und Lagrange'schen Partikelmodell zur Ausbreitung von Viren

7.4 Die multiple Regression 59Die Prüfgröße z berechnet sich dann mitz = Z √ n − k − 1 (7.10)Dabei bezeichnet n den Stichprobenumfang und k die Gesamtzahl der an der Partialkorrelationbeteiligten Variablen. Liegt z beispielsweise außerhalb des Intervalls[-1.96,1.96], so ist die Partialkorrelation auf dem 5%-Niveau statistisch signifikant.7.4 Die multiple RegressionVon einer Regressionsgerade spricht man, wenn man durch eine zweidimensionalePunktwolke eine Ausgleichsgerade ŷ = a+b x legt, bei welcher die quadratischen Normalabständevon den Datenpunkten in Summe minimal sind. Bei drei Dimensionensucht man anschaulich gesprochen jene Ebene ẑ = a + b x + c y, deren quadriertenNormalabstände zu den Datenpunkten ebenfalls in Summe ein Minimum darstellen.Durch Ermittlung der Parameter a, b und c könnte man die Kriteriumsvariable zdurch die Prädiktorvariablen x und y bestmöglich durch ein lineares Modell vorhersagen.Ganz allgemein spricht man bei mehr als einer Prädiktorvariable von multiplerRegression. Die Regressionsgleichung für m Prädiktorvariablen lautet:ẑ = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a m x m (7.11)Die Konstante a 0 nimmt die Rolle eines Achsenabstandes ein und wird auch als Regressionskonstantebezeichnet. Alle weiteren Parameter a 1 bis a m haben die Bedeutungvon Steigungen bezüglich der einzelnen Achsen. Kompakter schreiben lässt sich Gleichung(7.11) in Matrixschreibweise, wofür allerdings a 0 noch formal mit dem Vektorx 0 (alle Komponenten besitzen den Wert 1) multipliziert werden muss:ẑ = X a (7.12)Der Vektor a enthält die zu bestimmenden Konstanten a 0 , a 1 , ..., a m , in der Matrix Xsind die Werte der Variablen x 0 bis x m als Vektoren aneinandergereiht. Mathematischformuliert lautet die Bedingung an die ẑ i :n∑(z i − ẑ i ) 2 = min (7.13)1=1Mit dem Kalkül der Extremwertrechnung kann gezeigt werden, dass der Vektor agenau dann die Bedingung (7.13) erfüllt, wenn gilt:a = (X X T ) −1 X ′ z (7.14)