und Lagrange'schen Partikelmodell zur Ausbreitung von Viren

28 3.1 Das Gauß’sche AusbreitungsmodellDa λ beliebig ist, genügt die Verwendung des positiven Vorzeichens. Damit lautet dieLösung für Gleichung (3.11):B(x) = C 3 e λ x (3.14)Durch Einsetzen der Resultate (3.12) und (3.14) in den Separationsansatz (3.7) unddurch die Substitution C 2 C 3 = C lautet die allgemeine Lösung der eindimensionalenDiffusionsgleichung (3.6):¯c(t, x) = C e Kx λ2 t+λ x(3.15)Die Lösung (3.15) ist jedoch nicht mit allen beliebigen Anfangsbedingungen Θ(x) =¯c(0, x) kompatibel. Da es sich bei der Diffusionsgleichung um eine lineare Differentialgleichunghandelt, kann man sich das Superpositionsprinzip zunutze machen, wonachdie Summe zweier Lösungen (mit unterschiedlichen Separationskonstanten λ) selbstwieder eine Lösung darstellt:¯c(t, x) = ∑ iC i e Kx λ2 i t+λ i x(3.16)Die Verallgemeinerung von Gleichung (3.16) lässt sich durch den Übergang der Summationauf die Integration erreichen:∫¯c(t, x) =C(λ) e Kx λ2 t+λ x dλ (3.17)In der vorangegangenen Gleichung stellt C(λ) eine beliebige Funktion von λ dar.Für die Anfangsverteilung der Konzentration soll angenommen werden, dass diesemit zunehmendem Abstand vom Maximum hinreichend schnell auf Null abfällt, sodassdiese als Fourier-Integral mit der entsprechenden Rücktransformation dargestelltwerden kann:Θ(x) =∫+∞−∞ϑ(k) e i k x dk (3.18) ϑ(k) = 1 ∫2 π+∞−∞Θ(x ′ ) e −i k x′ dx ′ (3.19)Dabei handelt es sich bei k nicht mehr um die räumliche Koordinate sondern um dieräumliche Wellenzahl. Stellt man das Fourier-Integral (3.18) der Superposition (3.17)zum Zeitpunkt t = 0 gegenüber,¯c(0, x) = Θ(x)∫C(λ) e λ x dλ =∫+∞ϑ(k) e i k x dk (3.20)−∞