Lösung der Beispielsaufgaben zur Vorlesung Statistik 2

Lösung der Beispielsaufgaben zur VorlesungStatistik 2Aufgaben zu Kap. 13: Es werden von 50 Kfz verschiedenen Alters die Bremswegevon 100 km/h zum Stopp gemessen. Aus der Urliste liegen das Streudiagramm Alter vs.Bremsweg, eine Klasseneinteilung sowie die resultierende Kreuztabelle zur Auswertungvor.h(x1)=20Bremsweg (m)70y = Bremsweg (m)23510251123241h(y1)=0−5 J5−10 J> 10 J0−5 J5−10 J> 10 Jn=50Alter des Fahrzeugsx = Alter des FahrzeugsBestimmen Sie:1. Die relativen Häufigkeiten f(x i , y j ),2. die Randhäufigkeiten h(x i ) bezüglich Merkmal “Bremsweg” sowie h(y j ) bezüglichMerkmal “Alter” sowie die relativen Randhäufigkeiten f(x i ), f(y j ),3. die Randhäufigkeitsverteilungen,4. die bedingten relativen Häufigkeiten sowie die Verteilung der Bremswege für 0-10Jahre alte und für 10-15 Jahre alte Fahrzeuge,5. die Altersverteilung der Fahrzeuge mit Bremswegen unter 50 m,1

6. und einen Check auf Unabhängigkeit (ohne nichtparametrischen Test!)Lösung:(1) n = 50; z.B. f(x 1 , y 1 ) = h(x 1 , y 1 )/n = 10/50 = 0.2 = Anteil der bis 5 Jahre altenKfz mit Bremswegen kleiner 50 m.(2) Randhäufigkeiten h(x i ) bezüglich Merkmal “Bremsweg”:h(y 1 ) = ∑ 3i=1 h(x i , y 1 ) = 13: Zahl der Kfz mit Bremswegen < 50 m.h(y 2 ) = ∑ 3i=1 h(x i , y 2 ) = 20: Zahl der Kfz mit Bremswegen zwischen 50 und 60 m.etc.Reklative Häufigkeiten: f(y 1 ) = h(y 1 )/n = 0.26 = Anteil der Kfz mit Bremswegen< 50 m, etcRandhäufigkeiten h(x i ) bezüglich Merkmal “Alter”:h(x 1 ) = ∑ 4j=1 h(x 1 , y j ) = 20: Zahl der unter 5 Jahre alten Kfzf(x 1 ) = h(x 1 )/n = 0.4: Anteil der unter 5 Jahre alten Kfz, etc.(3) Randhäufigkeitsverteilung bezüglich Alter: Diese ist gegeben durch den Punkt (x u 1, 0)sowie die Punkte (x o i , F (x i ) mit– x u 1 die Klassenuntergrenze der ersten Altersklasse,– x o i die Klassenobergrenze der i-ten Altersklasse,– F (x i ) = ∑ ik=1 f(x k ) die relative Summenhäufigkeit,also hier durch die Punkte(0, 0), (5, 0.4), (10, 0.8), (15, 1).Analog ist die Verteilungsfunktion bezüglich des Bremswegs durch die Punktegegeben.(40, 0), (50, 0.26), (60, 0.66), (70, 0.86), (80, 1)Um Verteilungsfunktionen zu bestimmen, braucht man auch die jeweils “außen”liegenden Grenzen der Randklassen, z.B. x u 1 und x o n. Falls es sich um “offene Randklassen”wie im Beispiel handelt, und nichts anderes gesagt ist, werden diese näherungsweiseals geschlossenen Klassen mit gleicher Klassenbreite wie die anderenKlassen behandelt, also z.B. x u 1 = 0 und x o 3 = 15.(4) Bedingte relative Häufigkeit der Bremswegklassen für über 10 Jahre alte Fahrzeuge:i = 3.f(y j |x 3 ) = h(y j , x 3 )/h(x 3 )2

alsof(y 1 |x 3 ) = 1/10 = 0.1,f(y 2 |x 3 ) = 4/10 = 0.4,f(y 3 |x 3 ) = 2/10 = 0.2,f(y 4 |x 3 ) = 3/10 = 0.3Bedingte relative Häufigkeit der Bremswegklassen für die unter 10 Jahre alten Kfz:alsof(y 1 |x = x 1 oder x 2 ) = 12/40 = 0.3,f(y 2 |x = x 1 oder x 2 ) = 16/40 = 0.4,f(y 3 |x = x 1 oder x 2 ) = 8/40 = 0.2,f(y 4 |x = x 1 oder x 2 ) = 4/40 = 0.1.f(y j |x = x 1 oder x 2 ) = h(y j, x 1 ) + h(y j , x 2 )h(x 1 ) + h(x 2 )Die Verteilungsfunktion wird wieder wie oben aus den Punkten (y u 1 , 0) sowie (y o j , F j ),j = 1..4 berechnet, wobei j die zu den relativen Häufigkeiten f(y 1 |x 3 ) bzw. f(y j |x =x 1 oder x 2 ) gehörige Summenhäufigkeit ist. Verbindet man die Punkte linear, ergibtsich als Grafik:1Verteilungsfunktion F0.80.60.40.2Alter =10 Jahre040 45 50 55 60 65 70 75 80Bremsweg (m)(5) Altersverteilung (x o i , F i ) für Bremswege < 50 m:(0, 0), (5, 10/13), (10, 12/13), (15, 1).3

