an, wenn es von der Wand zurückprallt.Wand zu. Beim Stoss eines Teilchens auf die Wand (vollkommen elastischer Stoss)50

erfolgt die ImpulsänderungAlso∆⃗p = ⃗p nach −⃗p vor = −m⃗v − m⃗v = −2m⃗v (16.1)∆p = 2mv (16.2)Wie viele Moleküle prallen pro Sekunde auf eine Wand? Offensichtlich all jene,welche sich nicht weiter als v∆t von der Wand entfernt befinden. Befinden sich NMoleküle im Behälter mit Volumen V so ist die Telchendichte N/V . Im Quader mitder Grundfläche A befinden sich daher (N/V )Av∆t Moleküle. Von diesen laufenaber nur 1/6 auf die Wand zu. Die gesamte Impulsänderung ist also∆P = 1 ( ) N6 · V Av∆t 2mv = 1 3 · NV mv2 A∆t (16.3)Die Kraft, d.h. die Impulsänderung pro Sekunde, hat somit den BetragF = ∆P∆t = 1 3 · NV mv2 A (16.4)und für den Druck gibt dies schliesslichp = F A = 1 3 · NV mv2 = 2 3 · NV · mv2(16.5)2In der letzten Gleichung erscheint die kinetische Energie eines Moleküls. Natürlichhaben nicht alle Moleküle die selbe Geschwindigkeit, deshalb muss man darunterdie mittlere kinetische Energie eines Moleküls verstehen. Der Druck eines ideladenGases beträgt alsop = 2 3 · NV · Ē kin (16.6)Vergleicht man diese Gleichung mit dem idealen Gasgesetz pV = NkT , so siehtman, dass die beiden übereinstimmen, wenn( )2 13 2 m ¯v2 = kT (16.7)oderE kin = 1 2 m ¯v2 = 3 kT (16.8)2Diese Gleichung sagt uns, dassdie durchschnittliche kinetische Energie der Moleküle eines idealen Gases direktproportional zur absoluten Temperatur ist.Je höher die Temperatur, desto schneller bewegen sich gemäss der kinetischen Gastheoriedie Moleküle im Durchschnitt. Diese Beziehung ist eine der grossen Leistungender kinetischen Gastheorie.Bemerke: Weil die Temperatur ein Mass für die thermische Bewegung der Moleküleist, bleibt bei konstanter Temperatur die kinetische Energie der Molekularbewegungkonstant. Daraus folgt dannp ·V = konst. (16.9)welches wir als das Gesetz von Boyle-Mariotte schon kennengelernt haben.51

16.2 Innere Energie eines idealen GasesDie innere Energie U ist die Summe der kinetischen Energie sämtlicher Atome.(Wir betrachten hier nur einatomige Moleküle. Bei mehratomigen müsste mannoch Rotations- und Schwingungsenergien der Moleküle berücksichtigen.) Wirkönnen also mit N Molekülen schreiben:( ) 1U = N2 m ¯v2Oder mit Verwendung von Ē kin = 1 2 m ¯v2 = 3 2 kTU = 3 2 NkToderU = 3 nRT (16.10)252

Kapitel 17Berechnungen mit dem erstenHauptsatzDie folgenden Formeln für die Arbeit werden hier ohne Beweis geliefert, da dazudie Integralrechnung erforderlich wäre (wird in der 6. Klasse nachgeholt). Sie allefolgen aus der Berechnung von∫W =∫dW = −pdV .Wir werden sie bei der Berechnung von Kreisprozessen benötigen.• Isothermer Prozess, ideales Gas: Die vom Gas verrichtete Arbeit vom ZustandA zum Zustand B (vgl. Abbildung 15.2) beträgt:• Isobarer Prozess, ideales GasW = −nRT ln V BV A(17.1)W = −p B (V B −V A ) = −p∆V (17.2)oder mithilfe des idealen Gasgesetzes:(W = −nRT B 1 − V )AV B(17.3)• Adiabatische Expansion oder Kontraktion, ideales Gaswobei κ = C p /C V ist.pV κ = konstant (17.4)53

17.1 Wärmekapazität für Gase und die Gleichverteilungder EnergieMolare Wärmekapazität für GaseIm Gegensatz zu Festkörpern und Flüssigkeiten, unterscheiden sich bei Gasen diespezifischen Wärmekapazitäten stark, je nachdem ob sie bei konstantem Volumenc V oder bei konstantem Druck c p gemessen werden. Häufig benützt man die molarenKapazitätenQ = nC V ∆T (konstantes Volumen)undQ = nC p ∆T(konstanter Druck)wobei n die Anzahl Mol bedeutet. Der Unterschied zwischen C p und C V lässt sichmithilfe des 1. Hauptsatzes verstehen. Wir betrachten zwei Zustandsänderungeneines Systems wobei bei beiden ∆T um denselben Betrag ansteigen soll. Im Fallder isochoren Zustandsänderung kann keine Arbeit verrichtet werden, da ∆V = 0ist. Gemäss dem 1. Hauptsatz gilt folglichQ V = ∆UBeim isobaren Prozess hingegen wird Arbeit vom System verrichtet, d.h. es giltalso gilt insgesamt mit dem 1. HauptsatzW = −p∆VQ p = ∆U + p∆VAus den beiden Gleichungen für Q folgt dannQ p − Q V = p∆VUnd mit dem idealen Gasgesetz ∆V = nR∆T /p gilt( ) nR∆TnC p ∆T − nC V ∆T = ppoder gekürztC p −C V = R (17.5)Mithilfe der kinetischen Gastheorie kann man C V berechnen. Da bei konstant gehaltenemVolumen keine Arbeit verrichtet wird, gilt∆U = QFür ein einatomiges ideales Gas gilt( ) 1U = N2 m ¯v2 = 3 2 nRT54

Daraus folgt nunoder32 nR∆T = nC V ∆TC V = 3 2 R (17.6)Da R = 8,314J/(mol · K) ist, sagt die kinetische Gastheorie einen Wert von C V =12,47J/(mol · K) voraus. Dies ist nahe an den experimentell bestimmten Wertenfür einatomige Moleküle wie Helium und Neon (vgl. Tabellen). Ebenso stimmt derberechnete Wert für C p gut mit dem Experiment überein.Gleichverteilungssatz der EnergieDie gemessenen molaren Wärmekapazitäten für Gase nehmen zu für mehratomigeGase. Der Grund liegt in der Möglichkeit der Moleküle sich zu drehen und beihohen Temperaturen auch um ihre Gleichgewichtslagen zu schwingen. Ein zweiatomigesMolekül beispielsweise kann sich neben der reinen Translation auch nochum zwei verschiedene Achsen drehen (vgl. Abbildung 17.1). Die Achse durchdie Verbindung der beiden Atome kann weggelassen werden, da das zugehörigeTrägheitsmoment im Vergleich sehr klein ist. Allgemein kann man nach dem so-Abbildung 17.1: Ein zweiatomiges Molekül kann um zwei verschiedene Achsen rotieren.genannten Gleichverteilungssatz jedem Freiheitsgrad die Energie 1 2kT zuordnen.Die durchschnittliche Energie eines einatomigen Gases wäre also 3 2kT und diejenigeeines zweiatomigen 5 2kT . Somit wäre die innere Energie eines zweiatomigenGases N ( 52 kT ) = 5 2 nRT.Die Wahrheit ist ein bisschen komplizierter, da z.B. die Rotationsenergien und dieSchwingungsenergien erst bei höheren Temperaturen eine Rolle spielen. Bei tiefenTemperaturen sind diese Bewegungen mehr oder weniger eingefroren. Auch beiFestkörpern kann man mit der Argumentation der Freiheitsgrade auf die Wärmekapazitätenschliessen. Z.B. ist nach Dulong-Petit der Wert der Wärmekapazitätvon Festkörpern bei hohen Temperaturen nahe bei 3R (vgl. Abbildung 17.2). Offenbarkann man sagen, dass die Atome in einem Festkörper bei hohen Temperaturen6 Freiheitsgrade haben (vgl. Abbildung 17.3). Weshalb genau bei niedrigenTemperaturen einige Freiheitsgrade ”eingefroren” sind, erklärte eine Arbeitvon Einstein zur frühen Quantenmechanik. Gemäss Quantenmechanik gibt es keinekontinuierlichen Werte für die Energie der verschiedenen Freiheitsgrade. Bei55

Abbildung 17.2: Molekulare Wärmekapazitäten von Festkörpern als Funktion der Temperatur.Abbildung 17.3: Die Atome in einem kristallinen Festkörper können um ihre Gleichgewichtslagenschwingen, als wären sie mit Federn verbunden. In Wirklichkeit sind es natürlichelektrische Kräfte.56

tiefen Temperaturen reichen die Energien offenbar nicht aus, gewisse Freiheitsgradeanzuregen. Wenn diese quantenmechanische Beschreibung des Gleichverteilungssatzesbenützt wird, so stimmen die Experimente hervorragen mit der Theorieüberrein.57

Kapitel 18Wärmetransport: Wärmeleitung,Konvektion, WärmestrahlungMan unterscheidet drei Arten von Wärmeübertragung: Wärmeleitung, Konvektionund Wärmestrahlung. In den meisten Fällen sind aber alle drei Arten gleichzeitigwirksam. Wir besprechen nun kurz die drei verschiedenen Wärmetransporte.WärmeleitungVon Wärmeleitung spricht man, wenn in einem Material durch ein Temperaturgefälleein Wärmefluss stattfindet. Man kann sich dabei vorstellen, dass molekulareZusammenstösse dafür verantwortlich sind. Am heisseren Ende bewegen sich dieMoleküle schneller und stossen so an die benachbarten Gitteratome, welche sichzuerst langsamer bewegen. Dadurch werden diese angeregt und schwingen schlussendlichauch schneller. Bei Metallen sind es die Leitungselektronen, welche sichmehr oder weniger frei zwischen den festen Gitteratomen bewegen, die diese Funktionübernehmen.Experimentell findet man, dass der Wärmestrom durch einen Stoff proportional zurTemperaturdifferenz an seinen Enden ist. Er hängt zudem von der Form und Grössedes Körpers ab. Aus Experimenten findet man∆Q∆t= λA T 1 − T 2l(18.1)wobei A die Querschnittsfläche des Objekts und l die Distanz zwischen seinenbeiden Enden ist, die die Temperatur T 1 und T 2 haben. λ ist eine Konstante, diesogenannte Wärmeleitfähigkeit. Sie ist eine Materialkonstante und hängt von derTemperatur ab (s. Abbildung 18.1). Sie ist in Tabellen angegeben. Materialien mitgrossem λ sind gute Wärmeleiter, sie leiten die Wärme schnell. Die meisten Metallegehören dazu. Merkregel: Gute elektrische Leiter sind im allgemeinen auchgute Wärmeleiter. Materialien mit kleinem λ sind gute Isolatoren. Beispiele dafürsind Fiberglas und Daunen. Die Luft ist auch ein ausgezeichneter Isolator. Nur liegtdas Problem darin, dass sie an einer Oberfläche in Ruhe sein sollte. Gibt es z.B.58

Abbildung 18.1: Wärmeleitung zwischen zwei Flächen der Temperatur T 1 und T 2 .durch Wind einen Austausch der Luft mit neuer, kalter Luft, so stellt sich keineisolierende Wirkung ein. Die Kleidung beispielsweise wärmt hauptsächlich wegendes Umstandes, dass sie Luft einschliesst, welche dann als Isolator die Körperwärmebewahrt.Für Baumaterialien wird der sogenannte Wärmeübertragungswiderstand R angegeben,welcher definiert ist durchR = l λ(18.2)wobei l die Dicke und λ die Wärmeleitfähigkeit bedeutet.KonvektionVon Konvektion spricht man, wenn ein Wärmeaustausch stattfindet in Form vonAustausch von Gasteilchen oder Flüssigkeitsteilchen zum Teil auch über grosseEntfernungen. Z.B. steigt warme Luft über einer Wiese auf und kalte Luft fliesstan einem Abhang morgens hinunter. Das ganze meteorologische Wettergeschehenfusst auf Konvektionsströmungen, d.h. Luftströmungen. Auch erwärmtes Wassersteigt auf und kann somit bei Heizungssystemen eingesetzt werden, indem die Wärmevon Heizkörpern im ganzen Haus abgegeben wird.WärmestrahlungIm Gegensatz zu den vorherigen Wärmeübertragungen, welche immer mit Materiegeschehen, wird bei der Übertragung von Energie mittels Wärmestrahlungkeine Materie benötigt. Es sind sogenannte elektromagnetische Wellen (Magnetfelderund elektrische Felder welche oszillieren), welche die Energie transportieren.Z.B. erreicht uns die Energie der Sonne alleine durch die Strahlung und zwargeht dies ja sogar durch den leeren Raum. Die elektromagnetischen Wellen brauchenoffensichtlich kein Medium. Experimentell hat man herausgefunden, dass dieStrahlungsleistung eines Körpers proportional zur vierten Potenz der (absoluten)Temperatur T ist. Die Strahlungsleistung ist ausserdem proportional zur Fläche Ades emittierenden Objekts. Es gilt das sogenannte Stefan-Boltzmann-Gesetz∆Q∆t= eσAT 4 (18.3)59

wobei σ die universelle Stefan-Boltzmann-Konstante ist, mit dem Wertσ = 5,67 · 10 −8 W/m 2 · K 4 .Der Faktor e ist der Emissionsgrad, eine materialspezifische Zahl zwischen 0 und1. Sogenannte schwarze Körper, wie etwa ein Stück Holzkohle oder ein inwendigschwarz bemalter Hohlraum, haben einen Emissionsgrad nahe 1. Dagegen habenhell glänzende oder verspiegelte Oberflächen einen Emissionsgrad von nahezu 0.Jeder Körper emittiert nicht nur Strahlung, sondern absorbiert sie auch. Dabei gilt:”Je besser ein Körper absorbiert, desto besser strahlt er auch ab.”Hat ein Körper eine Umgebung mit hohem Emissionsgrad (nahe 1) und mit derTemperatur T 2 , so gilt für die Nettoleistung des Körpers∆Q∆t= eσA(T 41 − T 42 ) (18.4)Somit gibt es bei unterschiedlichen Körpern ein Nettoenergiestrom vom einen zumanderen, ausser sie haben dieselbe Temperatur. Dann befinden sie sich im thermischenGleichgewicht.Will man z.B. die Energieflussdichte der Sonne berechnen auf einen Körper aufder Erde, so benützt man die Tatsache, dass etwa 1350 W/m 2 als Leistung pro m 2auftrifft. Die Atmosphäre absorbiert je nach Witterung bis zu etwa 70 Prozent. Beieinem schönen, klaren Tag erreicht etwa 1000 W/m 2 den Erdboden. Ein Körpermit Emissionsgrad e und Fläche A absorbiert etwa∆Q∆t= (1000W/m 2 )eAcosθ (18.5)wobei der Winkel θ zwischen der Flächennormalen und den eintreffenden Sonnestrahlenist.60

Kapitel 19WärmekraftmaschinenAus mechanischer Arbeit kann man leicht Wärme erzeugen und zwar passiert diesmeistens in Form von Reibung. Umgekehrt ist es zwar möglich, aus Wärmeenergiemechanische Arbeit zu gewinnen, allerdings geht dabei immer auch ein Teil als”Abwärme”verloren und es ist einiges komplizierter. Trotzdem ist es den Technikernim 17. Jahrhundert gelungen, die ersten brauchbaren Wärmekraftmaschinenzu konstruieren (Dampfmaschinen). Wir wollen das allgemeine physikalische Prinzipnun etwas genauer betrachten.Grundsätzlich geht es bei allen Wärmekraftmaschinen darum, aus dem natürlichstattfindenden Wärmefluss etwas mechanische Energie abzuzweigen. Dieser Prozesswird häufig in schematischen Darstellungen widergegeben wie in Abbildung19.1. Die Wärmemengen und die Arbeit werden mit Beträgen geschrieben, da wirAbbildung 19.1: Schematische Darstellung der Energieübertragung bei einer Wärmekraftmaschine.uns nur noch für die Absolutwerte interessieren. Die Pfeile kennzeichnen die Energieübertragung.Die Temperaturen T H und T L werden die Arbeitstemperaturen der61

