und Lagrange'schen Partikelmodell zur Ausbreitung von Viren

3.1 Das Gauß’sche Ausbreitungsmodell 31kann. Geht nun der Integrationsweg ∆x = 2 l gegen Null, so liegt diese repräsentativeStelle bei x 0 . Für die eindimensionale Diffusionsgleichung mit einer Punktquelleresultiert nun insgesamt:¯c(t, x) =1√ 4 π Kx t limx∫0 +ll→0x 0 −lQ2 l e− (x′ −x) 24 Kx t dx ′ =Q√ 4 π Kx t e− (x 0 −x)24 Kx t (3.31)Durch Erweiterung des Produktansatzes (3.7) auf die beiden anderen Raumkoordinateny und z modifiziert sich Gleichung (3.31) unter der Annahme, dass die Koordinatender Quelle (x 0 , y 0 , z 0 ) lauten, zu:¯c(t, x, y, z) =Qexp[− √(4 (x 0 − x) 2− (y 0 − y) 2− (z ]0 − z) 2π t) 3 4 KK x K y K x t 4 K y t 4 K z tz(3.32)Im Falle einer kontinuierlichen Punktquelle ist es unbedingt erforderlich, eine Grundströmungū ≠ 0 zuzulassen. Anderenfalls würde die Konzentration am Ort der Quelleins Unendliche ansteigen. Interessant ist bei Betrachtung einer kontinuierlichen Punktquelleder stationäre Fall. Zu diesem Zwecke wird die Transformationt = x ū ∂¯c∂t ⇒ ū ∂¯c∂x(3.33)durchgeführt. Als weitere Annahme wird für die Ausbreitung in x−Richtung die Dominanzdes Transportes durch die Grundströmung gegenüber des Transportes durchDiffusion getroffen, wodurch in Gleichung (3.32) der Exponentialterm mit K x undunter der Wurzel auf der linken Seite der Ausdruck 4 π t K x wegfallen. Damit und mitGleichung (3.33) modifiziert sich die Transportgleichung (3.32) zu:ū ¯c(x, y, z) =[ū Q4 π x √ exp − ū ( (y0 − y) 2− (z )]0 − z) 2K y K z 4 x K y K z(3.34)Durch Division durch ū auf beiden Seiten von Gleichung (3.34) und der Verschiebungdes Koordinatensystems derart, dass sich die Punktquelle an der Position (0,0,h)befindet, gelangt man weiter zu:¯c(x, y, z) =[Q4π x √ exp − ū ( )]y2(z − h)2+K y K z 4x K y K z(3.35)Gleichung (3.35) besitzt die Struktur einer Gauß’schen Normalverteilung, was durchfolgende Transformation deutlicher erkennbar wird: