und Lagrange'schen Partikelmodell zur Ausbreitung von Viren

3.1 Das Gauß’sche Ausbreitungsmodell 27ausdrücken, wobei die Funktionen A und B noch spezifiziert werden müssen. Einsetzendieses Ansatzes in Gleichung (3.6) führt zu:∂A(t)∂tTrennung der Funktionen A und B führt weiter zu:B(x) = K x A(t) ∂2 B(x)∂x 2 (3.8)1 1 ∂A(t)K x A(t) ∂t= 1 ∂ 2 B(x)(3.9)B(x) ∂x 2Da links ein nur von der Zeit t abhängiger Ausdruck steht, rechts hingegen nur eineAbhängigkeit von der räumlichen Koordinate x vorliegt, muss es sich auf beiden Seitender Gleichung um eine Konstante λ 2 handeln. Das Quadrat ist willkürlich, verhindertbei der weiteren Herleitung jedoch unnötige Wurzelausdrücke. Gleichung (3.9) lässtsich damit in zwei Differentialgleichungen für je eine der Variablen A und B zerlegen:1 ∂A(t)A(t) ∂t= K x λ 2 (3.10)1 ∂ 2 B(x)= λ 2 (3.11)B(x) ∂x 2Während die Differentialgleichung (3.10) mit Hilfe der Trennung der Variablen A undt und anschließender Integration gelöst werden kann, also:1 ∂A(t)= K x λ 2A(t) ∂t∂ log A(t) = K x λ 2 ∂t∫∫∂ log A(t) = K x λ 2 ∂tlog A(t) = C 1 K x λ 2 tA(t) = e C 1 K x λ 2 tA(t) = C 2 e Kx λ2 t(3.12)gelangt man bei der Differentialgleichung (3.11) mit dem Exponentialansatz B(x) =C 3 e κ x am einfachsten zur Lösung:1 ∂ 2 B(x)− λ 2B(x) ∂x 2 = 0∂ 2 B(x)− B(x) λ 2∂x 2 = 0κ 2 C 3 e κ x − λ 2 C 3 e κ x = 0κ 2 − λ 2 = 0κ = ±λ (3.13)