Wärmekraftmaschine genannt (L steht dabei für ”low”). Laut Energiesatz gilt|Q H | = |W| + |Q L | (19.1)Wir sind im Folgenden nur an zyklisch arbeitenden Maschinen interessiert, d.h. ansolchen, die immer wieder in die Ausgangslage zurückkehren.19.1 Wirkungsgrad von Wärmekraftmaschinen und derzweite HauptsatzDer Wirkungsgrad η wird definiert alsη = |W||Q H |(19.2)das heisst, es ist das Verhältnis zwischen Arbeitsleistung der Maschine und derzugeführten Wärmemenge bei der hohen Temperatur. Mit der Energieerhaltunggilt|W| = |Q H | − |Q L |. (19.3)Damit kann man nun schreibenη = |W||Q H | = |Q H| − |Q L |= 1 − |Q L||Q H | |Q H |(19.4)Aus dieser Gleichung wird klar, dass der Wirkungsgrad einer Maschine umso besserist, je kleiner |Q L | gemacht werden kann. Die Erfahrung zeigt jedoch, dass esunmöglich ist eine zyklische Wärmekraftmaschine zu konstruieren, bei der |Q L |wirklich Null ist (vgl. auch nächstes Kapitel). Vielmehr gibt dies Anlass zu eineranderen Formulierung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik (Kelvin-Version):Es gibt keine Wärmekraftmaschine, deren einzige Wirkung darin besteht, eine gegebeneWärmemenge vollständig in Arbeit umzuwandeln.19.2 Reversible und irreversible Prozesse; der Carnot-ProzessSadi Carnot (1796-1832), ein französischer Wissenschaftler, erarbeitete als ersterdie physikalischen Grundlagen der Wärmekraftmaschinen. Er wollte den Wirkungsgradvon Maschinen verbessern. Dabei entwickelte er die Idee einer idealenMaschine, welche heute als Carnot-Maschine bekannt ist. Bevor wir seine Arbeitanschauen, müssen noch zwei Begriffe geklärt werden:Reversible ProzesseEin revesibler Prozess läuft idealerweise unendlich langsam ab (quasistatisch),so dass er eigentlich als Abfolge von Gleichgewichtszuständen betrachtet werden62

kann. Der Prozess könnte somit auch rückwärts ablaufen ohne dass sich etwas dabeiändert.Irreversible ProzesseDies sind demzufolge Prozesse, welche nicht umkehrbar sind. Häufig treten Reibungoder bei einem Gas Turbulenzen auf (Geordnete mechanische Energie gehtüber in ungeordnete Wärmeenergie), die es unmöglich machen, dass der Vorgangumkehrbar ist.Man kann folglich nur reversible Prozesse in einem p−V -Diagramm darstellen, daes sich nur dabei um jeweilige Gleichgewichtszustände handelt. Doch obwohl diemeisten in der Realität vorkommenden thermodynamischen Prozesse irreversibelsind, spielen die reversiblen eine wichtige Rolle bei der theoretischen Betrachtung.Ein irreversibler Prozess kann sich natürlich auch an einen reversiblen annähern,wenigstens als Grenzfall.19.3 Die Carnot-MaschineDie Carnot-Maschine durchläuft einen reversiblen Kreisprozess. Das heisst, derganze Prozess ist als Abfolge von vielen Gleichgewichtszuständen zu verstehen,welche wieder zum Ausgangsort zurückführen. Der Prozess ist in der Abbildung19.2 dargestellt. Der Prozess beginnt bei a, wobei das Arbeitsmittel ein ideales GasAbbildung 19.2: Der Carnot’sche Kreisprozess63

sein soll. Zuerst wird also das Gas isotherm und reversibel expandiert, dabei wirdvon einem geeigneten Reservoir |Q H | zur Verfügung gestellt. Darauf folgt eine reversibleadiabatische Expansion bis c. Dadurch fällt die Temperatur auf T L . Derdritte Schritt ist eine reversible isotherem Kompression. Dabei gibt die Arbeitssubstanz(ideales Gas) die Wärmemenge |Q L | an die Umgebung ab. Zum Schlusswird das Gas nochmals reversibel adiabatisch Komprimiert und erreicht wieder denAnfangszustand. Man kann zeigen, dass die Arbeit, welche eine Carnot-Maschine(oder auch eine beliebig andere Maschine mit reversiblem Zyklus) pro Zyklus verrichtet,gleich der eingeschlossenen Fläche ist.19.4 Carnot’scher Wirkungsgrad und der zweite Hauptsatzder ThermodynamikDer Wirkungsgrad ist gegeben durchη = 1 − |Q L||Q H |Wir berechnen ihn nun für die ideale Carnot-Maschine:Der erste Abschnitt ist isotherm, also folgt gemäss Gleichung 17.2 für die von Gasverrichtete ArbeitW ab = nRT H ln V bV aDabei ist n die Anzahl Mol des Arbeitsgases. Da sich bei einem idealen Gas dieinnere Energie nicht ändert, wenn die Temperatur konstant bleibt, gilt nach demersten Hauptsatz|Q H | = nRT H ln V bV aAnalog gilt für die im dritten Abschnitt abgegebene WärmeFür die adiabatischen Abschnitte gilt|Q L | = nRT L ln V cV d.p b V κ b = p c V κc und p d V κ d = p a V κ aAus dem idealen Gasgesetz folgt zudem (n ist konstant)p b V bT H= p cV cT Lundp d V dT L= p aV aT HWenn man nun die beiden letzten Zeilen Term für Term durcheinander dividiert, soerhält manT H Vbκ−1 = T L Vc κ−1 und T L Vdκ∗1 = T H Va κ−1 (19.5)64

Als nächstes dividieren wir die linken Gleichungen durch die rechtenAlso giltoder( ) κ−1 ( ) κ−1Vb Vc=V a V dV bV a= V cV dln V bV a= ln V cV dNun setzen wir diese Ergebnis in die Gleichungen für |Q L | und |Q H | ein und erhalten|Q L ||Q H | = T LCarnot ′ scher Kreisprozess (19.6)T HDer Wirkungsgrad einer reversiblen Carnot’schen Wärmekraftmaschine ist somitη ideal = 1 − |Q L||Q H | = 1 − T LT HCarnot ′ scher Wirkungsgrad (19.7)Der Wirkungsgrad einer Carnot’schen Wärmekraftmaschine hängt also nur vonden Temperaturen T L und T H ab.Es sind weitere reversible Kreisprozesse möglich, die man für eine Wärmekraftmaschinenutzen könnte. Der Satz von Carnot besagt jedoch folgendes:Alle reversiblen Wärmekraftmaschinen, die zwischen den gleichen konstanten TemperaturenT H und T L arbeiten, haben den gleichen Wirkungsgrad. Eine beliebigeirreversible Wärmekraftmaschine, die zwischen zwei gleichen festen Temperaturenarbeitet. hat einen Wirkungsgrad, der kleiner ist als dieser.Eine gut konstruierte Wärmekraftmaschine erziehlt in der Praxis vielleicht 60 bis80 Prozent des Carnotschen Wirkungsgrades. Es folgt aber aus Gleichung 19.7auch, dass eine Maschine mit 100 prozentigem Wirkungsgrad nicht möglich ist.Nur wenn die Abgastemperatur T L abolut null wäre, wäre ein Wirkungsgrad von100 Prozent realisierbar. Doch das Erreichen dieser Temperatur des absolten Nullpunktesist praktisch (wie auch theoretisch) unmöglich.19.5 Der Gleichraumprozess (Ottomotoren)Die Arbeitsweise eines Verbrennungsmotores kann (idealisiert) als ein reversiblerZyklus der Art wie in Abbildung 19.3 dargestellt werden. Dabei wird bei a zuerstdas Arbeitsgas (Benzin-Luft-Gemisch adiabatisch komprimiert bis b (Kompressionshub),daraufhin wird das Gemisch entzündet durch einen Zündfunken. Dannwird bei konstantem Volumen (isochor) sowohl die Temperatur als auch der Druck65

erhöht bis c. Im Arbeitshub (oder Arbeitstakt) expandiert das Gas bis d adiabatisch.Zum Schluss wird im Auslasshub die Wärme Q L abgeführt. (In realen Motorenverlässt das verbrannte Gemisch den Motor und wird durch ein frisches Benzin-Luft-Gemisch ersetzt.)Abbildung 19.3: Der Gleichraumprozess (Ottomotor)19.6 Kältemaschinen, Klimaanlagen und WärmepumpenKältemaschinen (Kühlschränke, Kühltruhen), Klimaanlagen und Wärmepumpenhaben alle das gleiche Funktionsprinzip: sie transportieren Wärme vom kälterenReservoir zum wärmeren Reservoir. Dabei ist eine Arbeitsleistung einer Pumpenötig, denn Wärme würde ja gemäss dem 2. Hauptsatz nur von alleine in die umgekehrteRichtung fliessen. Da eine Kältemaschine oder eine Wärmepumpe eigentlicheine Umkehrung einer Wärmekraftmaschine ist, kann der Wirkungsgrad natürlichnicht 100 Prozent betragen (Carnot). Somit definiert man bei Kältemaschinendie sogenannte Leistungszahl LZ durchLZ = |Q L||W|Kältemaschine und Klimaanlage (19.8)Diese Definition ist sinnvoll, denn je mehr Wärme aus dem Innern eines Kühlsystemsfür einen gegebenen Arbeitsbetrag abgeführt werden kann, desto besser(effizienter) ist es. Mithilfe des 1. Hauptsatzes können wir folgern, dass gilt|Q L | + |W| = |Q H | oder |W| = |Q H | − |Q L | und somitLZ = |Q L||W| = |Q L ||Q H | − |Q L |(19.9)Für eine ideale Kältemaschine (eine perfekte kann es nicht geben) wäre die bestemögliche LeistungszahlLZ ideal =T L(19.10)T H − T L66

Eine Wärmepumpe ist eigentlich physikalisch dasselbe wie eine Kältemaschineoder eine Klimaanlage, nur interessiert man sich für das Heizen. Der AusdruckWärmepumpe soll auch diesem Umstand gerecht werden (vgl. Abbildung 19.4).Die Leistungszahl einer Wärmepumpe ist sinnvollerweise anders definiert als die-Abbildung 19.4: Eine Wärmepumpe ”pumpt” Wärme von draussen (niedrige Temperatur)ins warme Innere eines Hauses (höhere Temperatur)jenige von Kältemaschinen, da ja hier |Q H | die wichtige Grösse ist, da sie insHausinnere geleitet wird. Somit giltLZ = |Q H||W|(19.11)und somit für die Leistungszahl einer WärmepumpeLZ =T HT H − T L(19.12)67

Kapitel 20Ein kleine Einführung in dieAstronomie20.1 Eigenschaften der SterneEin Blick auf den Sternenhimmel offenbart uns nur einen ganz winzigen, zeitlichenAuschnitt aus dem Leben der Sterne, die Lebensspannen haben von einigen MillionenJahren. Trotzdem können wir heute, dank der Arbeit vieler Forscherinnen undForscher, einiges über die Sterne sagen. Z.B. wissen wir, dass die meisten Sterne etwazu 3/4 aus Wasserstoff und zu 1/4 aus Helium bestehen, wie unsere Sonne. Nurgerade etwa 2 Prozent schwerere Elemente als Helium sind in Sternen enthalten.Im Folgenden geht es darum zu beschreiben, wie man in der Astronomie Kenntnisseüber die Sterne und Sternansammlungen gewinnt. Als Haupteigenschaften derSterne ergeben sich: Leuchtkraft, Oberflächentemperatur und Masse.20.2 Wie messen wir die Leuchtkraft von Sternen?Die Leuchtkraft eines Sterns ist die von ihm gesamthaft abgegebene Leistung inWatt. Wenn wir einen Stern beobachten, so messen wir die scheinbare Helligkeit,welche definiert ist durchscheinbare Helligkeit = Leuchtkraft4π · R 2 (20.1)wobei R der Radius der gedachten Kugel ist, die bis zur Erde reicht. Dies bedeutet,dass die scheinbare Helligkeit mit dem Abstand im Quadrat abnimmt. Was ja auchzu erwarten ist, wenn man sich vostellt, dass die gesamte vom Stern abgegebeneLeistung auf die Kugeloberfläche zu verteilen ist.Wenn man nun mit einem Detektor (z.B. ein CCD ”charge coupled device”) diescheinbare Helligkeit genau misst, so kann man bei bekanntem Abstand die Leuchtkraftberechnen. Weiss man von irgendwoher die Leuchtkraft, so kann man umgekehrtauch die Entfernung messen. Ein Problem stellt sich noch wegen allfälligem68

interstellarem Staub, der die scheinbare Helligkeit heruntersetzen kann, da ein Teilder Strahlung abgelenkt oder absorbiert wird. Auch ist die Kalibrierung nicht einfach,vor allem muss jeweils bei Teleskopen auf der Erde noch die absorbierendeLufthülle einbezogen werden. Ausserdem ist kein Detektor im Stande, sämtlicheWellenlängen aufzuzeichnen. Unser Auge z.B. ist nur im optischen Bereich empfindlich,kann somit weder Infrarot noch ultraviolette Photonen registrieren.20.3 Entfernungsmessung anhand der ParallaxeWenn sich die Erde einmal pro Jahr um die Sonne dreht, so verschieben sich dieSterne scheinbar in ihrer Position. Dieses Phänomen nennt man Parallaxe. Vonblossem Auge ist dies kaum zu erkennen, aber mit modernen Teleskopen könnenso nähergelegene Sterne vermessen werden. Die Abweichungen sind allerdings imBereich von Bogensekunden. Anhand trigonometrischer Überlegungen, und demUmstand, dass für kleine Winkel sinα ≃ α gilt, folgt für die Entfernung einesSternes1d(inParsec) =(20.2)p(inBogensekunden)Dabei ist die Einheit Parsec zusammengesetzt aus Parallaxe und sec für Sekunde.Diese in der Astronomie viel gebrauchte Einheit kann in Lichtjahre (=Distanz, diedas Licht in einem Jahr zurücklegt) umgerechnet werden:1pc = 3,26LJ20.4 Die Leuchtkraft der SterneMithilfe der Parallaxe und der scheinbaren Helligkeitsmessung kann man nun Erkenntnisseüber die Leuchtkraft von Sternen gewinnen. Dabei werden sie in Vielfachender Sonnenleuchtkraft L ⊙ angegeben. Aus den Resultate solcher Berechnungenerkennt man:• Die Leuchtkraft der Sterne überdeckt einen weiten Bereich. Die schwächstenSterne haben eine Leuchtkraft von etwa 10 −4 L ⊙ , die hellsten etwa 10 6 L ⊙ .• Leuchtschwache Sterne kommen viel häufiger vor als helle Sterne.20.5 Wie messen wir die Temperatur von Sternen?Man kann die Oberflächentemperatur der Sterne entweder über die Farbe oder überdas Spektrum bestimmen. (Die Kerntemperatur ist nur über die Theorie zugänglich).Dabei hängt die Farbe nicht von der Entfernung ab.69

Farbe und TemperaturDie Farbe eines Sternes kann ganz direkt als Indikator für die Oberflächentemperaturgenutzt werden. Z.B. ist ein roter Stern kühler als ein gelber Stern, derwiederum ist kühler als ein blauer Stern. Wie man aus der Thermodynamik weiss,ist die Wärmestrahlung nur von der Oberflächentemperatur abhängig, welche dieStrahlung abgibt. Anhand der Kurven des Planck’schen Strahlungsgesetzes kannman mit der Messung von zwei oder drei ”Frequenzfenstern” die genaue Kurvenformbestimmen und damit auch eine Aussage über die hauptsächlich abgestrahlteWellenlängen machen. Dies wiederum ermöglicht eine genaue Bestimmung derOberflächentemperatur des Körpers.Spektraltypen und TemperaturDie Bestimmung der Farben der Sterne wird oft etwas verfälscht durch interstellarenNebel, der z.B. ein Teil des Spektrums absorbiert, deswegen ist eine andereMethode der Temperaturbestimmung oft viel besser. Wenn man das Spektrum einesSternes aufnimmt, so sieht man charakteristische Spektrallinien. Bei Sternenmit hochionisierten Elementen sieht man dies an den entsprechenden Spektrallinien.Wenn man hingegen Spektrallinien von Molekülen erkennen kann, so mussder Stern eine tiefere Temperatur haben. Die Sterne werden anhand von Spektrenin Spektraltypen eingeteilt, gemäss dem Schema OBAFGKM, wobei O heissenSternen mit der blauesten Farbe zugeordnet wird. Die Klassen werden noch in Unterklassenunterteilt, z.B. B3. Wobei die Ziffern grösser werden mit abnehmenderTemperatur. Die Spannweite von Temperaturen ist nicht so gross wie die Spannweitebei den Leuchtstärken. Die Temperaturen reichen etwa von 3000 K (SpektraltypM) bis zu 40000K (Typ O). Es gibt viel mehr kühle rote Sterne als heisseblaue.20.6 Wie messen wir die Masse von Sternen?Mit dem 3. Keplerschen Gesetz kann man bei Doppelsternsystemen, bei bekanntenmittleren Radien der Umlaufbahnen und den Perioden, die Massen bestimmen.Rund die Hälfte aller sichtbaren Sterne sind Mitglied eines Doppelsternsystems,wobei auch Mehrfachsysteme als solche bezeichnet werden. Zuerst aber eine kleineÜbersicht über verschiedene Doppelsternsysteme:• Ein Visuelles Doppelsternsystem ist ein Sternenpaar, welches man mit einemTeleskop auflösen kann, d.h. es ist möglich, die Sterne während ihresUmlaufs zu beobachten. Manchmal ist ein Partner zu lichtschwach um ihnzu sehen, trotzdem kann man anhand der Bewegung des anderen, sichtbarenPartners, die gemeinsame Bewegung herausfinden.• Bedeckungsveränderliche sind Sternenpaare, die ihre Bahnebene parallel zur70

Sichtlinie haben. Auch wenn die einzelnen Sterne nicht einzeln auflösbarsind, kann doch eine periodische Veränderung der scheinbaren Helligkeitfestgestellt werde. Diese stellt sich immer dann ein, wenn der eine Stern denanderen beim Umlaufen überdeckt.• Spektroskopische Doppelsterne sind Sternsysteme welche durch den optischenDopplereffekt (Verschiebung der Spektrallinien) erfasst werden. Wennein Stern einen anderen umkreist, so wird er sich immer periodisch einmalauf uns zu und einmal von uns weg bewegen. Manchmal kann man auch zweisich verschiebende Spektren feststellen, d.h. man misst die Blau- respektiveRotverschiebung beider Partner. Man spricht dann von einem spektroskopischenDoppelstern mit doppelten Linien.20.7 Massenbestimmung bei DoppelsternsystemenUm effektiv die Massen bei einem Doppelsternsystem zu bestimmen, braucht mansowohl die Umlaufsperiode als auch den Abstand der Sterne. Nur in seltenen Fällenist dieser Abstand direkt messbar. Die Perioden hingegen sind sehr gut messbar.Z.B. ist bei Bedeckungsveränderlichen einfach die Zeit zwischen zwei solchenIntervallen zu messen. Für die Bestimmung des Abstandes lässt sich die Spektralverschiebungbenützen mit denen man die Geschwindigkeiten ableiten kann.Allerdings sind die Bahnen meistens nicht genau parallel zur Ebene der Sichtrichtungund man misst somit nicht die wirkliche Geschwindigkeit. Deshalb sindBedeckungsveränderliche äusserst hilfreich bei der Bestimmung der Massen derSterne, da sich ja ihre Bahnen parallel zur Ebene der Sichtrichtung befinden. Fürdie Berechnung benötigt man das 3. Keplersche Gesetz in der Newtonschen Fassung:p 2 4π 2=G(M 1 + M 2 ) · a3 (20.3)Wobei p die Periode, a der (mittlere) Radius der Umlaufsbahn, G = 6,67·10−11 m3kgs 2die Gravitationskonstante und M 1 und M 2 die Massen der beiden Sterne bedeutet.Oft kennt man die relative Bahngeschwindigkeit des einen Sterns bezüglich des anderendurch Messung der Doppler-Verschiebungen. Wenn man noch als NäherungKreisbahnen annehmen kann, so kann man aus der bekannten Geschwindigkeit vdie grosse Halbachse (Radius der Kreisbahn) a bestimmen mitv = 2πap(20.4)alsoa = pv2πMit 20.3 lässt sich nur die Summe (M 1 + M 2 ) der Massen bestimmen. Allerdingskann man oft anhand der Dopplerverschiebungen indirekt die Massenverhältnisse71

