und Lagrange'schen Partikelmodell zur Ausbreitung von Viren

Dipl.-Ing. Dr. Dieter MayerVergleichende Anwendung von Gauß- undLagrange’schen Partikelmodell zur Ausbreitungvon VirenDIPLOMARBEITZur Erlangung des akademischen GradesMagister der NaturwissenschaftenInstitut für Meteorologie und GeophysikUniversität WienBetreuer:A. Univ. Prof. Mag. Dr. Franz RubelOktober 2006

Für mein Engelchen Tanjaii

InhaltsverzeichnisDanksagungAbstractZusammenfassungvviiixI Einleitung 111 Übersicht 132 Überblick über die Ausbreitungsmodelle 172.1 Definition und Rückblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Die Rolle von Tracer-Experimenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Gauß’sche und Lagrange’sche Ausbreitungsmodelle . . . . . . . . . . 182.3.1 Prognostische und diagnostische Modelle . . . . . . . . . . . . 192.4 Anwendungsgebiete von Ausbreitungsmodellen . . . . . . . . . . . . . 192.4.1 Ausbreitung von Schadstoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.2 Ausbreitung von Geruchsstoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.3 Ausbreitung von Bioaerosolen (Viren) . . . . . . . . . . . . . . 21II Theorie 233 Mathematische Grundlagen der Ausbreitungsmodelle 253.1 Das Gauß’sche Ausbreitungsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.1 Parametrisierung der Diffusionsparameter . . . . . . . . . . . 323.2 Das Lagrange’sche Partikelmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.1 Die Parametrisierung der Turbulenzgrößen . . . . . . . . . . . 393.3 Zusammenhang zwischen den beiden Modellen . . . . . . . . . . . . . 414 Die Berechnung der Ausbreitungsklassen 455 Die Maul- und Klauenseuche 49iii

6 Berechnung / Abschätzung fehlender meteorologischer Parameter 516.1 Berechnung der Gesamtbedeckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2 Berechnung der relativen Luftfeuchtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 527 Statistische Methoden 557.1 Die Punkt-Moment-Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.2 Der Spearman’sche Korrelationskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . 567.3 Die Partialkorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.4 Die multiple Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.5 Die Varianzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60III Daten und Ergebnisse 638 Bestimmung der Ausbreitungsklassen aus empirischen Daten 658.1 Der Datensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658.2 Statistik der Ausbreitungsklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668.3 Relevanz der Höhe der Wolkenbasis der niedrigen Wolken . . . . . . . 729 Vorhersagefehler der Risikodistanzen 759.1 Datensatz des Lokal Modells des deutschen Wetterdienstes . . . . . . 759.2 Bestimmung der Risikodistanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769.3 Statistik des Vorhersagefehlers der Risikodistanzen . . . . . . . . . . 779.4 Güte der Vorhersagbarkeit der Ausbreitungsklassen . . . . . . . . . . 8210 Beispiel einer MKS-Ausbreitung mit einem homogenen Windfeld 85Literatur 88Lebenslauf 92iv

DanksagungDiese Diplomarbeit wurde am Department für Naturwissenschaften (DND) an derVeterinärmedizinischen Universität in Wien durchgeführt. Am Ende dieser Arbeitmöchte ich die Gelegenheit nutzen, all jenen zu danken, die zu ihrem Gelingen beigetragenhaben.Mein besonderer Dank gebührt A.Univ.-Prof. Dr. Franz Rubel für den Vorschlagdieses Diplomarbeitsthemas und die fachkundige Betreuung.Für die Benutzung der Infrastruktur des Instituts für Medizinische Physik undBiostatistik möchte ich mich beim Department-Sprecher Herrn Univ.Prof. Dr. Dipl.-Ing. Gerhard Windischbauer recht herzlich bedanken.Ebenfalls bedanken möchte ich mich bei Austro Control - Österreichische Gesellschaftfür Zivilluftfahrt mbH und da vor allem bei Dr. Markus Kerschbaum und Dr.Hans Kohlgruber für die sehr umfangreichen Messdaten.Meiner Freundin Tanja Kiennast gilt mein Dank für das geduldige und gewissenhafteKorrekturlesen dieser Diplomarbeit.v

