und Lagrange'schen Partikelmodell zur Ausbreitung von Viren

Kapitel 3Mathematische Grundlagen derAusbreitungsmodelle3.1 Das Gauß’sche AusbreitungsmodellAn dieser Stelle soll die räumliche Konzentrationsverteilung einer kontinuierlich emittierendenPunktquelle für den stationären Fall hergeleitet werden. Der transparentesteWeg führt dabei über die momentan emittierende Punktquelle für eine eindimensionale,aber leicht erweiterbare Konfiguration. Die Aufstellung der partiellen parabolischenDifferentialgleichung lehnt sich an die Abhandlung dieser Thematik in Etling (2002),die Lösung derselben an die Ausführungen bezüglich der Lösung der mit der Diffusionsgleichungverwandten Wärmeleitungsgleichung in Kluge (1994).Die Konzentration c einer Substanz kann sich zeitlich nur ändern, wenn eine Quelleoder Senke P c für diese Substanz vorhanden ist, so lautet die Aussage der Transportgleichung:dcdt = P c (3.1)Durch Anwenden des Euler-Operators auf die totale Zeitableitung, die Aufspaltungder Variablen in Mittelwerte und Abweichungen davon sowie durch anschließendeMittelung resultiert aus Gleichung (3.1):∂¯c∂t + ū ∂¯ck = − ∂u′ k c′+∂x k ∂x ¯P c (3.2)kDer Index k bezeichnet die einzelnen räumlichen Koordinaten. Bei u ′ k c′ handelt essich um den turbulenten Transport, also um den Transport der Fluktuation der Konzentrationc ′ mit der Schwankung der Geschwindigkeit u ′ . Der turbulente Transportist nicht messbar, daher versucht man diesen auf bekannte und messbare Größen,also Mittelwerte, zurückzuführen. Da der turbulente Transport dem Gradienten der25