und Lagrange'schen Partikelmodell zur Ausbreitung von Viren

3.3 Zusammenhang zwischen den beiden Modellen 413.3 Zusammenhang zwischen den Gauß’schen undLagrange’schen AusbreitungsmodellenFür den Fall, dass alle Voraussetzungen für die Anwendbarkeit des Gauß’schen Ausbreitungsmodellsgegeben sind, stellt sich die Frage nach den Zusammenhängen zwischenden Diffusionsparametern σ x , σ y und σ z beim Gauß’schen und den Windfluktuationenσ u , σ v und σ w sowie den Lagrange’schen Zeitskalen T u , T v und T w beimLagrange’schen Ausbreitungsmodell.Einen Zusammenhang zwischen diesen erwähnten Größen konnte Taylor (1921)herleiten. Das später nach ihm benannte Theorem lautet:∫ t ∫ t′σx(t) 2 = 2 σu2 R u (ζ) dζ dt ′ (3.74)0 0∫ t ∫ t′σy(t) 2 = 2 σv2 R v (ζ) dζ dt ′ (3.75)0 0∫ t ∫ t′σz(t) 2 = 2 σw2 R w (ζ) dζ dt ′ (3.76)00Legt man der Lagrange’schen Autokorrelationsfunktion R vi (ζ) die Annahme (3.48)zugrunde, so resultiert für die inneren Integrale der Gleichungen (3.74) bis (3.76) miti = 1, 2, 3:∫ t′0R vi (ζ) dζ =∫ t′0(exp − ζ )dζ = −T viT vi(exp − ζ )∣ ∣∣∣t ′) ]= −T vi[exp(− t′− 1T vi 0T vi(3.77)Anwendung des äußeren Integrals aus (3.74) bis (3.76) auf Gleichung (3.77) führt zu:−∫ t0) ])T vi[exp(− t′− 1 dt ′ = Tv 2 T i[exp(− t′+ t′vi T vi] tT vi 0= Tv 2 i( [exp − t )− 1 +T vit ]T vi(3.78)