AbstractThe main focus of this work is directed to the Gaussian and Lagrangian dispersionmodels, applied to the spread of foot-and-mouth disease-virus. Assuming simplifiedmeteorological conditions, for a spontanously and alternatively continuously emittingpoint source, the diffusion equation is solved analytically in order to derive the Gaussiandispersion model. Furthermore a Lagrangian dispersion model is presented andthe relations to the Gaussian model are pointed out. A major role plays the estimationof the dispersion parameters and the turbulent wind speed components.The diffusion-caused dispersion of particles depends on the stability of the atmosphere.By means of an extensive set of measuring data, the relations between stabilityclasses and meteorological parameters are described and the secondary role of thecloud base of low clouds is discovered. A statistical analysis of the stability classescompletes this subject.A further object of this work is the quality of the predictability of the risk-distancefor cattle, sheep and swines in the case of a foot-and-mouth disease outbreak. For thispurpose, stability classes and thereby the risk-distances, computed by measured dataon the one hand and by predicted data on the other hand, are compared.vii

viii

ZusammenfassungDer Schwerpunkt dieser Arbeit ist den Gauß’schen und Lagrange’schen Ausbreitungsmodellen,angewandt auf die Ausbreitung der Maul- und Klauenseuche-Viren, gewidmet.Für eine spontan bzw. kontinuierlich emittierende Punktquelle wird unterder Annahme vereinfachter meteorologischer Verhältnisse die Diffusionsgleichung analytischgelöst und damit das Gauß’sche Ausbreitungsmodell hergeleitet. Alternativdazu wird ein Lagrange’sches Ausbreitungsmodell vorgestellt und auf die Zusammenhängemit dem Gaußmodell eingegangen. Ein Hauptaugenmerk wird dabei aufdie unterschiedlichen Parametrisierungen der Dispersionsparameter bzw. der turbulentenWindfluktuationen gelegt.Die diffusionsbedingte Ausbreitung von Partikeln ist eine Funktion der atmosphärischenStabilität. In dieser Arbeit wird anhand eines umfangreichen Satzes anMessdaten gezeigt, wie diese Stabilitätsklassen auf meteorologische Messgrößen zurückgeführtwerden können und welche untergeordnete Rolle dabei die Höhe der Wolkenbasisder niedrigen Wolken spielt. Eine statistische Analyse dieser Stabilitätsklassenergänzt diesen Themenbereich.Eine zentrale Rolle nimmt die Güte der Vorhersagbarkeit der Risikodistanzen fürRinder, Schafe und Schweine im Falle eines Maul- und Klauenseuche-Ausbruchs ein.Für diesen Zweck werden die Stabilitätsklassen und damit die Risikodistanzen, zumeinen aus meteorologischen Messwerten und zum anderen aus prognostizierten meteorologischenDaten, berechnet und verglichen.ix

