und Lagrange'schen Partikelmodell zur Ausbreitung von Viren

42 3.3 Zusammenhang zwischen den beiden ModellenEingesetzt in die Gleichungen (3.74), (3.75) und (3.76) folgt für die Streuungen σ i miti = 1, 2, 3:(σx 2 i(t) = 2 σv 2 iTv 2 i[exp − t )− 1 +t ](3.79)T vi T viDie vorangegangene Gleichung besitzt zwei Spezialfälle, nämlich t ≪ T vi und t ≫ T vi .Beide Fälle führen zu einer Vereinfachung von Gleichung (3.79). Für den ersten Falllässt sich die Exponentialfunktion dank des kleinen Arguments in eine Taylorreiheentwickeln. Bricht man die Reihe nach dem quadratischen Glied ab(exp − t )≈ 1 −T vit + 1 ( ) 2 t+ OT vi 2 T vi( [ tT vi] 3), (3.80)so folgt durch Einsetzen in Gleichung (3.79):[σx 2 i(t) ∼ = 2 σv 2 iTv 2 i1 − t + 1 ( ) ]2 t− 1 +t = σv 2 T vi 2 T vi T it 2 (3.81)viNahe der Quelle bzw. für vergleichsweise kurze Diffusionszeiten kommt es also zu einerin der Zeit linearen Zunahme des Diffusionsparameters σ xi .Im umgekehrten Fall, also wenn t ≫ T vi gilt, so kann die Exponentialfunktion inGleichung (3.79) gegenüber den anderen Termen vernachlässigt werden:[σx 2 i(t) ∼ = 2 σv 2 iTv 2 i−1 +t ]= 2 σv 2 T iT vi [t − T vi ] ∼ = 2 σv 2 iT vi t (3.82)viAls weitere Näherung wurde T vi gegenüber t vernachlässigt. In großer Entfernung vonder Quelle besitzt der Diffusionsprozess ein zu √ t proportionales zeitliches Verhalten.Vergleicht man nun den Ansatz für die Diffusionsparameter nach Turner aus denGleichungen (3.39) und (3.40) mit den Approximationen (3.81) und (3.82), so folgtstellvertretend für die y− Komponente für den Exponent β und die beiden zeitlichenSpezialfälle t ≪ T vi und t ≫ T vi :t ≪ T v : σ 2 y(t) = B 2 t 2 β = σ 2 v t 2 β = 1 (3.83)t ≫ T v : σ 2 y(t) = B 2 t 2 β = 2 σ 2 v T v t β = 0.5 (3.84)Aus dem Vergleich der beiden Ansätze (Turner und Taylor) folgt die Zeitabhängigkeitder in Tab. (3.1) für unterschiedliche Ausbreitungsklassen aufgelisteten Exponenten.Will man die Ergebnisse des Lagrange’schen Ausbreitungsmodells für homogeneWind- und Turbulenzverhältnisse über ebenem Terrain reproduzieren, so ist dies beiKenntnis der Lagrange’schen Zeitskala T vi und den Windfluktuationen σ vi mit Hilfevon Gleichung (3.79) problemlos möglich.