(z.B 2:1) ablesen. Die Spannweiten von so gefundenen Sternenmassen belaufensich vom 0,08-Fachen der Sonnenmasse bis zu 150 M Sonne .20.8 Systematik von SternenZwischen Oberflächentemperatur und Leuchtkraft besteht ein enger Zusammenhang,der durch die Arbeiten von Hertzsprung und Russell zu Beginn des 20.Jahrhunderts herausgearbeitet wurde. Sie trugen in einem Diagramm auf der einenAchse die Leuchtkraft der Sterne und auf der anderen Achse ihren Spektraltypenauf. Die durch diese Darstellung entstandenen Muster trugen wesentlich zum Vertändnisder stellaren Lebenszyklen bei.Das Hertzsprung- Russell-Diagramm, kurz HR-DiagrammIm H-R-Diagramm nimmt auf der horizontzalen Achse von links nach rechts dieOberflächentemperatur ab, nach der Spektralsequenz OBAFGKM. Auf der senk-Abbildung 20.1: Ein H-R-Diagramm72

echten Achse nimmt nach oben die Leuchtkraft zu (angegeben in Vielfachen derSonnenleuchtkraft L ⊙ ). Die Skala ist logarithmisch gewählt, da sie einen weitenBereich überspannt. Man kann damit sagen, dass z.B. die Sterne links oben ”heiss”und ”sehr hell” sind, während die Sterne rechts unten ”nicht so heiss” und ”nichtso hell” sind.Das Diagramm liefert direkte Hinweise über die Sternradien, da die Leuchtkrafteines Sterns sowohl von seiner Oberflächentemperatur als auch von der Grösseseiner Oberfläche abhängt. Nach dem Gesetz von Stefan Boltzmann für die Wärmestrahlung(schwarzer Körper, d.h. e = 1 ) giltL = 4πr 2 · σT 4 (20.5)Daraus lässt sich r berechnen zu√Lr =4πσT 4Haben zwei Sterne die gleiche Oberflächentemperatur, so kann der eine nur dannleuchtkräftiger sein als der andere, wenn er einen grösseren Radius besitzt. Wennwir im H-R-Diagramm von links unten nach rechts oben gehen, müssen die Radiensomit anwachsen.Systematik im HR-Diagramm• Die meisten Sterne befinden sich auf der Hauptreihe. Auch unsere Sonne istauf diesem diagonalen Band.• Die Sterne oben rechts werden als Überriesen bezeichnet. Sie sind sehr hellund auch sehr gross.• Unterhalb der Überriesen befinden sich die Riesensterne. Sie sind etwas wenigerleuchtstark und weniger gross, aber immer noch viel grösser als dieSterne der Hauptreihe.• Die Sterne unten links werden Weisse Zwerge genannt. Sie sind sehr klein(etwa von der Gösse der Erde) aber aufgrund ihrer hohen Temperatur erscheinensie weiss.LeuchtklassenNeben den 4 genannten Typen gibt es noch weitere ”Zwischenkategorien”. Deswegenhat man noch ein verfeinertes System der Leuchtklassen eingeführt.Tabelle 1IIIIIIIVVLeuchtklassen der SterneÜberriesenHelle RiesenRiesenUnterriesenHauptreihensterne73

Dabei fallen die weissen Zwerge aus dieser Kategorie heraus. Sie werden stattdessenmit ”wd” für ”white dwarf” abgekürzt. Damit hat man nun eine vollständigeSternklassifikation gefunden. Kennt man den Spektraltyp und die Leuchtklasse einesSterns, so kann man ihn eindeutig klassifizieren. Beispielsweise lautet die vollständigeKlassifizierung unserer Sonne G2V. Der Spektraltyp G2 besagt, dass ihreFarbe gelbweiss ist und V bedeutet, dass sie ein Hauptreihenstern ist, der Wasserstoffverbrennt.20.9 Welche Bedeutung hat die Hauptreihe?Die meisten Sterne befinden sich auf der Hauptreihe. Sterne mit hoher Leuchtkrafthaben auch eine hohe Oberflächentemperatur und befinden sich links oben.Hauptreihensterne mit geringer Leuchtkraft sind ganz kühl. Dank der Bestimmungder Massen von Doppelsternen waren die Astronomen in der Lage, einen Zusammenhangzwischen Masse und Position auf der Hauptreihe zu finden.Massen der HauptreihensterneDie Sterne auf der Hauptreihe fusionieren alle Wasserstoff zu Helium. Die massereichenSterne haben allerdings eine viel grössere Rate mit der sie fusionieren.Offenbar hängt die Fusionsrate ganz entscheidend von der Masse ab. Wenn man dieAbbildung 20.1 anschaut, so sieht man, dass die Massen von links oben nach rechtsunten abnehmen. Ausserdem gibt es viel mehr Sterne am rechten unteren Teil derHauptreihe. Der Grund liegt darin, dass die massereichsten Sterne eine viel kürzereLebensdauer haben als solche mit wenig Masse. Dies scheint auf den ersten Blickparadox zu sein. Doch wenn man beachtet, dass ein massereicher Stern eine vielgrössere ”Gegenkraft” zur Gravitationskraft über die Wärmebewegung im Kern,d.h. über die Kernfusionsrate, aufbringen muss, wird schnell klar, dass der vermeintlicheVorteil des riesigen ”Brennstoffvorrates” an Wasserstoff letztlich dazuführt, dass die Masse schneller verbraucht wird. Die erhöhte Kernfusionsrate führtnatürlich auch zu einer erhöhten Leuchtkraft, so dass z.B. ein Stern mit 10M ⊙ etwa10’000-mal leuchtkräftiger ist als die Sonne.Der Zusammenhang zwischen der Oberflächentemperatur und der Masse istetwas schwieriger zu finden, denn ein leuchtstarker Stern kann entweder eine sehrhohe Oberflächentemperatur aufweisen oder einfach sehr gross sein. Oder er kannnatürlich eine gewisse Kombination von beiden haben. Da man herausgefundenhat, dass die massereichsten Sterne der Hauptreihe nur etwa den 10-fachen Sonnenradiushaben, aber dabei etwa 10’000 mal leuchtkräftiger sind, kann man schliessen,dass Sterne der Hauptreihe, die massereicher sind als die Sonne, auch eine höhereOberflächentemperatur haben und vice versa. Deswegen verläuft die Hauptreiheauch diagonal von links oben nach rechts unten. Kennt man von einem Stern derHauptreihe also z.B. seinen Spektraltyp, so kennt man auch etwa seine Masse undseine Leuchtkraft.74

Lebensdauern der HauptreihensterneJeder Stern hat eine begrenzte Menge an Wasserstoff zur Verfügung, den er zu Heliumfusionieren kann. Er kann daher nur eine begrenzte Zeit auf der Hauptreiheverweilen. Da die meisten Sterne aber den grössten Teil ihres Lebens auf derselbenverbringen, nennt man diese Verweildauer auf der Hauptreihe auch ganz einfach”Lebenszeit”.Nochmals zur Erinnerung: ein Stern, der eine 10-fache Sonnenmasse aufweist,1gleichzeitig aber eine 10’000-fache Leuchtkraft hat, hat nur etwa1000der Lebensdauerder Sonne. Da unsere Sonne etwa 10 Milliarden Jahre Lebensdauer hat,entspräche dies nur gerade 10 Millionen Jahre. Umgekehrt hat ein Stern mit 0,3Sonnenmassen und 0,01-facher Leuchtkraft eine etwa 30 mal längere Lebensdauer,also ca. 300 Milliarden Jahre.Abschliessend lässt sich sagen, dass man die Masse der Sterne die grundlegendsteEigenschaft der Sterne nennen kann, da sie die Verweildauer auf der Hauptreihebestimmt.20.10 Riesen, Überriesen und weisse ZwergeSterne, die ihren Brennstoff weitgehend aufgebraucht haben, werden zu roten Riesenoder Überriesen. Diese Sterne haben gewissermassen eine ”Energiekrise” undsie verbrennen mit unglaublicher Intensität ihren letzten Brennstoff um dem drohendenGravitationskollaps zu entgehen. Dies erklärt ihre enorme Leuchtkraft. Andererseitssind sie nicht sehr heiss, was bedeutet, dass sie eine riesige Oberflächehaben. Sie blähen sich auf. Beteigeuze, ein Überrise, hat z.B. etwa den 500-fachenSonnenradius! Viele der hellsten Sterne am Himmel sind Überriesen, die oft anihrer rötlichen Farbe zu erkennen sind.Weisse Zwerge sind die nächste Station für alternde Sterne. Sie haben allenKernbrennstoff aufgebraucht, die Fusion ist vollständig erloschen. Die äussere Hülledes Sterns wird abgeworfen und zurück bleibt nur noch ein sehr dichter undheisser freiliegender Kern, welcher aber nur noch seine Restwärme abstrahlt. Typischerweisesind weisse Zwerge kaum grösser als die Erde, haben aber durchaussoviel Masse wie die Sonne.20.11 PulsationsveränderlicheEinige Sterne haben ein Problem mit der Abstrahlung ihrer Energie. Zum Beispielkann die Oberfläche zuwenig durchlässig bzw. undurchsichtig sein (opak) für dieStrahlung. Daher blähen sich diese Sterne auf, bis die Oberfläche genug durchlässigwird, worauf dann der innere ”Überdruck” wieder zurückgebildet werdenkann. Dies führt zu einer periodischen Schwankung der Leuchtkraft, wobei diese75

Perioden variieren im Bereich von Stunden bis hin zu Jahren. Die meisten dieserVeränderlichen befinden sich im HR-Diagramm in einem Gebiet zwischen derHauptreihe und den roten Riesen. Eine speziell leuchtkräftige Variante dieser Veränderlichen,die Cepheiden, beinden sich im oberen Teil dieses Gebiets. Die Cepheidensind wichtig geworden bei der Entfernungsmessungen von Galaxien, dasie einerseits sehr hell sind und andererseits ihre Pulsationsfrequenz sehr eng mitder Leuchtkraft verknüpft ist. Sie ermöglichten massgeblich die Grösse unseresKosmos zu enthüllen!20.12 SternhaufenSterne entstehen in riesigen Gaswolken. Da es jeweils genügend Materie hat, entstehenviele Sterne in Gruppen oder sogenannten Sternhaufen. Diese eignen sichdeshalb gut für Untersuchungen an Sternen.• Alle Sterne in einem Sternhaufen haben praktisch die gleiche Entfernung zurErde• Alle Sterne eines Sternhaufens sind praktisch gleichzeitig entstanden (innerhalbweniger Millionen Jahre)Es gibt zwei grundlegende Arten von Sternhaufen: mittelgrosse offene Sternhaufenund dicht gepackte Kugelsternhaufen. Diese zwei Arten unterscheiden sich hauptsächlichdurch ihr Alter und ihren Aufenthaltsort. Die offenen Sternhaufen sindüberwiegend jung und befinden sich meist im Innern einer galaktischen Scheibewie z.B. unserer Milchstrasse. Die bekanntesten Sternhaufen sind die Plejaden,eine auffällige Gruppe von Sternen im Sternbild Stier (vgl. Abbildung 20.2). DieAbbildung 20.2: Die Plejaden, ein junger (ca. 100 Mio. Jahre alt), nahegelegener offenerSternhaufen im Sternbild Stier.Kugelsternhaufen andererseits sind meist im Halo, d.h. unterhalb oder oberhalb76

der galaktischen Scheibe zu finden. Diese Kugelsternhaufen gehören interessanterweisezu den ältesten Sternen des ganzen Universums. Ein Kugelsternhaufen kannüber eine Million Sterne enthalten in der Form einer Kugel von ca. 60 bis 150Lichtjahren Durchmesser. Die Sterne in einem solchen Kugelsternhaufen vollführeneinen z.T. recht komplizierten Tanz ums gravitative Zentrum, der zeitweise zueiner Schwingung vom Rand bis zum Zentrum des Haufen führt. Einigen Sternengelingt es auch, mit der Zeit aus dem Kugelhaufen zu entkommen. So verlierendiese Gebilde allmählich auch ihre Sterne.20.13 Wie misst man das Alter von Sternhaufen?Wenn man die Sterne eines Sternhaufens in ein HR-Diagramm überträgt, fälltauf, dass sich jeweils ein sogenannter Abknickpunkt bestimmen lässt (s. Abbildung20.3). Das heisst, die meisten Sterne befinden sich auf der Hauptreihe, da sieAbbildung 20.3: Das HR-Diagramm für die Sterne des Kugelsternhaufens M4.Wasserstoff fusionieren. Ab einer gewissen Stelle aber gibt es einen Knick, d.h.ab da sind die Sterne dann oberhalb der Hauptreihe. Die Verweildauer der letztenSterne der Hauptreihe vor dem Knick entspricht also gerade etwa dem Alterdes Sternhaufens, sind doch alle, die eine kürzere Lebensdauer haben, bereits nichtmehr auf der Hauptreihe. In vielen Millionen Jahren wird die Anzahl der Sterneauf der Hauptreihe also immer kleiner. Die Bestimmung des Abknickpunktes istalso die wichtigste Methode, um das Alter von Sternhaufen zu bestimmen.Auf diese Weise (und mit theoretischen Betrachtungen) wurde festgestellt, dassKugelsternhaufen älter als 13 Milliarden Jahre alt sind und somit zu den ältesten77

Objekten des Universums zählen, während offene Sternhaufen relativ jung sind,d.h. nur wenige von ihnen älter als 5 Milliarden Jahre sind.78

Kapitel 21Entropie21.1 Reversible und irreversible VorgängeIm Gegensatz zur Mechanik können thermische Vorgänge nur in eine Richtung ablaufen.Ein auf dem Boden zersprungenes Glas wurde nie dabei beobachtet, dasses sich selbst wieder zusammensetzt, auf den Tisch springt und dabei die Umgebungabkühlt. Der zweite Hauptsatz regelt diesen Befund. In der Mechanik tretennur reversible Prozesse auf, in der Wärmelehre hingegen gibt es auch irreversible.Zur mathematischen Beschreibung irreversibler Vorgänge hat Rudolf Clausius1865 eine neue physikalische Grösse eingeführt; die Entropie (in Anlehnung andas griechische Wort für Veränderung). Betrachten wir ein einfaches Beispiel: Einideales Gas befindet sich in der linken Hälfte eines durch eine Wand geteilten Behälters.Entfernt man die Wand, so verteilt sich das Gas gleichmässig (Expansionins Vakuum). Obwohl das Gas hierbei keine Arbeit verrichtet und sich somit auchdie Temperatur nicht ändert, handelt es sich um einen irreversiblen Vorgang, dennes ist sehr unwahrscheinlich, dass sich irgendwann wieder alle Gasteilchen auf derlinken Seite befinden. Dies kann man nach Ludwig Boltzmann folgendermassenveranschaulichen: Nehmen wir an, wir schauen jede Sekunde nach, wo sich dieTeilchen befinden. Zuerst haben wir nur ein einzelnes. Da ist die Wahrscheinlichkeites nach einer Sekunde links anzutreffen 50%. Bei zwei Teilchen halbiert sichder Wert, d.h. wir müssen im Schnitt 2 2 Sekunden warten, bis wir wieder beidein der linken Hälfte haben. Bei N Teilchen beträgt diese Zeit also 2 N Sekunden.Nehmen wir an, wir hätten ein Mol Teilchen. Dann wäre also im Mittel 2 6,023 ·10 23Sekunden zu warten. Diese Zahl ist so unvorstellbar gross (man benötigte einenPapierstreifen der rund um unsere Galaxie reichen würde um sie aufzuschreiben),dass wir sagen können, die Umkehr irreversibler Vorgänge ist nicht möglich, da extremunwahrscheinlich. Man kann allerdings ein Gas auch reversibel auf das doppelteVolumen bringen, indem man die Zustansänderung sehr langsam ausführt.79

21.2 Entropie und InformationIn der Thermodynamik hat man es immer mit sehr vielen Teilchen zu tun, z.B. mit6,023 · 10 23 . Da hat man keine Chance, die Positionen und die Geschwindigkeitensämtlicher Gasteilchen zu kennen. Was wir aber z.B. beim obigen Beispiel wissen,ist die Anfangssituation: alle Gasteilchen befinden sich in der linken Hälfte. Nachdem Öffnen geht diese Information verloren.Man bedient sich nun bei einem Konzept aus der Informatik. Man sagt, fürjedes Teilchen gilt entweder, es befindet sich links, oder es befindet sich rechts.Man nennt eine solche Information ein bit. Wenn nun die Schleuse geöffnet wird,gehen bei N Teilchen N bit an Information verloren. Wir können nun die Entropiefolgendermassen definieren: Die Entropie S eines thermischen Systems ist gegebendurch S = 0,7·k ·(fehlende Information über das System, gemessen in bit). Dabeiist k die Boltzmannkonstante. Der Faktor 0,7 wird weiter unten erklärt.21.3 Eigenschaften der EntropieBei irreversiblen Vorgängen steigt also die Entropie an wegen des Informationsverlusts.Beispielsweise ist bei unserem Gas die Zunahme ∆S = 0,7kN. Da dieInformation nicht von selbst zunimmt, kann die Entropie eines abgeschlossenenSystems niemals kleiner werden. Bei reversiblen Vorgängen ändert sich daher dieEntropie in einem abgeschlossen System nicht.Betrachten wir nun den reversiblen Vorgang der isothermen Expansion einesGases zum doppelten Volumen. Da sich das Volumen auch hier verdoppelt, mussdie Entropie auch um 0,7kN zunehmen. Dieses System steht aber im Kontakt zueinem Wärmereservoir, welches während der Expansion Wärme ans Gas abgab.Da die Entropie im abgeschlossenen System konstant bleiben muss, hat dabei wohldie Entropie des Wärmereservoirs abgenommen. Daher kann man den folgendenSachverhalt vermuten:∆S = ∆Q(21.1)TDass dies äquivalent zur obigen Definition ist, soll nun gezeigt werden.Bei der reversiblen isothermen Expansion des Gases im Wärmebad gilt ∆Q =∆W. Dabei lässt sich die Arbeit aus dem pV - Diagramm berechnen.∫∆W = − pdV (21.2)Mit pV = nRT folgtAlso folgt∫ V0 /2∫nRTV0( )∆W = −V 0 V dV = −nRT /2 1V 0 V dV = −nRT ln V0 /2V 0( 1∆W = −nRT ln = nRT ln(2)2)80

Dabei ist ln(2) ≈ 0,7. Somit haben wir also gezeigt, dass∆Q = ∆W = 0,7kNT (21.3)Wenn man nun 0,7kN als S schreibt, folgt schlussendlich∆Q = S · T (21.4)AlsoS = ∆Q(21.5)TDurch Wärmezufuhr erfolgt also gleichzeitig eine Entropiezunahme. Dies liegt eigentlichauf der Hand, bedeutet doch eine Wärmezufuhr auch eine Erhöhung derthermischen Bewegung.Die Zunahme der Entropie beschreibt den unwiderruflichen Ablauf des Geschehensder Welt.81

Kapitel 22Elektrizitätslehre22.1 Der GleichstromWas ist elektrischer Strom?Strom = bewegt Ladung (Elektronen, Ionen)Einheit der Elektrizitätsmenge (Ladung) Q: 1C (Coulomb)Elementarladung: e = 1,602 · 10 −19 CQ = n · e wobei n ∈ Bsp. Metalle: Die äusseren Elektronen sind (fast) frei beweglich (Leitungselektronen)und stossen bei ihrer Bewegung durch den Draht mit den Atomrümpfen undden anderen Elektronen zusammen. Man nennt dieses (klassische) Modell auch”Modell des freien Elektronengases”.Abbildung 22.1: Bewegung der Elektronen (kleine Punkte) durch einen Draht22.2 Die elektrische StromstärkeDefinition: mittlere elektrische StromstärkeI = ∆Q∆t(22.1)82

Die Stromstärke ist also definiert durch die Ladung ∆Q welche in einem Zeitintervall∆t durch einen gedachten Leiterquerschnitt fliesst. Schaut man das Ganzeinfinitesimal an, so ergibt sich die momentane StromstärkeI = dQdtEinheit: [I] = [Q][t]= C/s = 1 A (Ampère)= ˙Q (22.2)Def.: technische Stromrichtung: + → −Bei Metallen gilt: Die Elektronen fliessen in die dem technischen Strom entgegengesetzteRichtung. Man wusste damals als man dies definierte noch nicht, dass sichnegativ geladene Elektronen bewegen im Draht.Messung der elektrischen StromstärkeUm die Stromstärke zu messen, muss das Messgerät innerhalb des elektrischenStromkreises angebracht werden. Um den Stromfluss nicht zu verändern, muss dasStrommessgerät (Ampèremeter) einen möglichst geringen Widerstand haben.22.3 Leiter und IsolatorenNicht alle Stoffe leiten den Strom gleich gut.Leiter: Metalle, Kohle, Säure, BasenNichtleiter (Isolatoren): Gummi, Plastik, Luft,Öl, Glas22.4 Die elektrische SpannungStromquelle ”treibt”Ladung Q durch den Stromkreis: Elektrische Spannung UStarker Antrieb (Ugross): Ladung Q verrichtet viel ArbeitSchwacher Antrieb (U klein): Ladung Q verrichtet wenig ArbeitDefinition:elektrischeSpannung =verrichteteArbeitverschobeneLadungU = W Q(22.3)Einheit:[U] = [W][Q] = J C = 1V(Volt)Messung der Spannung:Um die elektrische Spannung U zu messen, muss das Spannungsmessgerät (Voltmeter)zwischen zwei Punkten über dem interessierenden Bereich angehängt werden.Dadurch misst es dann den Spannungsabfall über dem zu prüfenden Bereich83

(z.B. über einer Glühlampe). Damit der Stromfluss durch die Messung möglichstwenig beeinflusst wird, muss das Spannungsmessgerät einen möglichst grossenWiderstand besitzen.22.5 Der elektrische StromkreisEin einfacher Stromkreis besteht aus folgenden Elementen: Spannungsquelle (Batterie,Steckdose), Leiter, Verbraucher (Lampe, PC, Staubsauger...)Abbildung 22.2: Einfacher Stromkreis mit Schalter und VerbraucherAbbildung 22.3: Eine Reihe von weiteren gebräuchlichen Symbolen für elektronische Teile22.6 Die Geschwindigkeit der Elektronen im DrahtWir schätzen ab: mittlere Geschwindigkeit ¯v der Elektronen. Durch den Leitungsquerschnittmit der Fläche A werden pro Zeit ∆t all diejenigen e − hindurchtreten,84

die nicht weiter als ¯v · ∆t vom betrachteten Querschnitt entfernt sind.→ Zylinder mit Volumen V = A · ¯v · ∆t⇒ Insgesamt sind darin n · A · ¯v · ∆t Elektronen enthalten(n = ♯ frei beweglicher Elektronen pro m 3 )∆Q = e · n · A · ¯v · ∆t = I · ∆td.h.I = e · n · A · ¯vBsp. : Aluminiumdraht mit Querschnitt A = 1mm 2 , I = 1 A⇒Jedes Alu-Atom gibt ein frei bewegliches Elektron an das Elektronengas ab. Daherist n auch gleich der Anzahl Atome pro m −3 . → n = 6 · 10 28 m 3 (Abschätzung)I = (1,6 · 10 −19 C)(6 · 10 28 m −3 )(10 −6 m 2 )¯v = 1A = 1C/s⇒ ¯v ≈ 10 −4 m/s ≈ 36cm/hWobei ρ Alu = 2,7 · 10 3 kg/m 3 ;Al 26,9 (units); 1 mol = 6,002 · 10 23 Teilchen22.7 Das Ohmsche GesetzIn einem metallischen Leiter ist bei konstanter Temperatur die Stromstärke I proportionalzur angelegten Spannung U.I ∝ U → U I = konstantAlsoU = R · I (22.4)Definition:R = U IelektrischerWiderstand[R] = [U][I]= V/A = Ω(Ohm)Bemerkung: R ist abhängig vom Leiter (Geometrie, Material, Temperatur)Vgl. Labor: Glühlampe vs. Ohmscher Leiter (Chrom-Nickel Drahtwendel)85

Abbildung 22.4: Eine Anzahl zufliessender und abfliessender Ströme an einem Knotenpunkt.22.8 Zusammengesetzte StromkreiseDas 1. Kirchhoffsche Gesetz (Knotenregel)Die Gesamtstromstärke ist bei einer Verzweigung gleich der Summe der Einzelstromstärken.P: Stromverzweigung (Knotenpunkt)n∑ I k = 0k=1Zufliessende Ströme > 0Wegfliessende Ströme < 0→In jeder Stromverzweigung ist die Summe aller Ströme, gerechnet mit obigenVorzeichen, gleich Null.Das 2. Kirchhoffsche GesetzZwischen zwei Verzweigungspunkten liegt an allen Widerständen die gleiche Spannung.Regeln für Parallel- und SerieschaltungBei der Serieschaltung werden die einzelnen Widerstände zum GesamtwiderstandR ges addiert:R ges = R 1 + R 2 (22.5)Bei mehreren Widerständen wird sinngemäss addiert. Dies folgt aus dem beidenKirhoffschen Sätzen und dem Ohmschen Gesetz. Die Gesamtspannung U, die anden Widerständen liegt, setzt sich additiv aus den zwei Teilspannungen U 1 und U 2zusammen. Daher gilt:U = U 1 +U 2undI = I 1 = I 286

Da für jeden Widerstand das Ohmsche Gesetz gilt:U 1 = R 1 IU 2 = R 2 Ifolgt insgesamtU = U 1 +U 2 = I(R 1 + R 2 ) = IR gesBei der Parallelschaltung ist der Gesamtwiderstand gegeben durch:1R ges= 1 R 1+ 1 R 2(22.6)Bei weiteren parallelen Widerständen wird sinngemäss addiert. Auch dies folgt ausden Kirchhoffschen Sätzen. Da die Spannungen über den einzelnen Zweigen gleichsind, giltund folglich für den Gesamtstrom:I 1 = U R 1I 2 = U R 2I = I 1 + I 2 = U( 1 R 1+ 1 R 2) = U 1R ges22.9 Anwendung: Spezifischer WiderstandDie Rechenregeln für die Serie- sowie die Parallelschaltung von Widerständenführt direkt zu einer heuristischen Herleitung des spezifischen Widerstandes ρ.Nehmen wir einen Draht der Länge l und Querschnittsfläche A. Wenn wir uns denDraht in einzelne Stücke gleicher Länge zerteilt denken, so ist das äquivalent zueiner Serieanordnung von einzelnen Widerständen R i . Somit muss der GesamtwiderstandR proportional zu l sein. Wenn wir uns weiter die Querschnittsfläche ineinzelne dünnere Drähte aufgeteilt denken, so muss R proportional zu A sein, dadie Widerstände in diesem Fall parallel angeordnet wären. Zusammengesetz folgt,dass R proportional zu l/A sein muss. In Formeln:R = ρ l A(22.7)Wobei die Proportionalitätskonstante ρ spezifischer Widerstand genannt wird. (ρist eine Materialkonstante, die Temperaturabhängig ist)Die Einheit von ρ: [ρ] = Ω · mIn Tabellen findet man oft als Einheit 1Ω mm2mfalls A in mm2 angegeben ist.22.10 Elektrische Arbeit und Leistung bei GleichstromZur Erinnerung die Spannungsdefinition:U = W Q87

Daraus folgt:W = Q ·U = U · I ·t (22.8)(bei konstantem Gleichstrom)Diese elektrische Arbeit bzw. Energie wird oft ”Joule’sche Wärme” genannt. Es istdie elektrische Energie, die in einem elektrischen Bauteil in Wärme umgewandeltwird. [W] = J = VC = VAsP = W t= U · I (22.9)[P] = J/s = W = VAP = U · I = I 2 · R = U 2R(22.10)88

Kapitel 23Elektrostatik23.1 Ladungen und elektrische Felder: ein paar GrundtatsachenDie elektrische Ladung ist eine wesentliche Eigenschaft der Materie. Die LadungQ wird in der Einheit Coulomb gemessen: [Q] = 1C. Charles Augustin de Coulomb(1736 - 1806), ein Ingenieuroffizier, war bis zum Alter von 40 Jahren verantwortlichfür die Überwachung französischer Befestigungsanlagen. Dann wurde erForscher auf verschiedenen Gebieten.Es folgt nun eine Auflistung einiger Grundtatsachen:• Es gibt zwei Ladungsarten: + und −Elementarladung: ±1,602 · 10 −19 C(für Elektron: −1,602 · 10 −19 C; für Proton: +1,602 · 10 −19 C)• Die elektrische Ladung ist eine Erhaltungsgrösse. Ladungen können nur getrenntwerden. Sie können weder erzeugt noch vernichtet werden.• In Nichtleitern (Isolatoren) gibt es keine beweglichen Ladungsträger.• In Leitern sind die Ladungsträger frei beweglich (Leitungselektronen).• In elektrisch neutralen Körpern sind gleich viele Protonen wie Elektronenvorhanden.• Negative geladene Körper haben einen Elektronenüberschuss, positiv geladeneKörper einen Elektronenmangel.• Gleichnamig Ladungen stossen einander ab, ungleichnamige ziehen sich an.Der Wirkungsbereich eines geladenen K2orpers ist sein elektrisches Feld.• Influenz = Änderung der Ladungsverteilung auf einem Körper durch Annäherungeines geladenen Körpers.Nähert z.B. einen positiv geladenen Stab einer Metallkugel, so werden sich89

die Elektronen auf die Seite der Kugel verschieben, von welcher man sichnähert. Bei einem Isolator können sich zwar keine Ladungen verschieben,allerdings können sich eventuell Moleküle drehen bzw. sich dehnen, was zueiner gewissen elektrischen Polarisierung des Isolators führen kann.23.2 Das Coulomb’sche GesetzCoulomb hat im 18. Jahrhundert die Kraft zwischen zwei geladenen Körpern untersucht.Er tat dies mit einer sogenannten Drehwaage (s. Abbildung 23.2). Mitdieser Apparatur kann man die Kräfte, die zwischen zwei geladenen Kugeln wirkenmessen. Dies geschieht über die Ablenkung eines Lichtstrahls, der auf einenfixierten Spiegel des Torsionsfadens gerichtet ist. Die Ablenkung des Lichtstrahlswird als direkt proportional zur Kraft angenommen. Coulomb fand, dass zwei La-Abbildung 23.1: Experimentieraufbau: Drehwaage nach Coulombdungen eine Kraft aufeinander ausüben, welche einerseits von den Beträgen dereinzelnen Ladungen Q 1 und Q 2 abhängt und andererseits von deren Abstand r. Sieist nämlich proportional zu den Ladungen und umgekehrt proportional zu derenAbstand. Mathematisch ausgedrückt lautet das Coulomb’sche Gesetz:wobeiF = 14πε 0|Q 1 · Q 2 |r 2 Coulombkraft (23.1)C2ε 0 = 8,85 · 10 −12 Elektrische FeldkonstanteN · mBemerkung: Elektrische Kräfte beeinflussen sich gegenseitig nicht.23.3 Die elektrische Feldstärke EDie Idee des elektrischen Feldes geht auf Michael Faraday (1791-1867) zurück. Eine Ladung verändert den sie umgebenden Raum. Jede elektrische Ladung ist90

von einem elektrischen Feld umgeben (elektrostatisches Feld). Um die Stärke deselektrischen Feldes zu messen, muss eine (winzige!) Testladung q ins Feld der zuuntersuchenden Ladung gebracht werden. Die Kraft, welche zwischen der LadungQ und der Testladung q wirkt, kann gemessen werden:F = 1 |Q · q|4πε 0 r 2Aus der gemessenen Coulombkraft F soll eine Grösse gewonnen werden, die nichtabhängt von der Testladung q. Dies erreicht man, indem man die Coulombkraftdurch q dividiert. Da die Kraft eine Richtung besitzt, besitzt auch das Feld E eineRichtung.Definition:E = F qElektrische Feldstärke (23.2)[E] = [F][q] = 1N CDie Kraft auf eine beliebige Ladung q im elektrischen Feld beträgt somitF = q · E (23.3)Die elektrische Kraft wirkt auf alle Ladungen. Jedem Punkt des Raumes wird eindeutigein Vektor zugeordet. Dies ist die Definition eines sogenanntes Vektorfeldes.Das Vektorfeld kann durch elektrische Feldlinien dargestellt werden. Ein elektri-Abbildung 23.2: Elektrische Feldlinien. Die Tangentenrichtung ist gleich der Richtung vonE, die Dichte der Feldlinien entspricht der Stärke des Feldes.sches Feld besitzt die folgenden Eigenschaften:• Die elektrischen Feldlinien zeigen die Richtung des lektrischen Feldes an,welche auf eine positive Ladung wirkt.• Die elektrischen Feldlinien stehen senkrecht auf geladenen Leiteroberflächen.91

• Die elektrischen Feldlinien entspringen definitionsgemäss den positiven Ladungenund enden in negativen Ladungen. Sie sind dabei radial von positivenLadungen weg gerichtet und radial zu negativen Ladungen hin gerichtet.• Die Anzahl der aus einer positiven Ladung entspringenden, bzw. der in einernegativen Ladung endenden Feldlinien ist der jeweiligen Ladung proportional.• Die Flächendichte der elektrischen Feldlinien ist ein Mass für die Stärke deselektrischen Feldes E bzw. der elektrischen Kraft F.• Elektrische Feldlinien kreuzen sich nie.• Im Innern eines Leiters ist die elektrische Feldstärke Null. D.h. im Innerngibt es keine Feldlinien. Daraus folgt, dass sich alle Überschüssigen Ladungenauf der Oberfläche befinden müssen. (vgl. Faraday’scher Käfig)• Elektrische Feldlinien sind nur Hilfsmittel um ein elektrisches Feld darzustellenund sind nicht wirklich ”vorhanden”. Allerdings sind die Felder ”ansich” existent.Beispiele:• Radiales FeldAls radiales Feld bezeichnet man das Feld einer Punktladung (s. Abb. 23.3).Abbildung 23.3: Radiales Feld von Punktladungen. Die elektrischen Feldlinien zeigen indie Richtung, in die eine positive Probeladung sich beschleunigen w¨urde.• Feld einer geladenen PlatteWie gross ist die Feldst¨arke an der Plattenoberfl¨ache? Die Feldliniendichteist jedenfalls proportional zu E.Anzahl Feldlinien (total):AnzahlFeldlinienFläche= k · Ek · E · 2AA : Plattenfläche92

Abbildung 23.4: Das Feld einer geladenen Platte. Von weitem sieht es aus wie das Feldeiner Kugelladung. .Von sehr weit weg sieht das Feld der Platte dem einer Punktladung ähnlich(s. Abb. 23.4). Die Kugeloberfläche beträgtDie Feldstärke E beträgt4πr 2 .E = 14πε 0Qr 2Die Anzahl Feldlinien betr¨agt demnachAnzahlFeldlinien = k ·14πε 0Qr 2 · 4πr2Damit bekommt man für die Feldstärke einer Platte mit der Ladung Q undder Fläche AE =Q(23.4)2ε 0 A23.4 Die elektrische EnergieBei der Verschiebung einer elektrischen Ladung in Richtung oder entgegen derRichtung eines elektrischen Feldes wird Arbeit verrichtet. Wie in der Mechanikwird die Arbeit definiert als W = F · d (Arbeit ist gleich Kraft mal Weg). Mit F =q · E erhalten wirW = qE · d (23.5)Allgemein gilt W = q ·U. Für die Spannung gilt dannU = W q = E · d (23.6)93

Da nur Potenzialdifferenzen messbar sind, ordnet man dem Erdboden das PotenzialNull zu. Bemerkungen:• Nur bei Verschiebungen entlang der Feldlinien wird Arbeit verrichtet. Diepotenzielle Energie ändert sich dann.• Flächen gleicher potenzieller Energie heissen Aquipotenzialflächen. Bei einerVerschiebung entlang einer Äquipotenzialfläche wird keine Arbeit verrichtet.Die Aquipotenzialflächen stehen senkrecht auf den Feldlinien.• Der Unterschied zwischen zwei Aquipotenzialfl¨achen wird als Potenzialdifferenzdurch die Spannung angegeben.• Die Einheit der elektrischen Ladung 1 C (Coulomb) ist jene Ladung, diebeim Fliessen über die Spannung 1 V (Druckdifferenz) die Energie 1 J (Joule)freisetzt.• Wegen E = U/d ist die Einheit für die Feldstärke V/m.23.5 Der PlattenkondensatorEin Plattenkondensator besteht aus zwei entgegengesetzt geladenen Platten, diesich gegenüberstehen. Eine externe Spannungsquelle (z.B. eine Batterie) bewirktdie entgegengesetzte Aufladung der Platten: eine Platte wird mit der Ladung +Qgeladen, die andere mit der Ladung ,−Q. Die Gesamtladung des Kondensators istgleich Null, er ist insgesamt elektrisch neutral. Kondensatoren sind wichtige Bauelementein Elektrogeräten. Sie dienen zur Ladungsspeicherung. Jede der beidenPlatten besitzt (s. oben) in der Nähe das FeldE =Q2ε 0 ADie Felder der beiden Paltten überlagern sich. Im Aussenraum des Kondensatorssind die Felder einander entgegengesetzt gerichtet und heben sich auf. Im Innenraumsind die Felder gleichgerichtet und addieren sich (s. Abb. 23.5). Die Feldstärkeim Innern beträgt daherE =Q2ε 0 A + Q2ε 0 A = Qε 0 ADas Feld im Innern des Kondensators ist homogen. Tragen die Platten mit FlächeA eines Kondensators die Ladungen +Q und −Q, so herrscht im Innern dieelektrische FeldstärkeE = Qε 0 A , (23.7)94

Abbildung 23.5: Plattenkondensator. Im Innern herrscht ein homogenes Feld.wobeiε 0 = 8,85 · 10 −12 C 2 /Nm 2 . Der Aussenraum ist Feldfrei. (Von Randeffektensehen wir ab.) Die Feldstärke hängt also nicht vom Plattenabstand ab! Zwischenden Kondensatorplatten (getrennte Ladungen!) herrscht die SpannungU = E · d = Qε 0 A · d (23.8)d : Abstand der Kondensatorplatten. Für die in einem Kondensator gespeicherteLadung Q gilt also:Q = ε 0 · A ·U. (23.9)dDa die im Kondensator gespeicherte Ladung Q der Spannung U zwischen den Plattenproportional ist, definiert man die Kapazität als Fähigkeit eines Kondensators,elektrische Ladung Q zu speichern. Die Kapazität C eines Kondensators sagt aus,wie viel Ladung pro angelegte Spannung U im Kondensator gespeichert werdenkannC = Q U = ε 0A(23.10)dDie Einheit der Kapazität heisst Farad: [C]=1F =1 C/V. Die Kapazität ist proportionalzur Plattenfläche A und umgekehrt proportional zum Plattenabstand d. Umbei einer vorgegebenen Spannung U in einem Kondensator möglichst viel Ladungzu speichern, muss seine elektrische Kapazität entsprechend gross sein. Dies lässtsich durch grosse Plattenflächen und/oder einen kleinen Plattenabstand erreichen.23.6 Die Energie des geladenen KondensatorsWelche Arbeit wird verrichtet beim Laden eines Kondensators? Wir stellen unsvor, der Kondensator sei am Anfang ungeladen und er werde mit einer Portion ∆Qaufgeladen. WegenU = W/∆Q gilt W = ∆QU. Aber wegen Q = C ·U ist die Spannungproportional zur Ladung Q. Das heisst, die Spannung steigt mit steigender95