(6) z.B. f(x 1 , y 1 ) = 1, f(x 5 1)f(y 1 ) = 2 + 13 = 26 ≠ 1 ⇒ Bremsweg und Alter sind5 50 250 5empirisch abhängig. Ob die Abhängigkeit allerdings signifikant ist, wird erst in derTest-Theorie am Ende von Statistik II untersucht.4

Aufgabe zu Kap. 19.3 Leiten Sie für die hyperbolische Regressionŷ(x) = a + b/xdie Bestimmungsgleichungen für die Parameter auf beide Arten her. Verwenden Sie fürdie Transformations-Methode folgende Transformation der unabhängigen Variablen:x = 1/z(i) Lineare Regression der transformierten DatenMit folgender Transformation der unabhängigen Variablen:x = 1 zwird die Regressionsfunktion ŷ(z) = a+bz linear und man erhält in der neuen unabhängigenVariable z die üblichen Ausdrücke für die Koeffizienten:a = ȳ − b¯z,b = s zy.s 2 zNach Rücktransformation z = 1 xerhält man für a und b folgende Ausdrücke:(ii) Direkte Regressiona = ȳ − 1 nn∑b =i=1n∑1i=1x 2 i( n ∑y ii=1x i− ȳ− 1 n)1b, (1)x in∑ 1i=1x i(∑ nDa ŷ(x) quasilinear ist, ist dies ohne Probleme möglich:F =i=1i=1(n∑y i − a − b ) 2!= min!x i⇒∂Fn∂a = 2 ∑(y i − a − b )x ii=1(∂F∂b = 2 n ∑i=1y i − a − b x i) (−1x i)5) 2(2)1x i(−1) = 0,= 0.

Daraus ein lineares Gleichungssystem für a und b:( n ∑i=1na +)1a +x i( n ∑i=1(∑ n)1b. =x i)1i=1x 2 ib =n∑y i ,i=1n∑ y i.i=1x iDaraus als Ergebnis die Koeffizienten der direkten Regression:a = ȳ − 1 nb =∑ ni=1 1x 2 i( n ∑i=1∑ ni=1 y i− 1 n)1b, (3)x ix i− ȳ ∑ n 1i=1 x( i∑ni=1 ) (1 ∑ni=1 ) (4)1x i x iDie Ausdrücke (3) und (1) für den Koeffizienten a sowie (4) und (2) für b sind identisch!Dies ist insofern anschaulich, als• einerseits bei der Regressionsrechnung ja unsymmetrisch nur die FehlerquadratsummeF bezüglich der abhängigen Variablen y minimiert wird,• andererseits eine quasilineare Regressionsfunktion durch Transformation ausschließlichder unabhängigen Variablen zur linearen Funktion wird. Im quasilinearen Fallwird die Fehlerquadratsumme F also durch die Transformation gar nicht beeinflusst!Bei Transformation der abhängigen Koordinate sind beide Methoden i.A. nicht äquivalent!(vgl. “Exkurse 2”)Aufgabe zu Kap. 19.41. Welche Klasse von Regressionsfunktionen hat eine von x unabhängige Elastizität?2. Erläuern Sie Grenzfunktion und Elastizitätsfunktion im Zusammenhang mit derLohnsteuertabelle (sic!). Bringen Sie dabei die Begriffe “Grenzsteuersatz und “progressiveBesteuerung” unter.Lösung:(1) Damit eine Regressionsfunktionen ŷ(x) eine von x unabhängige Elastizität beschreibt,muss gelten:ɛ yx (x) = x dŷŷ dx = C = const.6

“Bruchrechnen” mit den Differentialquotienten ergibtdŷŷ = C dx xNun wird auf beiden Seiten das unbestimmte Integral gebildet:mit der Integrationskonstante D.ln(ŷ) = C ln(x) + DAuflösen nach ŷ ergibt die gesuchte Klasse von Regressionsfunktionen (mit der neuenKonstanten A = e D ):ŷ(x) = e D e C ln(x) = A ( e ln(x)) C= Ax C .Die Elastizität ist dabei durch ɛ yx = C=const. gegeben. Zum Beispielŷ(x) = 7x: ɛ yx = 1,ŷ(x) = 0.4x : ɛ yx = −1.(2) Sei x das Einkommen und ŷ(x) die Regressionsfunktion für die bezahlte Lohnsteuery. Ohne Absetzungsmöglichkeit wäre ŷ(x) = y(x) die Steuer aus der Lohnsteuertabelle,die tatsächliche Regressionsfunktion wird wohl niedriger liegen.Die Grenzfunktion g(x) = dy kann als der bei gegebenen Einkommen im Mittelgültige Grenzsteuersatz interpretiert werden. Dieser liegt i.A. höher als derdxSteuersatz ŷ/x selbst. Das heißt, die Elastizität x dŷ= x g(x) ist größer als 1 oderŷ dx ŷprogressiv, was leider einer progressiven Besteuerung entspricht :(60Steuersaetze 2002 (%)5040302010Steuersatz y/xGrenzsteuersatz dy/dx00 10000 20000 30000 40000 50000 60000Einkommen x (Eur)http://home.t-online.de/home/parmentier.ffm/steuer.htm?steuer01.htm7