und Lagrange'schen Partikelmodell zur Ausbreitung von Viren

3.2 Das Lagrange’sche Partikelmodell 37des für die Auswertung diskretisierten Raumes:( ∆x∆t ≤ minu , ∆yv , ∆z )w(3.45)Die Geschwindigkeit v(t) setzt sich aus der vorgegebenen Grundströmung ¯v und einemturbulenten Anteil v ′ zusammen:v n = ¯v n + v ′ n (3.46)Die turbulente Komponente v ′ wird durch einen Zufallsprozess realisiert, berücksichtigtjedoch auch die Trägheit der Materie. Bewegt sich ein Partikel zu einer gegebenenZeit in eine bestimmte Richtung, so kann sich dieses im nächsten Zeitschritt nichtetwa in die Gegenrichtung bewegen - sieht man von Stoßvorgängen einmal ab. Diesem,der Trägheit entsprechenden ”Erinnerungsvermögen“ wird durch die Einführungder Lagrange’schen Autokorrelationsfunktion Rv(∆t) Rechnung getragen. Es handeltsich dabei um einen Gewichtungsfaktor der turbulenten Geschwindigkeit des vorangegangenenZeitschrittes. Die eigentliche, mit der turbulenten Geschwindigkeit frühererZeitpunkte unkorrelierten Geschwindigkeitsfluktuation wird mit v ′′ n bezeichnet. Gleichung(3.46) erweitert sich dadurch zuv n = ¯v n + Rv(∆t)v n−1 + v ′′ n (3.47)Die Abfolge der Werte von v n stellt aufgrund der ausschließlichen Abhängigkeit desaktuellen Wertes vom direkt vorangegangenen Wert eine Markov-Kette erster Ordnungdar. Für die Lagrange’sche Autokorrelationsfunktion wird in der Regel ein in derZeit exponentiell abfallender Ansatz gewählt. Damit ist ein, zur dazwischen liegendenZeit proportionales Abklingen des Einflusses des aktuellen Bewegungszustandes aufdie weiteren gewährleistet. Das Ausmaß der ”Erinnerung des Systems“ wird durchdie Lagrange’sche Zeitskala T bestimmt:(R vi (∆t) ≃ exp − ∆t )T vi(3.48)Der Index v i bezieht sich auf die betrachtete Geschwindigkeitskomponente und berücksichtigteine mögliche räumliche Anisotropie der Ausbreitung in horizontaler und vertikalerRichtung.Gleichung (3.48) stellt nicht den einzigen Ansatz für die Lagrange’sche Autokorrelationsfunktiondar. Eine dazu sehr ähnliche Formulierung wird von Frenkiel (2002)verwendet:(R vi (∆ t) = exp − π )(∆t) 24 Tv 2 i(3.49)