Teil IEinleitung11

Kapitel 1ÜbersichtDie Ausbreitung von Substanzen in der Atmosphäre, seien es nun Schadstoffe aus derIndustrie, Geruchsstoffe, radioaktive Partikel oder Bioaerosole wie die im Folgendenbetrachteten Viren, erfolgt einerseits mit der mittleren Strömung (Wind), andererseitsauch senkrecht dazu durch turbulente Diffusion.Die Grundlage der Ausbreitungsmodelle bildet die turbulente Diffusionstheorie.Für diese Theorie existieren drei von der Methodik zwar unterschiedliche, aber in denErgebnissen sehr ähnliche Zugänge (Kolb 1981). Dabei handelt es sich um den auf H.Fick zurückgehenden Gradientansatz, auch K-Theorie genannt, den von Taylor stammendenstatistischen Ansatz und zuletzt einen auf Ähnlichkeitstheorie basierendenAnsatz. Für die hier behandelte Ausbreitung wird der durch statistische Überlegungenergänzte Gradientansatz herangezogen, aus welchem schließlich das Gauß’scheAusbreitungsmodell hervorgeht. Auf die Unterscheidung der Ausbreitungsmodelle indie Lagrange’schen und die Gauß’schen Modelle so wie einige Anwendungsbeispielewird in Kapitel (2) dieser Arbeit eingegangen.Der mathematische Hintergrund dieser Diplomarbeit, dazu zählen eine Herleitungdes Gauß’schen Ausbreitungsmodells, eine Einführung in das Lagrange’sche Partikelmodell,eine kurze Präsentation der verwendeten statistischen Methoden, die Berechnungder Gesamtbedeckung aus den Bedeckungen unterschiedlicher Bewölkungsgruppensowie die Berechnung des Sonnenwinkels, ist Gegenstand von Teil (II).Die Konzentration einer Substanz in Raum und Zeit wird durch die Transportgleichungbeschrieben. Abgesehen von den Raumkoordinaten ist die Konzentration derbetrachteten Substanz von der mittleren Windgeschwindigkeit, von der Quellstärkesowie der Höhe der Quelle über dem Boden und was für die weiteren Betrachtungenbesonders wesentlich ist, von den Diffusionskoeffizienten abhängig. Der Auswertungdieser Differentialgleichung ist für punktförmige spontan bzw. kontinuierlich emittierendeQuellen Abschnitt (3.1) gewidmet. Diese Koeffizienten steuern die Ausweitungder Isoflächen der Substanzkonzentration quer zur mittleren Strömungsrichtung (z.B.Ausweitung der Rauchfahne aus Industrieschornsteinen). Die Konzentration ist normalverteilt,die Standardabweichungen (Streuparameter) werden von den Diffusionskoeffizientendeterminiert.13

14 1. ÜbersichtTurner (1964) und Pasquill (1971) ist es gelungen, die Streuparameter empirischzu approximieren. Abhängig vom Turbulenzzustand nehmen die dabei auftretendenVariablen unterschiedliche Werte an. Weitere Parametrisierungen der Streuparameterwerden in Abschnitt (3.1.1) vorgestellt.Auf das Lagrange’sche Ausbreitungsmodell wird im Abschnitt (3.2) eingegangen,die Parametrisierung der damit verbundenen Turbulenzgrößen ist Gegenstand vonAbschnitt (3.2.1).Die Frage nach dem Zusammenhang der Streuparameter beim Gauß’schen mitden Turbulenzparametern beim Lagrange’schen Ausbreitungsmodell, homogene undstationäre Bedingungen vorausgesetzt, wird in Abschnitt (3.3) behandelt.Klassifiziert werden die Turbulenzzustände durch sogenannte auf die Stabilität deratmosphärischen Schichtung bezogenen Ausbreitungsklassen. In die hier verwendetenTurner-Ausbreitungsklassen gehen meteorologische Größen wie Windgeschwindigkeit,Gesamtbedeckung und die Höhe der Wolkenbasis der niedrigen Wolken, sowie dieastronomische Größe Sonnenhöhe ein. Kennt man also die erwähnten Größen, so istman in der Lage, die Ausbreitungsklassen und folglich die Streuparameter zu bestimmen.Diese Thematik wird in Kapitel (4) behandelt.Auf Details der Maul- und Klauenseuche wird in dieser Arbeit nur so weit eingegangen,wie dies zum unmittelbaren Verständnis der Ausbreitung von Bioaerosolenbzw. Viren notwendig ist. Informationen dazu sind in Kapitel (5) zu finden, für eineausführlichere Darstellung wird auf Schachner (2005) verwiesen.Für die Bestimmung der Ausbreitungsklassen ist die Kenntnis der Gesamtbedeckungund der relativen Luftfeuchtigkeit erforderlich. Wie die Gesamtbedeckungaus den Bedeckungen der einzelnen Wolkenschichten ermittelt und die Luftfeuchtigkeitauf Temperatur, Taupunkt und Luftdruck zurückgeführt wird, ist Gegenstandvon Kapitel (6).Der mathematische Teil wird durch Kapitel (7) mit der Behandlung der in dieserArbeit verwendeten statistischen Methoden abgeschlossen. Ausführlich behandeltwerden an dieser Stelle die Konzepte Korrelation, multiple Regression und Varianzanalysesowie die damit verbundenen Signifikanztests.Mit den zur Verwendung gekommenen Datensätzen und der Auswertung dieserDaten befasst sich Teil (III) dieser Arbeit.In Kapitel (8) befinden sich Informationen zu den freundlicherweise von AustroControl zur Verfügung gestellten Messwerten, zur Abhängigkeit der Ausbreitungsklassenvon den einzelnen meteorologischen Größen, sowie zur Relevanz der Höhe derWolkenbasis der niedrigen Wolken. Will man die Ausbreitung einer Substanz vorhersagen,so setzt dies die Prognose aller relevanten meteorologischen Größen voraus.Zwar sind Windgeschwindigkeit und Gesamtbedeckung in meteorologischen Vorhersagemodellenenthalten, die Höhe der Wolkenbasis der niedrigen Wolken wird in denoperationellen Modellen jedoch nicht bestimmt. Es gilt nun herauszufinden, wie starksich die Höhe der Wolkenuntergrenze auf die Ausbreitungsklassen auswirkt und gegebenenfallseine Methode zu finden, diese Größe auf andere vorhersagbare Größenmittels statistischer Methoden zurückzuführen. Um diese Frage zu beantworten, wur-

