und Lagrange'schen Partikelmodell zur Ausbreitung von Viren

3.1 Das Gauß’sche Ausbreitungsmodell 29so kann man bei entsprechender Wahl des Integrationsweges folgende Identifizierungenvornehmen:λ = i k, i C(i k) = ϑ(k) (3.21)Einsetzen der Beziehungen (3.21) in die Superposition (3.17) unter Berücksichtigungder Fourier-Rücktransformation (3.19) führt zu:¯c(t, x) = 1 ∫2 π+∞−∞∫dx ′ +∞−∞Θ(x ′ ) e −i k(x′ −x)−K x k 2 t dk (3.22)In der Beziehung für die Konzentrationsverteilung ¯c tritt noch das Integral über dieWellenzahl k auf. Mit Hilfe der Umformung des Exponenten von Gleichung (3.22) inForm von() 2−i k(x ′ − x) − K x k 2 t = −K x t k + i(x′ − x)− (x′ − x) 22 K x t 4 K x tund der folgenden Substitution(3.23)ζ = k + i(x′ − x)2 K x t(3.24)schreibt sich das Integral über die Wellenzahl k aus Gleichung (3.22) als∫+∞−∞e −i k(x′ −x)−K x k 2 t dk = e − (x′ −x) 24 Kx t∫+∞−∞e −Kx t ζ2 dζ (3.25)Unter Berücksichtigung von∫+∞−∞ergibt sich für das Integral aus Gleichung (3.25):∫+∞−∞e −i k(x′ −x)−K x k 2 t dk =e −ζ2 dζ = √ π (3.26)√ πK x t e− (x′ −x) 24 Kx t (3.27)Das Anfangswertproblem der eindimensionalen Diffusionsgleichung schreibt sich durch