Ladung. Annäherungsweise gilt für die Arbeit beim Laden:alsoW 0 = 0, W 1 = ∆Q ·U 1 , W 2 = ∆Q ·U 2 , ...W = W 1 +W 2 +W 3 + ...Der genau Wert der Arbeit ist gegeben durch die Fläche unter der Kurve, d.h. durchein Integral.W = 1 2 QU = 1 2 CU 2 (23.11)Diese Energie steckt im elektrischen Feld. Sie wird in sehr kurzer Zeit frei beimEntladen des Kondensators. → grosse Leistung! Anwendung: Blitzlicht23.7 Isolatoren im elektrischen FeldWie kann die Kapazität eines Kondensators vergrössert werden? Im Isolator sindkeine frei verschiebbaren Ladungen vorhanden. Dennoch haben auch IsolatorenEinfluss auf elektrostatische Felder. Bei manchen Stoffen, wie z.B. Wasser, weisendie Moleküle ein positives und ein negatives Ende auf. Diese Dipole sind üblicherweiseregellos orientiert. Bringt man den Isolator jedoch in ein elektrostatischesFeld, so richten sich die Moleküle längs der Feldlinien aus. Bei Molekülen, welcheohne äusseres elektrisches Feld keine Dipole sind, verschieben sich positiveund negative Ladungen in einem äusseren Feld in entgegengesetzte Richtungen.Auch hier entstehen Dipole. Diese Dipole erzeugen selbst ein elektrisches Feld,welches dem äusseren Feld entgegengesetzt ist. Es schwächt das äussere elektrischeFeld. Ist ein solcher Isolator zwischen den Kondensatorplatten, so sinkt dieFeldstärke und somit die Spannung zwischen den Platten. Die Abschw¨achungdes urspr¨unglich vorhandenen Feldes beschreibt man durch die relative Dielektrizitätskonstantedes Isolators. Bringt man einen Isolator in ein elektrisches Feld,so verringert sich die Feldstärke vom ursprünglich vorhandenen Wert EaufE ′ = E ε rDie Materialkonstante ε r heisst relative Dielektrizitätskonstante. Infolge eines Dielektrikumssinkt bei gleicher Ladung die Spannung am Kondensator auf den WertU = E ′ · d = Edε r= Qε r ε 0 A .Dadurch steigt die Kapazität des Kondensators auf das ε r -fache:C = Q U = ε rε 0Ad . (23.12)96

Kapitel 24Magnetismus24.1 Einige Grundtatsachen, FerromagnetismusEin Magnet wirkt nur auf Fe, Ni, Co und deren Legierungen, auf so genannte magnetisierbareoder ferromagnetische Stoffe. Es gibt zwei Polarten, Nordpol undSüdpol, und es gilt das magnetische Grundgesetz, dass sich gleichnahmige Poleabstossen und sich ungleichnahmige Pole anziehen. Eine weitere Tatsache ist, dasskeine getrennten Nord-und Südpole existieren. So genannte magnetische Monopolewurden noch nie empirisch festgestellt. Dies kann man modellmässig verstehenwenn man sich Permanentmagnete aus so genannten Elementarmagnetenaufgebaut vorstellt. In einem unmagnetischen Eisentstück sind die Elementarmagneteungeordnet, in einem magnetischen hingegen sind sie geordnet (s. Abbildung24.1). Magentisieren bedeutet ordnen der Elemtarmagnete. Der Wirkungsbe-Abbildung 24.1: Geordnete und ungeordnete Elementarmagnete in einem Eisenstück.reich eines Magneten wird durch sein Magnetfeld beschrieben. Magnetische Felderwerden mithilfe von Feldlinien beschrieben. Die Richtung der Magnetischen Feldliniengibt die Richtung der Kraft auf den Nordpol des Magneten an. Die Richtungder Feldlinien geht immer vom Nordpol zum Südpol. Mit kleinen Magnetnadelnkann man die Richtung der Kraft aufzeigen. Der Nordpol der Probenadel zeigt inFeldrichtung. Je dichter die Feldlinien sind, desto stärker ist das Feld.Feldlinien knnnen durch Eisenfeilsp¨ane sichtbar gemacht werden. Der Magnetismuseines Körpers l¨asst sich durch mechanische Schockeinwirkung odererwärmen über eine bestimmte Grenztemperatur hinaus zerst¨oren. Einige Tiere97

verwenden das Erdmagnetfeld als Orientierungshilfe. Man hat bei einigen Bakterien,Vögeln und beim Pazifikdelphin Empfänger für magnetische Reize entdeckt.Beim Delphin lassen sich im Gehirn kleine, eisenhaltige und magnetische Kristallenachweisen. Bei Richtungsänderung im Erdmagnetfeld drücken die Kristalleauf Nerven. Dies ermöglicht den Delphinen sich zu orientieren. Das Erdmagnetfeldändert sich. In den letzten 3,6 Millionen Jahren gab es neun Umpolungen. Dieslässt sich aus Lavaablagerungen erkennen.24.2 Erzeugung magnetischer FelderIm 19. Jahrhundert suchte der d¨anische Physiker Christian Oerstedt nach einemZusammenhang zwischen Elektrizität und Magnetismus. 1820 entdeckte erzufällig während einer Vorlesung den gesuchten Effekt: Eine Magnetnadel, dieneben einem stromdurchflossenen Draht stand, wurde abgelenkt. Oerstedts Experimenterregte in Europa ungeheures Aufsehen und wurde in vielen Abwandlungenwieder- holt. Der elektrische Strom ist von einem Magnetfeld umgeben.Regel: Zeigt der Daumen der linken Hand in Bewegungsrichtung der Elektronen,so zeigen die Finger in Richtung der magnetischen Feldstärke. Die magnetischenFeldlinien des Stroms eines geraden Leiters sind konzentrische Kreise in Ebenensenkrecht zum Draht (s. Abbildung 24.2). Das Magnetfeld einer Drahtschleife ent-Abbildung 24.2: Die magnetischen Feldlinien eines Stroms durch einen Draht. Rechts diesogenannte linke Ein-Handregel (1-H-R).spricht dem Magnetfeld einer kleinen Magnetnadel. Die moderne Quantenphysikhat gezeigt, dass die Elementarmagnete (in Eisen usw.) atomare Kreisströme sind.Magnetfelder sind also stets auf Kreisströme zurückzuführen.Eine stromdurchflossene Spule verhält sich wie ein Stabmagnet. Im Innern entstehtein starkes homogenes Magnetfeld. Dieses kann durch einen Eisenkern nochverstärkt werden. Ein Elektromagnet besteht aus einer Spule mit vielen Wicklungenund meist einem Eisenkern. Im Gegensatz zum Permanentmagneten, lässt sichein Elektromagnet ein- und ausschalten. Man kann magnetische Kräfte entstehenund verschwinden lassen. Auf vielen Schrottplätzen werden Hubmagnete einge-98

setzt.24.3 Ströme im MagnetfeldEin Strom erfährt im fremden Magnetfeld eine Kraft, die senkrecht zu den Feldlinienund senkrecht zum Strom steht. Die Kraft ist proportional zur Stromstärke.Ausnahme: Ein Magnetfeld übt keine Kraft auf einen Strom aus, der parallel zuden magnetischen Feldlinien fliesst. Richtung: Dreifingerregel Zeigt der Daumender linken Hand in Bewegungsrichtung der Elektronen (von - nach + ) und derZeigefinger in Richtung des Magnetfeldes, so gibt der Mittelfinger die Richtungder wirkenden Kraft an (s. Abbildung 24.3) Merke: Elektrische Felder wirken aufLadungen, Magnetfelder wirken auf Ströme.Abbildung 24.3: Dreifingerregel der linken Hand um die Richtung der Kraft auf die Ladungsträgerzu bestimmen.24.4 Die magnetische FeldstärkeDie Kraft F, die ein Strom durch einen geraden Leiter der Länge s in einem fremdenMagnetfeld erfährt, ist proportional zur Stromstärke I. Also istFs · Iin einem bestimmten Magnetfeld konstant. Darum definiert man den Betrag dermagnetischen Feldstärke (Flussdichte) B alsB = Fs · I99

Die Richtung von B ist die Richtung der magnetischen Feldlinien (von N nach S).Die Einheit vonB ist Tesla T: 1T = 1 N/(A· m). Benannt nach Nicola Tesla (1856- 1943), einem kroatisch-amerikanischer Physiker. Hier sind einige Beispiele fürdie Stärke von Magnetfeldern:Magnetfeldin Teslain der Milchstrasseder Erde (aussen) 2 · 10 −5der Sonne 10 −4der Erde (innen) 10 −2von Sternen bis zu 1von Permanentmagneten bis zu 1,4von Elektromagneten bis zu 20Elektromagnet (für 10 −4 s 500von Neutronensternen 10 810 −10Ein vom Strom I durchflossener gerader Leiter der Länge s, der senkrecht zu denFeldlinien eines MagnetfeldesB steht, erfährt die KraftF = I · s · B (24.1)Die Richtung von F ist durch die Dreifingerregel gegeben. Falls der Strom nichtsenkrecht zum Magnetfeld fliesst, wird die Kraft durch das Vektorprodukt ausgedrückt.F = I · s × B (24.2)Dabei ists ein Vektor in Stromrichtung.24.5 Das Magnetfeld einer SpuleFür das Magnetfeld im Innern einer mit Strom I durchflossenen Spule mit N Windungenund der Längel giltB ∝ I · Nlfalls l

24.6 Die LorenzkraftDie Lorentzkraft ist benannt nach Hendrik Antoon Lorentz, holländischer Physiker(1835 - 1928). Auf einen stromführenden Draht in einem Magnetfeld wirkt eineKraft. Nun ist aber Strom nichts weiter als bewegte Ladung. Daraus folgt, dass aufbewegte Ladungsträger eine Kraft wirken muss im Magnetfeld. Es gilt: Bewegtsich eine Ladung q mit der Geschwindigkeit v senkrecht zum Magnetfeld B, sowirkt auf sie die LorentzkraftF = qvB (24.5)Die Richtung der Kraft ist durch die Dreifingerregel bestimmt. Bei beliebiger RichtunggiltF = qv × B (24.6)oder für den Betragwobei φ der Winkel zwischen v undB bedeutet.24.7 InduktionF = qvBsinφ (24.7)Nachdem Oerstedt mit Strömen Magnetfelder erzeugen konnte, schaffte es Faradaymit Hilfe veränderlicher Magnetfelder Strom zu erzeugen. Dabei fand er das nachihm benannte Induktionsgesetz. Betrachten wir eine Leiterschleife mit der FlächeA in einem homogenen Magnetfeld B. Dann definiert man den magnetischen FlussalsΦ = BA s (24.8)A s ist dabei die Fläche senkrecht zum Magnetfeld, alsoA s = Acosαwobei α der Winkel zwischen dem Normalenvektor der Ebene A und dem VektorB ist. Anschaulich bedeutet Φ die Anzahl Feldlinien, die durch die Leiterschleifedurchgehen. Das Induktionsgesetz von Faraday lautet nun: Ändert sich dermagnetische Fluss in einer Leiterschleife, so wird Spannung induziert. In Formelnund für eine Spule mit n Windungen giltU ind = − dΦdtU ind = −n dΦdt(24.9)(24.10)Der magnetische Fluss ist eine von der Zeit abhängige GrösseΦ(t). Die momentaneÄnderung des magnetischen Flusses ist durch die Ableitung der Funktion Φ(t)nacht gegeben. Das Minuszeichen wird durch die Lenzsche Regel (Heinrich Lenz)101

egründet: Der Induktionsstrom ist stets so gerichtet, dass er der Ursache entgegenwirkt.Das negative Vorzeichen im Induktionsgesetz berücksichtigt diese Regel.Die Induktionsspannung kann grundsätzlich zwei Gründe haben:1. Die Fläche A s der Leiterschleife im Magnetfeld ändert sich. (Bewegung desLeiters oder Bewegung des Magnetfeldes.)2. Die Magnetfeldstärke B ändert sich. (Veränderung der Stromstärke einesElektromagneten.)24.8 SelbstinduktionFliesst der Strom I durch eine lange Spule (N Windungen, Eisenkern), so tritt inihrem Innern ein homogenes MagnetfeldB auf. Diesem Magnetfeld entspricht einmagnetischer Fluss Φ. Das Magnetfeldführt zum magnetischen FlussB = µµ 0NIlΦ = BA = µµ 0NIl A (24.11)dabei sind wie oben (l=Spulenlänge, A = Spulenquerschnitt, µ = Permeabilität desEisens). Verändert man den Spulenstrom, so ändert sich der magnetische Flussin der Spule und eine induzierte Spannung tritt auf. Diese können wir mit demInduktionsgesetz berechnen.U ind = −N dΦdtNun setzen wir für Φ den obigen Wert ein:U ind = −N d ( )NIµµ 0dt l A N 2 A= −µµ 0 · dIl dt = −LdI dtDie Induktivitt L der Spule haben wir dabei definiert durchL = µµ 0N 2 Al(24.12)Bei jeder Veränderung des Stromes durch eine Spule tritt eine induzierte SpannungU ind auf. Die Lenzsche Regel besagt, dass diese Spannung der Änderung des Stromesentgegenwirkt. Die Einheit der Induktivität ist 1 Vs/A und wird als Henry (H)bezeichnet. (Joseph Henry, amerikanischer Physiker, 1797 bis 1878) Eine Spulehat also eine InduktivitätL= 1H, wenn eine gleichmässige Änderung des Stromesum 1 Ampère pro Sekunde eine Induktionsspannung von 1 Volt an ihren Enden102

hervorruft. Schalten wir eine Spule in den Stromkreis einer Batterie, so ist die inder Spule induzierte Spannung Uind der Batteriespannung entgegengerichtetU = −U ind = L dIdt(24.13)Dadurch beginnt der Strom in der Spule nur allmählich zu fliessen. Er erreichtschliesslich einen Höchstwert, der durch den Ohmschen Widerstand der Spule begrenztwird. Besonders hohe Selbstinduktionsspannungen treten beim plötzlichenAusschalten eines Stromes auf, da die Stromänderung hierbei grosse Werte erreicht.Dieser Effekt führt zum Auftreten von Funkenbildung bei der Trennung vonStromkreisen, die grosse Induktivitäten enthalten. In der Zündanlage eines Autosz.B. wird dieser Ausschalteffekt bentzt um einen Funken zu erzeugen, der dann dasBenzin-Luft Gemisch entzündet.103

Kapitel 25Schwingungen25.1 EinführungMechanische Schwingungen treten an vielen Orten auf: Federschwingungen, Pendelschwingungenoder auch z.B. die Schwingung einer Blattfeder. Die mathematischeBeschreibung von sogenannten harmonischen Oszillatoren ist aber auch inganz anderen Bereichen der Physik wichtig. In der Quantenmechanik z.B. wirdeine Analogie des harmonischen Oszillators verwendet für die Berechnung derEnergiezustände des Wasserstoffatoms. Deshalb ist das Studium dieser speziellenBewegung sehr wichtig in der Physik.25.2 Der harmonische OszillatorEine Masse an einer Feder vollführt eine Bewegung, die mit einer Sinus- oderCosinusfunktion beschrieben werden kann (Demonstrationen). Wir setzen deshalbx(t) = x m cos(ωt + φ) (25.1)Dabei bedeutet x m die Amplitude, d.h. die maximale Auslenkung aus der Gleichgewichtslage,ω ist die sogenannte Kreisfrequenz und φ ist die Phasenkonstante.Für die Kreisfrequenz gilt:ω = 2π = 2π f (25.2)TDie Geschwindigkeit und die Beschleunigung eines Teilchens welches eine harmonischeSchwingung ausführt, bekommt man mittels Ableitung. D.h. es giltundv(t) = −ωx m sin(ωt + φ) (25.3)a(t) = −ω 2 x m cos(ωt + φ) (25.4)Aus den beiden Gleichungen (25.1) und (25.4) sehen wir, dass gilta(t) = −ω 2 x(t) (25.5)104

Benützt man nun das Newtonsche Kraftgesetz, so ergibt sichF = ma = −(mω 2 )xDas heisst, dass die Kraft proportional ist zur Auslenkung x. Man schreibtwobei die Federkonstante definiert wurde alsF = −kx (25.6)k = mω 2Damit lässt sich eine Definition der harmonischen Schwingung aufschreiben:Ein Teilchen der Masse m führt genau dann eine harmonische Schwingung aus,wenn das Kraftgesetz (25.6) gilt. D. h. die Kraft ist proportional zur Auslenkungund sie ist entgegengesetzt gerichtet (Minuszeichen).Mit (25.2) und k = mω 2 folgt für die Periode einer harmonsichen Schwingung√ mT = 2πk(25.7)25.3 Die Energie des harmonischen OszillatorsDie potentielle Energie der Feder ist zu jedem Zeitpunkt tU(t) = 1 2 kx(t)2Wenn man nun den allgemeinen Ansatz für x(t) einsetzt, folgtU(t) = 1 2 kx2 mcos 2 (ωt + φ)Ebenso gilt für die kinetische Energie zu einem Zeitpunkt tK(t) = 1 2 mω2 x 2 msin 2 (ωt + φ)Wenn man noch ω 2 = k/m einsetzt, ergibt sichK(t) = 1 2 kx2 msin 2 (ωt + φ)Nun gilt für den (idealen) harmonischen Oszillator, dass die Gesamtenergie konstantbleibt und sich zusammensetzt aus der potenziellen Energie der Feder und derkinetischen Energie der schwingenden Masse. D.h. es giltE = K +U = 1 2 kx2 m (25.8)Es wurde verwendet, dass cos 2 α + sin 2 α = 1 ist für beliebige Winkel α.105

25.4 Harmonische Schwingung und die gleichförmige KreisbewegungErstaunlicherweise lässt sich die harmonische Schwingung als Projektion einerKreisbewegung gewinnen. D.h. die Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegungauf eine Leinwand führt zur absolut gleichen Bewegung, die ein geeignetgewähltes Federpendel ausführt. (Demonstration). Deshalb lassen sich die Ausdrückefür den Ort, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung auch ablesen ausder einfachen Geometrie der Kreisbewegung.25.5 FadenpendelDas Fadenpendel oder mathematische Pendel ist eine Idealisierung, welche dieSchwierigkeiten, die auftauchen bei Massenverteilungen bezüglich ihrer Trägheit,umgehen. Es besteht aus einem masselosen Faden an dem eine (punktförmige)Masse befestigt ist. Aus der Grafik (25.1) liest man die tangenziale Komponenteder Gewichtskraft ab.F t = F g sinθ = mgsinθDiese Kraft wirkt als rücktreibende Kraft. Die andere Komponente ist nur für dieAbbildung 25.1: Die Komponenten der Gewichtskraft beim Fadenpendel.Spannung im Seil zuständig. Mithilfe des horizontalen Abstandes x vom Lot kannman nun schreibenF t = mgsinθ = mg · xLD.h. mit k = mg/L giltF t = kx106

Dies erinnert nun an die allgemeine Bedingung für eine harmonische Schwingung.(Das Minuszeichen muss noch eingeführt werden, da die Kraft ja der Bewegungentgegengesetzt ist.). Es lässt sich daraus mit der ”Federkonstanten” k die Periodeangeben für ein Fadenpendel:T = 2π √ l/g (25.9)25.6 Gedämpfte harmonische SchwingungenJede mechanische Schwingung wird mit der Zeit aufhören, da in der Realität immereine Form von Reibung im Spiel ist. Eine solche Schwingung nennt man eine gedämpfteharmonische Schwingung (s. Grafik (25.2)). Möchte man die SchwingungAbbildung 25.2: Gedämpfte harmonische Schwingung. Die Amplitude fällt exponentiellab.konstant halten, so muss man von aussen Energie zuführen z.B. mit einer Batteriein einer Uhr oder indem man die Gewichte einer alten Pendeluhr wieder anhebt.Für die mathematische Beschreibung betrachten wir langsame Bewegungen, beidenen die Reibungskraft näherungsweise proportional zur Geschwindigkeit ist:F R = −bv (25.10)b ist dabei der Dämpfungskoeffizient. Wir haben dann also folgende Bewegungsgleichung:ma = −kx − bv (25.11)Dies können wir mithilfe der Ableitungen von x(t) auch schreiben alsm d2 xdt 2 + bdx + kx = 0 (25.12)dtDies ist eine sogenannte lineare Differenzialgleichung 2ten Grades und man kanndie Lösung standardmässig bestimmen (PAM). Durch Einsetzen kann man sich107

überzeugen, dass folgende Lösung die Gleichung erfüllt:x(t) = x m e −bt/2m cos(ω ′ t + φ), (25.13)wobei ω ′ die Kreisfrequenz des gedämpften Oszillators ist. Die neue Kreisfrequenzist dann gegeben durch√ω ′ k=m − b24m 2 (25.14)Falls b = 0 (keine Dämpfung), so folgt ω ′ = ω = √ k/m, (Kreisfrequenz des ungedämpftenOszillators).25.7 Erzwungene Schwingung und ResonanzJedes schwingbare System kann von aussen mit einer beliebigen Frequenz angeregtwerden und interessanterweise schwingt dann das System auch mit dieserAnregungsfrequenz. Man nennt diese Schwingung dann eine erzwungene Schwingung.Allerdings ist die Schwingung möglicherweise völlig ”ausser Takt”, d.h. sieschwingt nicht im Gleichschritt mit der Anregung, sondern z. B. etwas verzögert.Ausserdem ist die Amplitude in den meisten Fällen eher klein. Wenn aber die An-Abbildung 25.3: Resonanzkurven mit unterschiedlichen Dämpfungen.regungsfrequenz in die Nähe der Eigenfrequenz des schwingenden Systems kommt(die Frequenz, in der es von selbst schwingen würde), so beobachtet man das Phänomendes Aufschaukelns. Diese bestimmte Frequenz wird die Eigenfrequenz oderdie Resonanzfrequenz des Systems genannt und das Aufschaukeln wird gewöhnlichmit dem Begriff der Resonanz bezeichnet. Ein System, welches mit der Resonanzfrequenzangetrieben wird, kann sich also hochschaukeln bis es eventuellsogar zur sogenannten Resonanzkatastrophe kommt, nämlich der Zerstörung desSystems (Demonstrationen).108

Kapitel 26Wellen I26.1 EinleitungAn einer waagrechten Stange sind viele gleich lange physikalische Pendel in gleichenAbständen befestigt und durch gleichartige Schraubenfedern miteinander verbunden(vgl. Abbildung 26.1).Experiment 1: Wir bewegen das Pendel längs der y-Achse ”harmonisch” hin undher. Wegen der Trägheit tritt jedes Pendel etwas später in Schwingung. Es enstehteine Wellenbewegung längs der x-Achse (Fortpflanzungsrichtung der Welle). Dasich die Pendel quer zur Fortpflanzungsrichtung bewegen, spricht man hier von einerTransversalwelle.Experiment 2: Das Pendel wird längs der x -Achse ausgelenkt. Es bilden sich ”Verdichtungen”und ”Verdünnungen”aus. Dies nennt man eine Longitudinalwelle.Macht man von der Transversalwelle eine Momentaufnahme, so liegen die Pendelauf einer sinus- bzw. cosinus-Kurve. Derartige Wellen nennt man harmonischeWellen.Man merke sich: Lineare Oszillatoren (harmonische Schwingsysteme), die miteinandergekoppelt sind (z.B. molekulare Käfte im Wasser) führen zu harmonischenWellen. Bei einer ”La Ola-Welle” im Fussballstadion ist die Kopplung dagegenwohl eher die gemeinsame Begeisterung.26.2 Die Wellenlänge und die FortpflanzungsgeschwindigkeitEigenschaften, die ein einzelner Oszillator nicht hat, sind die Wellenlänge und dieFortpflanzungsgsgeschwindigkeit. Die Wellenlänge λ ist definiert als der Abstandzweier benachbarter Wellenberge oder Verdichtungen, oder allgemein der Abstandzwischen zwei benachbarten Oszillatoren, die sich im gleichen Schwingungszustandbefinden (vgl. Abbildung 26.2). Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit v ist dieGeschwindigkeit, mit der sich ein Wellenberg oder eine Verdichtung in der Fortpflanzungsrichtungverschiebt.109

Abbildung 26.1: Bei Transversalwellen liegt die Schwingungsrichtung senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung.Bei Longitudinalwellen liegt die Schwingungsrichtung parallel zurFortpflanzungsrichtung.Folgende Begriffsbildung kann man direkt übernehmen von den Oszillatoren:Amplitude der Welle ↔ Amplitude der OszillatorenSchwingungsdauer der Welle ↔ Schwingungdsdauer der OszillatorenFrequenz der Welle ↔ Frequenz der OszillatorenEs gilt:Fortpflanzungsgeschwindigkeit = Wellenlänge/Schwingungsdauerbzw.v = λ T(26.1)Alsoλ = v · T (26.2)oderλ = v f(26.3)Beispiel: Wasserwellen (Energietransport, kein Massetransport!)Bemerke: es muss klar unterschieden werden zwischen der Geschwindigkeit v ei-110

Abbildung 26.2: Definition der Wellenlänge und der Amplitude einer ebenen Welle.ner Welle und der transversalen Geschwindigkeit u eines Seilelementes (s. Abbildung26.3). Mehr dazu wird weiter unten erläutert.Abbildung 26.3: Wellenbewegung entlang eines Seils. Die Wellen breiten sich nach rechtsentlang des Seils aus. Die Segmente des Seils schwingen auf der Tischoberfläche hin undher.26.3 Mathematische BeschreibungWir betrachten nun im folgenden eine Seilwelle. Wir benötigen dazu eine Funktiony, die von x und t abhängig ist.Ansatz:y(x,t) = y m sin(kx − ωt) (26.4)y m : Betrag der maximalen Auslenkung aus der Ruhelage (= Amplitude)(kx − ωt): Phasek: Wellenzahl [k]: rad/mUm den Zusammenhang zwischen der Wellenzahl k und der Wellenlänge λ zubestimmen, betrachten wir die Sinuswelle bei t = 0 sy(x,0) = y m sinkx111

nach Def. gilt für ein x 1 :Dafolgtbzw.y m sinkx 1 = y m sink(x 1 + λ)= y m sin(kx 1 + kλ)sin(α + 2π) = sinαkλ = 2πk = 2π λ(26.5)Nun können wir auch noch den bekannten Zusammenhang zwischen der Kreisfrequenzω und der Schwingungszeit T ableiten. Wir betrachten dazu ein einzelnesSeilelement bei x = 0y(0,t) = y m sin(−ωt)Mit der Peiode T gilt= −y m sinωt−y m sinωt 1 = −y m sinω(t 1 + T )= −y m sin(ωt 1 + ωT )d.h.bzw.ω: KreisfrequenzωT = 2πf = 1 T = ω 2πω = 2π T(26.6)(26.7)26.4 Die Geschwindigkeit einer fortlaufenden WelleWir wollen nun noch die Geschwindigkeit v einer Welle aus dem allgemeinen Ansatzableiten. Dabei benützen wir, dass die Wellenform ”als Ganzes” verschobenwird (vgl. Abbildung 26.4):d.h.(kx − ωt) = konst.112

Abbildung 26.4: Eine sich ausbreitende Welle. In der Zeit t legt sie die Distanz vt zurück.ableiten nach t:d.h.k · dxdt − ω = 0v = dxdt = ω k(26.8)mit k = 2π λund ω = 2π Tv = ω k = λ T = λ f (26.9)Die Gleichung (26.4) beschreibt eine Welle in +x - Richtung. Wenn wir t → −tersetzen, ergibt das eine Welle in −x - Richtung.d.h.kx + ωt = konst.bzw.v = − ω kFür eine beliebige (nach links oder rechts) fortschreitende Welle haben wir alsofolgenden allgemeinen Ausdruck:z.B.y(x,t) = h(kx ± ωt) (26.10)y(x,t) = √ ax + btentspricht einer nach links laufenden (etwas seltsamen) Welle. Hingegen entsprichty(x,t) = sin(ax 2 − bt)keiner fortlaufenden Welle, da sie nicht die obige allgemeine Form hat.113

26.5 Die Wellengeschwindigkeit für ein gespanntes SeilEigenschaften des Mediums entscheidend.Charakterisierung: Trägheitseigenschaft, Elastizitätµ: lineare Massendichteµ = m Lm: Gesamtmasse des SeilsL: Länge des Seilsτ: Spannkraft (hängt ab von der Elastizität)v =√ τµ(26.11)(Herleitung S.367)Bem.: Die Geschw. v einer Seilwelle ist unabh. von der Frequenz f .26.6 Die EnergietransportrateBei einer Seilwelle tragen die Seilelemente dm sowohl kinetische als auch potenzielle,elastische Energie. Die Seilelemente werden auf und ab bewegt (kinetischeEnergie) und werden gespannt (potenzielle Energie). Dabei ist sowohl die transversaleGeschwindigkeit als auch die Spannung (Dehnung) der Seilelemente amgrössten bei y = 0.Kinetische Energie des Seilelementes mit Masse dmdK = 1 2 dmu2wobei u = transversale Geschwindigkeit des Seilelementes dmd.h.u = ∂y∂t = −ωy mcos(kx − ωt)∂: partielle Ableitung (Ableitung nach einer bestimmeten Variaben)Bemerke: y(x,t): Funktion von zwei VariablenMit dm = µdxDie Leistung wird danndK = 1 2 (µdx)(−ωy m) 2 cos 2 (kx − ωt)dKdt= 1 2 µvω2 y 2 mcos 2 (kx − ωt)wobei v = dxdtverwendet wurde. Für die zeitlich gemittelte Leistung ergibt das( dKdt ) gem = 1 2 µvω2 y 2 m[cos 2 (kx − ωt)] gem114

Also( dKdt ) gem = 1 4 µvω2 y 2 mD.h. die gemittelte Leistung beider Enrgieformen (kinetische und potenzielle Energiejeweils gleich gross, ohne Beweis) istalsoP gem = 2 · ( dKdt ) gemP gem = 1 2 µvω2 y 2 m (26.12)Beachte: Die gemittelte Leistung hängt vom Quadrat der Kreisfrequenz ab.26.7 Das Superpositionsprinzip für WellenZwei Wellen breiten sich entlang desselben Seils aus, dann gilty ′ (x,t) = y 1 (x,t) + y 2 (x,t)y ′ (x,t): resultierende Welleman nennt dies Superposition oder Überlagerung zweier Wellen.Es gilt ausserdem: Überlappende Wellen beeinflussen sich bei ihrer Ausbreitunggegenseitig nicht. Vergleiche dazu auch die Abbildung (26.5).Abbildung 26.5: Folge von Momentaufnahmen zweier Impulse, die sich überlagern gemässdem Superpositionsprinzip115

26.8 Die Interferenz von WellenSeiundφ: Phasenkonstante (Phasenunterschied)Nach dem Superpositionsprinzipy 1 (x,t) = y m sin(kx − ωt)y 2 (x,t) = y m sin(kx − ωt + φ)y ′ (x,t) = y 1 (x,t) + y 2 (x,t)verwende:daraus= y m sin(kx − ωt) + y m sin(kx − ωt + φ)sinα + sinβ = 2sin 1 2 (α + β)cos1 (α − β)2y ′ (x,t) = [2y m cos 1 2 φ]sin(kx − ωt + 1 2 φ)Dies ist wiederum eine sinusförmige Welle in +x - Richtung.Spezialfälle:φ = 0, Wellen in Phasekonstruktive Interferenzφ = π (rad)y ′ (x,t) = 2y m sin(kx − ωt)y ′ (x,t) = 0destruktive Interferenz (Auslöschung). Vergleiche dazu Abb. 26.6Phasenverschiebung um 2π ˆ= Gangunterschied von λAbbildung 26.6: Zwei Wellen interferieren: (a) konstruktiv; (b) destruktiv; (c) teilweisedestruktiv.116

26.9 Darstellung einer Welle durch einen VektorBild: Vektor rotiert (im Uhrzeigersinn) um Ursprung (vgl. Abb. 26.7)Länge des Vektors = Amplitude der WelleWinkelgeschwindigkeit des Vektors = Kreisfrequenz der WelleMithilfe dieser Methode ist es möglich, Wellen mit gleichen Wellenlängen undgleichen Frequenzen, aber mit unterschiedlichen Amplituden zu addieren.y ′ (x,t) = y ′ msin(kx − ωt + β)y ′ m: Vektoren addierenβ: Winkel zw. y 1 und y ′ (x,t)Merke: φ positiv bedeutet ”Vektor geht hinterher”Abbildung 26.7: (a) Der Vektor vom Betrag y m1 , der mit ω im Uhrzeigersinn rotiert, stellteine sinusförmige Welle dar. y 1 bedeutet dabei die Auslenkung eines kleinen Abschnittesder Welle. (b) y 2 repräsentiert einen zweiten Wektor (Welle), mit konstanten Phasenfaktorφ. Er wandert ”hinterher”. (c) Konstruktion der resultierenden Welle (Vektoraddition)117

26.10 Stehende WellenDie Überlagerung zweier entgegengesetzt laufender Sinuswellen (gleiche Amplitude,Wellenlänge) führt zu einer stehenden Welle.Seiy 1 (x,t) = y m sin(kx − ωt)undDas Superpositionsprinzip besagt dannalsoy 2 (x,t) = y m sin(kx + ωt)y ′ (x,t) = y m sin(kx − ωt) + y m sin(kx + ωt)y ′ (x,t) = [2y m sinkx]cosωtD.h. y ′ (x,t) beschreibt keine sich ausbreitende Welle.Die Amplitude [2y m sinkx] hängt vom Ort ab.Für kx = 0 bzw. kx = nπ (n = 1,2,3,...) ist sie Null.Mit k = 2π λx = n λ n = 1,2,3,...2Dies sind die sogenannten Knotenpunkte. Benachbarte Knoten haben also einenAbstand von λ 2. Zwischen den Knotenpunkten befinden sich die Schwingungsbäuche.Eine stehende Welle auf einem Seil kann z.B. entstehen mithilfe einer Reflexionam Seilend (vgl. Abb. 26.8).Festes Seilende: Buckel wird als Tal reflektiertLoses Seilende: Buckel wird als Buckel reflektiertAus der Überlagerung folgt eine stehende Welle.26.11 Stehende Wellen und ResonanzBeidseitig eingespanntes Seil der Länge L. D.h. an den Enden befinden sich Knotenpunkte.Bei bestimmten Anregungsfrequenzen bilden sich stehende Wellen aus.Es giltλ = 2L nn = 1,2,3,...λ = v ff = v λ = n · v n = 1,2,3,...2LAllgemeine Resonanzfrequenzen sind also Vielfache der niedrigsten Resonanzfrequenz(erste Schwingungsmode):f = v (n = 1)2L118

Abbildung 26.8: Reflexion eines Wellenpakets auf einem Seil, wenn das Seilende (a) befestigtund (b) lose ist.Andere gebräuchliche Namen: (vgl. auch Abb. 26.9 und Abb. 26.101. Harmonische ( = Grundschwingung)2. Harmonische ( = erste Oberschwingung)usw.Abbildung 26.9: Stehende Wellen dreier Resonanzfrequenzen.119

Abbildung 26.10: (a) Eine Saite wird angeschlagen. (b) Nur stehende Wellen, die mit denResonanzfrequenzen korrespondieren, schwingen länger.120

Kapitel 27RC-Kreise27.1 Laden eines KondensatorsAbbildung 27.1: Der Kurvenverlauf zeigt den Aufbau von Ladung auf dem Kondensatorbeim LadenEin RC-Reihenkreis werde durch eine Batterie der Spannung U aufgeladen.Anwendung der Maschenregel ergibt:Verwende, dass giltU − IR − q C = 0 (27.1)I = dq(27.2)dtdamitR dqdt + q C = U (27.3)Diese Differenzialgleichung beschreibt die Zeitabhnngigkeit der Ladung q des Kondensatorsim Stromkreis (vgl. Abb. 27.1)Die Funktionq(t) = CU(1 − e −t/RC ) (27.4)121

Abbildung 27.2: Man erkennt den zeitlichen Abfall des Ladestroms beim Laden des Kondensators.löst die DGL mit der Anfangsbedingung q(t) = 0 zum Zeitpunkt t = 0 .Der Ladestrom I(t) ergibt sich durch Ableitung von q(t) (vergleiche dazu Abb. 27.2).I = dqdt = (U R )e−t/RC (27.5)Man nennt τ = RC die kapazitive Zeitkonstante. Während τ immt die Ladung desKondensators von 0 auf 63% des Endwertes zu.27.2 Entladen eines KondensatorsBeim Entladen hat man im Stromkreis keine Batterie mehr. SomitDie Lösung der DGL istdqdt + q C = 0 (27.6)q(t) = q 0 e −t/RC (27.7)wo q 0 = CU 0 die anfängliche Ladung des Kondensators bezeichnet. Leitet mannach der Zeit ab so erhält man für den EntladestromI(t) = dqdt = −( q 0RC )e−t/RC (27.8)Der Entladestrom eines Kondensators nimmt daher ebenfalls exponentiell mit derZeit ab.122

Kapitel 28SelbstinduktionFliesst der Strom I durch eine lange Spule mit N Windungen und einem Eisenkern,so tritt in ihrem Innern ein homogenes Magnetfeld B auf, dem ein magnetischerFluss Φ entspricht:NIB = µ r µ 0l(Magnetfeld) (28.1)NIΦ = BA = µ r µ 0 Al(MagnetischerFluss) (28.2)(l = Spulenlänge, A = Spulenquerschnitt, µ r = Permeabilität des Eisens)Verändern wir den Spulenstrom, so ändert sich der magnetische Fluss in der Spuleund eine induzierte Spannung tritt auf, die wir aus dem Induktionsgesetz berechnenkönnen:U ind = −N dΦ(28.3)dtDer Faktor N berücksichtigt dabei, dass die Flussänderung in jeder der N Windungender Spule eine Spannung induziert. Setzen wir Φ ein, so folgt:U ind = −N d ( )NIµ r µ 0dt l A N 2 A= −µ r µ 0 · dIl dt = −LdI (28.4)dtDie Induktivität L der Spule haben wir dabei definiert durchL = µ r µ 0N 2 AlMerke also:Ändert sich der Strom in einer Spule, so wird die SpannungU ind = −L dI (N 2 )AL = µ r µ 0dtl(28.5)induziert, welche der Änderung des Stromes gemäss der Lenzschen Regel entgegenwirkt(s. Abb. 28.1). Die Konstante L heisst Induktivität der Spule. Die Einheit123

der Induktivität ist 1Vs/A und wird als Henry (H) bezeichnet.Besonders hohe Selbstinduktionsspannungen treten beim plötzlichen Ausschal-Abbildung 28.1: Enthält ein Stromkreis eine Spule, so beginnt der Strom nach dem Schliessendes Schalters nur allmählich zu fliessen . Je höher die Induktivität der Spule ist, destoflacher ist der Anstieg des Stromes. Der Endwert des Stromes wird durch den OhmschenWiderstand der Spule bestimmt.ten eines Stromes auf, da die Stromänderung hierbei grosse Werte erreicht. DieserEffekt führt zum Auftreten hoher Spannungen und zur Funkenbildung bei derTrennung von Stromkreisen, die grosse Induktivitäten enthalten. In der Zündanlageeines Autos nützt man die auftretenden Selbstinduktionsspannungen zur Funkenbildungaus (s. Abb. 28.2).Abbildung 28.2: Die Zündanlage eines Autos. Die plötzliche Unterbrechung des Stromesin der Zündspule ruft in der Sekundärspule eine hohe Induktionsspannung hervor, die fürden Zündfunken sorgt.124

Kapitel 29Gedämpfte harmonischeSchwingungenWenn die Bewegung eines Oszillators durch eine äussere Kraft abgeschwächt wird,bezeichnet man den Oszillator und seine Bewegung als gedämpft. Ein idealisiertesBeispiel zeigt Abb. 29.1 Wir nehmen an, dass die Reibungskraft F R proportionalAbbildung 29.1: Ein idealisierter gedämpfter harmonischer Oszillator. Ein Kolben in einerFlüssigkeit überträgt auf das Gewicht eine dämpfende Kraft, während es parallel zur x-Achse oszilliert.zum Betrag der Geschwindigkeit⃗v ist. (Diese Annahme ist zulässig, wenn sich derKolben nur langsam bewegt.) Es gilt dannF R = −bv (29.1)125

wobei b der Dämpfungskoeffizient ist. Das Minuszeichen deutet dabei an, dass dieKraft F R der Bewegung entgegenwirkt.Die von der Feder auf das Gewicht ausgeübte Kraft istF F = −kx (29.2)Ausserdem nehmen wir noch an, dass die Gravitationskraft im Vergleich zu F R undF F vernachlässigbar ist.Für die x - Komponente gilt dannma = −bv − kx (29.3)Ersetzen wir v durch dx/dt und a durch d 2 x/dt 2 so erhalten wir die DGLm d2 xdt 2 + bdx + kx = 0 (29.4)dtIm Anhang A wird gezeigt, dass die Lösung dieser Gleichung geschrieben werdenkann als:( )x(t) = x m e −bt/2m cos ω ′ t + φ(29.5)wobei x m die Amplitude und ω ′ die Kreisfrequenz des gedämpften Oszillators ist.Diese Kreisfrequenz ist durchω ′ =√km − b24m 2 (29.6)gegeben. Für den Fall b = 0 ist ω = √ k/m gleich der Kreisfrequenz des ungedämpftenOszillators.126

Kapitel 30ElektromagnetischeSchwingkreise30.1 Der LC-SchwingkreisDie Gesamtenergie eines Schwingkreises lässt sich durchE tot = E m + E p = Li22 + q22C(30.1)ausdrücken, wobei E m die Energie des Magnetfeldes in der Spule und E p die Energiedes elektrischen Feldes im Kondensator bedeuten. Die Grössen q und i sinddie Momentanwerte von Ladung und Stromstärke. Für einen idealen Schwingkreis(keine Wärmeproduktion) gilt danndE totdt= d dtMit i = dq/dt und di/dt = d 2 q/dt 2 erhalten wir( ) Li22 + q2= Li di2C dt + q dqC dt = 0 (30.2)L d2 qdt 2 + 1 C q = 0 (30.3)Diese DGL beschreibt die Schwingung eines LC-Kreises. Sie ist mathematischidentisch zur DGL des harmonischen Oszillators (Federpendel). Daraus folgt, dassauch die Lösung analog zur Schwingung eines Federpendels ist.q(t) = ˆqcos(ωt + φ) (30.4)wobei ˆq die Amplitude der Ladungsschwingung ist (Scheitelwert) und φ eine Phasenkonstante.Die Ableitung nach der Zeit führt auf die Gleichung für den Stromi = dqdt= −ω ˆqsin(ωt + φ) (30.5)127

Der Betrag der Amplitude (Scheitelwert) dieser sinusförmigen Stromschwingungistî = ω ˆq (30.6)somit kann man schreiben30.2 Kreisfrequenzeni(t) = −îsin(ωt + φ) (30.7)Da die Gleichung 30.4 tatsächlich eine Lösung der DGL des LC-Schwingreises istkönnen wir durch Einsetzen die Bedingung für die Kreisfrequenz bestimmen. Mitfolgt dann durch Einsetzen:d 2 qdt 2 = −ω2 ˆqcos(ωt + φ)−Lω 2 ˆqcos(ωt + φ) + 1 ˆqcos(ωt + φ) = 0Cworaus folgt, dass die Kreisfrequenz eines Schwingkreisesω = 1 √LC(30.8)sein muss. Beziehungsweise gilt für die Frequenz des ungedämpften Schwingkreises1f =2π √ (30.9)LC30.3 Schwingung der elektrischen und magnetischen EnergieNach den Gleichungen 30.1 und 30.4 folgt für die elektrische Energie in einem LCSchwingkreisE p = q22C = ˆq22C cos2 (ωt + φ) (30.10)Entsprechend für die magnetische EnergieMit ω aus 30.8 folgtE m = 1 2 Li2 = 1 2 Lω2 ˆq 2 sin 2 (ωt + φ)E m = ˆq22C sin2 (ωt + φ) (30.11)Man erkennt, dass die Maximalwerte von E m und E p beide ˆq 2 /2C sind und dass zujedem Zeitpunkt die Summe aus E m und E p konstant ˆq 2 /2C beträgt. Die Energiedes Magnetfeldes und die des elektrischen Feldes wechseln sich gegenseitig ab,analog zum Wechsel zwischen potenzieller und kinetischer Energie beim Federpendel(vgl. Abbildung 30.1).128

Abbildung 30.1: Die magnetische und die elektrische Energie des Schaltkreises als Funktionder Zeit. Ihre Summe ist konstant. T ist die Periode der Schwingung.30.4 Gedämpfte Schwingung in einem RLC-SchwingkreisBei einem RLC Schwingkreis wird die Energie allmählich im Wirkwiderstand Rin Wärmeenergie umgewandelt und an die Umgebung abgegeben (vgl. Abbildung30.2). Wir gehen zuerst von der gesamten Energie aus.Abbildung 30.2: Ein in Reihe geschalteter RLC-Kreis. Die Ladungen strömen durch denWiderstand hin und her. Dabei wird elektromagnetische Energie in thermische Energieumgewandelt und die Schwingungsamplituden nehmen ab.E tot = E m + E p = Li22 + q22C(30.12)Wobei klar ist, dass im Wirkwiderstand R keine Energie gespeichert ist. Die elektromagnetischeEnergie nimmt mit der Zeit ab wobei die Umwandlungsrate durchdie Joule’sche Wärme gegeben istdE totdt= −i 2 R (30.13)129

Das Minuszeichen deutet darauf hin, dass die Energie abnimmt. Wenn man 30.12nach der Zeit ableitet und dann in 30.13 einsetzt, so erhält mandE totdt= Li didt + q dqC dt = −i2 RNun ersetzt man wieder i durch dq/dt und di/dt durch d 2 q/dt 2 und erhältL d2 qdt 2 + Rdq dt + 1 q = 0 (RLC − Kreis) (30.14)CDies ist die DGL für einen gedämpften RLC -Kreis. Die allgemeine Lösung lautetwie bei derjenigen eines gedämpften harmonischen Oszillators in der Mechanik( )q(t) = ˆqe −Rt/2L cos ω ′ t + φ(30.15)wobeiω ′ =√ω 2 − (R/2L) 2 (30.16)Dabei ist ω = 1/ √ LC die Kreisfrequenz des ungedämpften Schwingkreises.130

Kapitel 31Wechselstrom31.1 Der ohmsche Widerstand im WechselstromkreisDie Entstehung einer Wechselspannung kann man sich so vorstellen, dass die Spitzeeines ”Zeigers” auf einem Kreis mit dem Radius û gleichmässig mit einer Winkelgeschwindigkeitω rotiert (vgl. Abbildung 31.1). Für den vom Zeiger in derAbbildung 31.1: Rotierender ZeigerZeit t überstrichenen Winkel φ gilt dannφ = ωtund für die Projektion des Zeigers auf eine vertikale Achse giltu(t) = ûsin(ωt) (31.1)Diese Berechnung geht ganz analog zur Berechnung des harmonischen Oszillators(Federpendel), die man auch mithilfe der Kreisbewegung berechnen kann.Wir betrachten nun einen ohmschen Widerstand R in einem Wechselstromkreis(vgl. Abbildung 31.2). Es fliesst dann der Stromi(t) = u(t)R= û sin(ωt) = îsin(ωt) (31.2)R131

Abbildung 31.2: Strom und Spannung hängen gemäss ohmschem Gesetz voneinander ab.Ihre Maxima und Nulldurchgänge erfolgen gleichzeitig. Es gibt also keine Phasenverschiebungzwischen Strom und Spannung.Die im Widerstand in Joule’sche Wärme umgewandelte elektrische Leistung beträgtdabeiP(t) = i(t)u(t) = îûsin 2 (ωt) = û2R sin2 (ωt) = î 2 Rsin 2 (ωt) (31.3)Diese Leistung schwankt periodisch (vgl. Abbildung 31.3). Bei praktischen An-Abbildung 31.3: Die Leistung P des Wechselstromes schwankt periodisch. ¯P ist die mittlereLeistung.wendungen interessiert man sich nur für den zeitlichen Mittelwert der Wärmeproduktion.Es giltsin 2 (ωt) = 1 2wobei der Querstrich eine Zeitliche Mittelwertbildung bedeutet. Die mittlere Leistungdes Wechselstroms beträgt daher¯P = 1 ( 1√2 2 ( )1√2 1√2 2î2 R = î)R = î)(û(31.4)Diese Leistung entspricht derjenigen eines Gleichstroms, welcher die effektive StromstärkeI e f f = 1 √2î (31.5)und die effektive SpannungU e f f = 1 √2û (31.6)132

aufweist. Die Angaben von Stromstärke und Spannung bei Wechselstrom beziehensich stets auf diese Effektivwerte und nicht auf die Scheitelwerte. So verwendetman im Haushalt z.B. die Spannung U e f f =230 Volt, wobei in den LeitungenScheitelspannungen û = √ 2U e f f = 325 Volt auftreten.Merke:Unter der effektiven Stromstärke und der effektiven Spannung eines Wechselstromesversteht man diejenige Stromstärke bzw. Spannung, die ein Gleichstrom mitder selben Leistung aufweist.31.2 Die Spule im WechselstromkreisFür eine Spule giltu L = −L didtSchliessen wir einen Wechselspannungsgenerator mitu(t) = ûsin(ωt)(31.7)an eine Spule, so erhalten wir einen einfachen Stromkreis. Die Maschenregel liefert:u(t) + u L = 0 oder u(t) − L didt = 0 (31.8)Wie man sich durch Einsetzen überzeugen kann, folgt daraus für den Stromi(t) = − ûωL cos(ωt) = −îcos(ωt) = îsin(ωt − π 2 ) (31.9)Der Strom ist umgekehrt proportional zur Induktivität L der Spule und folgt derSpannung um eine Viertelperiode nach (vgl. Abbildung 31.4).Abbildung 31.4: Der Strom eilt der Spannung nach und erreicht erst später sein Maximum.Die Stromstärke wird durch den induktiven Widerstand der Spule bestimmt.Merke:Schaltet man eine Spule der Induktivität L in einen Wechselstromkreis, so folgt derStrom der Generatorspannung um eine Viertelperiode nach. Als induktiven Widerstand(Impedanz) der Spule bezeichnet manZ L = ûî = U e f fI e f f= ω · L (31.10)133

Der induktive Widerstand einer Spule wächst also mit zunehmender Fequenz dasWechselstromes. Er verschwindet für Gleichstrom.31.3 Der Kondensator im WechselstromSchalten wir einen Kondensator in einen Gleichstromkreis, so lädt sich der Kondensatorauf. Danach fliesst kein Strom mehr.Schalten wir einen Kondensator hingegen in einen Wechselstromkreis, so wirder immer wieder aufgeladen, entladen und umgekehrt aufgeladen. Dabei fliesst einständig wechselnder Ladestrom. Um diesen zu berechnen, benützen wirU = Q C(und vernachlässigen wieder sämtliche ohmschen Widerstände).Für den Ladestrom folgt darausi(t) = dQdtQ= ûsin(ωt) oder Q = Cûsin(ωt)C(= ωCûcos(ωt) = îcos(ωt) = îsin ωt + π )2Der Strom ist also proportional zur Kapazität und eilt der angelegten Spannung umeine Viertelperiode voraus (vgl. Abbildung 31.5).Abbildung 31.5: Der Strom eilt der Spannung voraus und erreicht vor ihr seinen Maximalwert.Die Stromstärke wird durch den kapazitiven Widerstand des Kondensators bestimmt.Merke:Schaltet man einen Kondensator der Kapazität C in einen Wechselstromkreis, soeilt der Strom der Generatorspannung um eine Viertelperiode voraus. Als kapazitivenWiderstand des Kondensators (= Impedanz) bezeichnet manZ C = ûî = U e f fI e f f= 1ωC(31.11)Zusammengefasst sind die Impedanzen in Abbildung 31.6 dargestellt.134

Abbildung 31.6: Gleich- und Wechselstromwiderstände (Impedanzen) in Funktion derKreisfrequenz.31.4 Die Leistung des WechselstromesIn der Praxis stellt sich häufig die Frage, welche Energie in einem elektrischen Bauelementumgesetzt wird. Der Energieumsatz aller Bauelemente eines elektrischenoder elektronischen Geräts bestimmt dessen Gesamt-Energiekonsum, für Hersteller(und Konsumenten) eine wichtige Kenngrösse.Für die elektrische Momentanleistung gilt allgemein:P(t) = u(t)i(t) = ûsin(ωt) · îsin(ωt − φ) = 1 2ûî[cosφ − cos(2ωt − φ)]Für das angeschlossene Elektrogerät ist der zeitliche Mittelwert ¯P der Leistungausschlaggebend. Weil cos(2ωt − φ) = 0 ist, beträgt er¯P = ûî2 cosφ = U e f f I e f f cosφMan bezeichnet ¯P als Wirkleistung und cosφ als Leistungs- oder Wirkfaktor.Merke:Die Wirkleistung des Wechselstroms beträgtwobei cosφ Leistungs- oder Wirkfaktor genannt wird.¯P = U e f f I e f f cosφ (31.12)In praktischen Anwendungen sollte der Leistungsfaktor nahe bei 1 liegen. Sonstbelasten Blindströme, die keine Leistung übertragen, das Netz übermässig. BeiElektromotoren, welche Spulen mit hohen Induktivitäten enthalten, werden Blindströmedurch parallel geschaltete Kondensatoren, die eine gegensinnige Phasenverschiebungbewirken, kompensiert.135

31.5 Der in Reihe geschaltete RLC-KreisWir betrachten nun den Fall, dass die Wechselspannungu(t) = ûsinωtan den vollen RLC-Kreis angelegt ist. Es fliesst durch alle Teile der Stromi(t) = îsin(ωt − φ)Mithilfe von Zeigerdiagrammen kann man nun die Strromamplitude und die Phasenkonstantebestimmen:In der Abbildung 31.7 sind die drei Spannungen aufgetragen, wie sie aus den obigenBetrachtungen folgen. û R z.B. ist in Phase mit dem Strom î und û L ist um 90 ◦Abbildung 31.7: Zeigerdiagramm: Die drei Zeiger entsprechen den Spannungen an derSpule, dem Wirkwiderstand und dem Kondensator relativ zum Stromzeiger (gleiche Richtungwie û R ).dem Strom voraus. Nach der Maschenregel gilt für die angelegte Wechselspannungû(t)u(t) = u R + u C + u L (31.13)D.h. die angelegte Gesamtspannung muss gleich der Vektorsumme der einzelnenSpannungen sein. Da die Dreiecke rechtwinklig sind, gilt nach Pythagoras:û 2 = û 2 R + (û L − û C ) 2 (31.14)wobei gemäss Abbildung 31.8 aus û L und û C bereits die Summe gebildet wurde.Dies kann man nun mit den Widerständen ausdrücken:Damit folgt für die Stromamplitude:û 2 = (îR) 2 + (îZ L − îZ C ) 2 (31.15)î =û√R 2 + (Z L − Z C ) 2 (31.16)136

Abbildung 31.8: Der Wechselspannungszeiger muss gleich der Vektorsumme der dreiSpannungszeiger sein.Den Nenner dieser Gleichung bezeichnet man als Impedanz Z (oder auch alsScheinwiderstand des Stromkreises mit der antreibenden Kreisfrequenz ω.√Z = R 2 + (Z L − Z C ) 2 (31.17)Damit kann man für die Stromamplitude nun auch explizit schreiben:î =Der Abbildung 31.8 können wir entnehmen, dassû√R 2 + (ωL − 1/ωC) 2 (31.18)tanφ = ûL − û Cû R= îZ L − îZ CîR(31.19)bzw.tanφ = Z L − Z C(31.20)RDamit haben wir nun auch eine Gleichung für die Phasenkonstante φ in einemwechselstromgetriebenen und in Reihe geschalteten RLC-Kreis abgeleitet. Besondersinteressant ist der Fall, bei dem Z C = Z L ist. Da befindet sich der Schaltkreisin Resonanz. In diesem Zustand ist die Phasenverschiebung φ = 0 zwischen demStrom i(t) und u(t).Dies ist gleichbedeutend damit, dassgleich Null ist. D.h. wenn giltoderωL − 1ωCωL = 1ωCω = 1 √LC(31.21)137

Dies ist gleichzeitig die natürliche Kreisfrequenz ω eines RLC-Kreises. î(t) wirdalso maximal, wenn die Kreisfrequenz der angelegten Spannung gleich der natürlichenKreisfrequenz ist-d.h. im Resonanzfall. In der Abbildung 31.9 erkennt mandrei Resonanzkurven für sinusförmig angetriebene Schwingungen von drei in Reihegeschalteten RLC-Kreisen, die sich jeweils nur im Wert von R unterscheiden.In jeder der Kurven erreicht die Stromamplitude ihr Maximum für das VerhältnisAbbildung 31.9: Resonanzkurven für den RLC-Kreis mit L = 100µH, C = 100pF und dreiverschiedenen Widerständen.ω a /ω = 1,00, (ω a steht für ”Anregunskreisfrequenz”) allerdings nimmt der Maximalwertder Amplitude mit zunehmendem R ab.138

Kapitel 32Interferenz32.1 Elektromagnetische WellenEine elektromagnetische Welle besteht aus oszillierenden elektrischen und magnetischenFeldern. Die verschiedenen möglichen Frequenzen elektromagnetischerWellen bilden ein Spektrum, zu dem als kleiner Ausschnitt das sichtbare Lichtzählt. Mathematisch kann man schreiben:E(x,t) = E m sin(kx − ωt) (32.1)bzw.B(x,t) = B m sin(kx − ωt) (32.2)32.2 Licht als WelleSchon im Jahre 1678 schlug Christiaan Huygens eine Wellentheorie des Lichtsvor, welche im Stande war, Reflexion und Brechung zu erklären: Jeder Punkt einerWellenfront ist Ausgangspunkt sekundärer kugelförmiger Elementarwellen. DerOrt der Wellenfront zu einer beliebigen Zeit t ist gegeben durch die Tangente analle diese sekundären Elementarwellen. Dies wird als Huygenssches Prinzip bezeichnet.Betrachten wir als Beispiel die Herleitung des Brechungsgesetzes von Snellius.Eine ebene Wellenfront treffe mit θ 1 aus der Luft auf eine Glasoberfläche.Die Geschwindigkeit der Welle in der Luft sei v 1 , diejenige im Glas v 2 . Wenn dieWelle in das Glas eintritt, breitet sich eine Huygen’sche Elementarwelle aus. Währendein anderer Teil der Wellenfront gerade noch eine Wellenlände λ 1 in der Luftzurücklegt, breitet sich vom ersten Auftreffpunkt der Wellenfront eine elementareKugelwelle um λ 2 aus. Da die Zeiten gleich sind, gilt daherλ 1v 1= λ 2v 2(32.3)139

Dies gilt deshalb, weil sich die Frequenz der Welle nicht ändert beim Übertretenin ein anderes Medium. Aus geometrischen Betrachtungen heraus lässt sich dannablesen, dass giltsinθ 1= λ 1= v 1(32.4)sinθ 2 λ 2 v 2Wenn man nun noch den Brechungsindex n definiert als Verhältnis zwischen derLichtgeschwindigkeit im Vakuum und derjenigen im Medium,n = c v(32.5)so folgtsinθ 1sinθ 2= c/n 1c/n 2= n 2n 1. (32.6)Somit folgt das bekannte Brechungsgesetz nach Snellius:n 1 sinθ 1 = n 2 sinθ 2 . (32.7)32.3 Wellenlänge und BrechungsindexWie wir im vorigen Abschnitt gesehen haben, ändert sich sowohl die Geschwindigkeitals auch die Wellenlänge des Lichtes wenn es durch ein Medium tritt. ImVakuum giltc = λ T(32.8)und im Mediumdaraus folgtMithilfe von 32.5 folgtv = λ nTλ n = λ v cλ n = λ n(32.9)(32.10)(32.11)λ n bedeutet dabei die Wellenlänge im Medium mit Brechungsindex n. Somit giltauch für die Frequenz im Mediumf n = v λ n(32.12)Nun sehen wir, dass die Frequenz unverändert bleibt beim Eintritt in ein anderesMedium. Es gilt nämlichf n = c/nλ/n = c λ = fWenn sich nun zwei Lichtwellen, die anfänglich in Phase sind, durch unterschiedlicheMedien bewegen, so kann sich dadurch die Phasendifferenz ändern. Um diese140

Phasenänderung zu ermitteln, zählt man die Anzahl Wellenlängen ab, die in einMedium der Länge L passen. Wir nehmen an, dass der eine Lichtstrahl durch einMedium mit Brechungsindex n geht und der andere durch Luft n ≈ 1. Es gilt dannN 1 = L = Ln 1λ n1 λ(32.13)Analog giltN 2 = L = Ln 2λ n2 λ(32.14)und damitN 2 − N 1 = Ln 2λ − Ln 1λ = L λ (n 2 − n 1 ) (32.15)Dabei spielen Verschiebungen um ganzzahlige Vielfache der Wellenlänge keineRolle. Z. B. ist eine Phasendifferenz von 45,6 Wellenlängen so zu interpretieren,dass es um eine effektive Phasendifferenz von 0,6 Wellenlängen geht. Bei 0,5 Wellenlängenhätte man eine vollständige Auslöschung. Somit ist ein Wert von 0,6 alsoeher eine Auslöschung als eine konstruktive Interfernez. man kann diese Phasendifferenzennatürlich auch in Grad oder Bogenmass ausdrücken.32.4 Der Doppelspaltversuch von Young1801 gelang es Thomas Young mit einem Doppelspaltexperiment zu beweisen,dass Licht eine Welle ist. Bis zur Arbeit Albert Einsteins zum PhotoelektrischenEffekt um 1905 gab es daher auch kaum noch Zweifel an der Wellennatur desLichts. Beim Interferenzversuch ging es darum, dass monochromatisches Lichtzuerst durch einen ersten Spalt hindurchgeht und dabei zu einer Elementarwellewird, welche dann bei einem zweiten Schirm mit zwei Spalten wiederum gebeugtwird. Hinter dem Doppelspalt befindet sich dann ein Schirm, auf welchem Interferenzstreifenzu sehen sind (vgl. Abb. 32.1).32.5 Lokalisierung der InterferenzstreifenUm die Position der Interferenzstreifen zu berechnen, muss man einige Näherungenvornehmen. Wir nehmen an, dass der Schirmabstand L viel grösser sei als derAbstand d der beiden Spalten. Dann kann man sagen, dass die Winkel von S 1 undvon S 2 aus beide θ sind (vgl. Abb. 32.2). Dies ermöglicht uns den Gangunterschied∆L zu berechnen mithilfe eines rechtwinkligen Dreiecks (vgl. Abb. 32.2). Es folgt∆L = dsinθ (32.16)Da ∆L bei konstruktiver Interferenz ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlängesein muss, giltdsinθ = mλ mit m = 0,1,2,... (32.17)141

Abbildung 32.1: Interfernezversuch von Young.für die Interfernzmaxima. Bei den Interferenzminima gilt danndsinθ = (m + 1 ) · λ mit m = 0,1,2,... (32.18)2da der Gangunterschied für destruktive Interferenz ein ungradzahliges Vielfachesvon λ/2 sein soll. Man beachte, dass die Winkel θ sich jeweils auf das Zentrumeines Interferenzmaximums respektive -minimums beziehen.32.6 KohärenzUnter Kohärenz versteht man das Beibehalten einer festen Phasenbeziehung zweierWellen. Wenn man eine Lichtquelle wie z.B. eine Glühlampe betrachtet, so sinddie ausgesandten Lichtwellen in keiner festen Phasenbeziehung, sie sind dann inkohärent.Die angeregten Elektronen im Glühdraht emittieren in rein statistischerWeise ihr Licht. Somit könnte man dieses Licht auch nicht verwenden für den Doppelspaltversuch,da sich kein festes Interferenzgitter einstellen könnte. Stellt manhingegen einen Einzelspalt vor den Doppelspalt, so stellt dieser eine Lichtquelledar, welche nun kohärentes Licht richtung Dopplespalt aussendet.142

Abbildung 32.2: Berechnung zum Dopplespaltvesuch nach Young.32.7 Intensitäten bei der Interferenz am DoppelspaltWir gehen davon aus, dass die Wellen aus den beiden Spalten an einem Ort aufdem Schirm mit einer festen, zeitlich unveränderten Phasendifferenz ankommen.D.h. sie sollen kohärent sein. Ausserdem sind sowohl die Amplituden als auch dieKreisfrequenz der beiden Wellen identisch. Den zeitlichen Anteil der Wellen kannman dann folgendermassen schreiben:Es folgt dann für die Intensität auf dem SchirmE 1 = E 0 sinωt (32.19)E 2 = E 0 sin(ωt + φ) (32.20)I = 4I 0 cos 2 1 2 φ (32.21)wobeiφ = 2πd sinθ. (32.22)λDie erste Gleichung wird hergeleitet mithilfe der Methode der Zeigeraddition, wobeider Umstand verwendet wurde, dass bei elektromagnetischen Wellen giltII 0= E2E 2 0(32.23)d.h. die Intensität ist proportional zum Quadrat der Amplitude der Feldstärke E.Der Zusammenhand zwischen θ und φ folgt aus dem Vergleich des Gangunter-143

schieds mit der Phasenkonstante. Es gilt nämlich(Phasendifferenz) = 2π λ (Weglängenunterschied)Deshalb gilt mit dem Weglängenunterschied dsinθφ = 2πdλ sinθ.32.8 Interferenz an dünnen SchichtenBei dünnen Schichten können Interferenzen entstehen indem an der Vorder- undRückseite der Reflexionen stattfinden und sich die Lichtwellen anschliessend überlagern.Man muss dabei auch berücksichtigen, dass erstens der eine Lichtstrahleinen weiteren Weg zurücklegt (2L bei einem annähernd senkrechten Einfallen),zweitens eine andere Geschwindigkeit des Lichtes zu nehmen ist im Medium unddrittens bei der Reflexion von einem optisch dünneren zu einem optisch dichterenMedium ein Phasensprung von π zu beachten ist. Vom Medium mit grösserem Brechungsindexzum Medium mit niedrigerem Brechungsindex erfolgt hingegen dieReflexion ohne Phasensprung.Wenn man diese drei Punkte berücksichtigt, bekommt man für die Bedingungeiner konstruktiven Interferenz2L = ungeradeZahl2· Wellenlänge.Dabei muss für die Wellenlänge natürlich diejenige im Medium genommen werden,also2L = ungeradeZahl · λ n2wobei wir annehmen, dass ausserhalb der dünnen Schicht Luft ist mit n = 1. Wirschreiben also für konstruktive Interferenz(2L = m + 1 ) λm = 0,1,2 (32.24)2 nFür die destruktive Interferenz folgt2L = m λ n . (32.25)Damit kann man also bei bekannter Schichtdicke feststellen, ob ein Beobachter dieSchicht hell oder dunkel wahrnimmt, in Abhängigkeit der einfallenden Lichtwellenlänge.144

Kapitel 33Beugung33.1 Beugung an einem EinzelspaltWenn eine Lichtwelle auf einen Einzelspalt trifft, so entsteht in Abhängigkeit derBreite des Spaltes, hinter dem Spalt eine sogenannter Beugungseffekt. Das heisst,ein zentraler Teil der Wellenfront geht geradlinig durch den Spalt, aber an den beidenRändern entstehen Kugelwellen, welche sich dann in den Schattenbereich desSpaltes ausbreiten. Dies ist aber nicht alles. Es entstehen neben dem Hauptmaximader geradlinig durchgehenden Welle auch Interferenzstreifen an den Rändern (s.Abb. 33.1). Diese Maxima und Minima wollen wir nun genauer betrachten.Abbildung 33.1: Beugungsmuster eines Einzelspaltes.145

33.2 Lokalisierung der MinimaUm das Interferenzmuster am Einzelspalt zu beschreiben, konzentrieren wir unsauf die Minima. Die Maxima sind dann einfach in der Mitte zweier Minima anzunehmen.Der mittlere helle Streifen kann erklärt werden durch die Huygensschen Elementarwellen,welche sich im Bereich des Zentrums alle von einer Wellenfrontausbreiten. Sie sind alle in Phase und haben auch alle ungefähr die gleiche Weglängebis sie in der Mitte des Musters angekommen sind. Um die Position derdunklen Streifen zu finden, betrachten wir die Abbildung 33.2.Abbildung 33.2: Destruktive Interferenz am Punkt P 1 .146

Kapitel 34Der photoelektrische EffektIm Jahre 1900 veröffentlichte Max Planck eine Arbeit zur sogenannten Schwarzkörperstrahlungin der er eine Formel präsentierte, die das Abstrahlungsproblemlöste. Seine Ad-Hoc Hypothese war, dass Strahlung nur in Paketen, sogenanntenQuanten emittiert und absorbiert werden kann. Albert Einstein führte diese Idee imJahre 1905 noch weiter indem er vorschlug, dass auch die Strahlung selbst quantisiertwar. Später wurde diesem Lichtquantum der Name Photon gegeben. Einsteinkonnte mit seiner Hypothese das ungelöste Problem des photoelektrischen Effektes(kurz Photoeffekt) erklären. Nach Einsteins Vorstellung hat das Quantum einerLichtquelle der Frequenz f die Energiewobei die plancksche Konstante h den WertE = h f (34.1)h = 6,63 · 10 −34 J · s (34.2)hat. Da er die Energie des Lichtes als quantisiert annahm, kann eine Lichtwelle alsEnergie nur ganzzahlige Vielfache dieser kleinsten Einheit (Quantum) haben.Beim Photoeffekt wurde zuerst auf rein empirische Art festgestellt, dass einegereinigte Metallplatte (z.B. Zink), die mit UV-Licht bestrahlt wird, sich positivauflädt und zwar unabhängig von der Intensität des verwendeten Lichtes. Allerdingsspielte die Frequenz bzw. die Wellenlänge des verwendeten Lichtes eine entscheidendeRolle. War die Frequenz zu klein, so passierte gar nichts, egal mit wieviel Intensität die Platte bestrahlt wurde. Dieses Ergebnis war mit der klassischenVorstellung von elektromagnetischen Wellen, die die Atome im Metall anregenund dann dadurch ein Loslösen der Leitungselektronen verursachen, unverträglich.Einsteins Vorschlag war nun, dass ein einzelnes Photon (Lichtquant) seine ganzeEnergie an ein Elektron abgibt und dieses dadurch aus dem Metall geschleudertwird. Ist die Frequenz f genügend gross, so reicht diese Energie um das Elektronaus dem Verband herauszulösen und ihm allenfalls noch eine gewisse Geschwindigkeit,also eine kinetische Energie zu verpassen. In einer Gleichung formuliert147

lautet das Gesetz des Photoeffektes nach Einstein alsoh f = E kin max + Φ. (34.3)Dabei bedeutet Φ die so genannte Austrittsarbeit, also die Arbeit, die mindestensbenötigt wird, um das Elektron aus dem Atombverband herauszulösen. Ist nun dieEnergie h f der auftreffenden Photonen auf Grund ihrer Frequenz grösser als dieseAustrittsarbeit, so bleibt also noch kinetische Energie des Elektrons übrig, nämlichgenau (h f − Φ).Wenn man nun mit einem geeigneten experimentellen Aufbau eine Gegenspannungzur eigentlichen entstehenden Spannung des photoelektrischen Effektes aufbaut,kann man damit die herausgeschlagenen Elektronen ganz abbremsen. Manbekommt dann für die kinetische Energie der Elektronen den WertE kin max = eV stop . (34.4)Dabei wurde das so genannte Stoppotenzial V stop definiert. Dieses Stoppotenzialhängt also nur von der Frequenz des verwendeten Lichtes ab, nicht von der Intensität.Wenn man dieses V stop gegen die Frequenz der verwendeten Strahlungaufträgt, bekommt man einen linearen Zusammenhang, der es einem auch erlaubt,den Wert der planckschen Konstanten aus der Steigung zu ermitteln. Die Rechnunggeht folgendermassen: man setzt das Stoppotenzial in die Einsteinsche Gleichungfür den Photoeffekt ein.h f = eV stop + Φ (34.5)Dann löst man auf nach V stop und erhält( ) hV stop = f − Φ e e . (34.6)Die Steigung der Geraden im Diagramm entspricht also dem Werthe .Als Beispiel sei der Wert für h aus der Messung an einer Natriumprobe von R.A.Millikan aus dem Jahre 1916 herauszulesen (vgl. Abb. ??). Hier gilt ungefähr, dasshe = 2,35V − 0,72V11,2 · 10 14 − 7,2 ·14 Hz = 4,1 · 10−15 V · s.Wenn man nun noch mit e multipliziert, bekommt man für hh = 6,6 · 10 −34 J · s148

Abbildung 34.1: Das Potenzial V stop als Funktion der Frequenz f nach einem Versuch miteiner Natriumprobe aus dem Jahre 1916 von R. A. Milikan.149

Anhang AA.1 Berechnung der Differenzialgleichung zur gedämpftenSchwingung (mit Trick zur Vermeidung komplexerZahlen)Wir schreiben die DGL alswobei δ = b/2m und ω 2 = k/mWir machen den Ansatz 1d 2 x dx+ 2δdt2 dt + ω2 x = 0x = ˜xe −δtdamit istdxdt = d ˜xdt e−δt − δ ˜xe −δtundd 2 xdt 2 = d2 ˜xdt 2 e−δt − 2δ d ˜xdt e−δt + δ 2 ˜xe −δtwobei wir mehrfach die Produktregel der Differenzialrechnung verwendet haben.Einsetzen in die DGL und kürzen von e −δt ergibtd 2 ˜xdt 2 + ( ω 2 − δ 2) ˜x = 0Dies ist nun gerade die schon bekannte Gleichung für den ungedämpften harmonischenOszillator, wobei ω ′2 = ω 2 − δ 2 anstelle von ω 2 auftaucht. Demnach ist dieLösung:( )˜x(t) = x m cos ω ′ t + φworaus wir soforterhalten.( )x(t) = ˜xe −δt = x m e −bt/2m cos ω ′ t + φ1 Es wird hier nicht der übliche Ansatz für lineare homogene DGL benützt, da man mit diesemTrick komplexe Zahlen umgehen kann.150