1. Übersicht 15den die Ausbreitungsklassen für sechs österreichische Städte für das Jahr 2004 inIntervallen von 30 Minuten, basierend auf Messwerten von Austro Control, berechnetund die Abhängigkeit von der Höhe der Wolkenbasis untersucht. Es wird gezeigt, dassdie Ausbreitungsklassen in den meisten Fällen von der Höhe der Wolkenuntergrenzegänzlich unabhängig sind und in den verbleibenden Fällen durch multiple Regressionaus Luftfeuchtigkeit und Gesamtbedeckung abgeschätzt werden können.Einer der Kernpunkte dieser Diplomarbeit ist die Untersuchung des Vorhersagefehlersder Risikodistanz bezüglich einer Infektion mit der durch den Picornavirusübertragenen Maul- und Klauenseuche (MKS). Unter dem Begriff Risikodistanz verstehtman dabei jenen Abstand von der Virenquelle, bis zu dem eine Infektion erfolgenkann. Gegenübergestellt werden die mit Hilfe eines Wettermodells vorhergesagten undtatsächlich auftretenden Distanzen von der Quelle, bei welcher die Virenkonzentrationauf einen für jede Tierart spezifischen Grenzwert abgenommen hat. Die Ergebnisseder Gegenüberstellung werden in Kapitel (9) vorgestellt.Das abschließende Kapitel (10) zieht einen Vergleich der mittels eines Gauß’schenund eines Lagrange’schen Ausbreitungsmodells bestimmten Risikogebiete für Rinder,Schafe und Schweine bei einem simulierten Ausbruch der Maul- und Klauenseuchebei räumlich homogenen und zeitlich konstanten Wind- und Turbulenzbedingungen.

16 1. Übersicht

Kapitel 2Überblick über dieAusbreitungsmodelle2.1 Definition und RückblickAusbreitungsmodelle haben das Ziel, die räumlichen und zeitlichen Konzentrationsverteilungenvon aus Quellen stammenden, mit dem Wind transportierten Gasen, Schadstoffen,nuklearen Partikel oder auch Viren, zu bestimmen. Die Geschichte der Ausbreitungsrechnungreicht bis in die frühen 20er Jahre des vergangenen Jahrhundertszurück, als britische Wissenschafter versuchten, die Ausbreitung chemischer Giftstoffebei militärischen Einsätzen abzuschätzen (McDonald 2003). Die ersten wegweisendentheoretischen Arbeiten zur Diffusion wurden von Taylor (1921) und die grundlegendenForschungen bezüglich der von der Stabilität abhängigen Dispersionsparametervon Gifford (1960), Pasquill (1961) und Turner (1994) durchgeführt.2.2 Die Rolle von Tracer-ExperimentenNeben den theoretischen Arbeiten zur Ausbreitung von Partikeln wurden immer wiederso genannte Tracer-Experimente durchgeführt. Dabei handelt es sich um eine kontrollierteEmission leicht detektierbarer Partikel wie beispielsweise Tetrachlorkohlenwasserstoff(CCl 4 ), welche sich mit dem Wind unter Einfluss der Turbulenz ausbreitenund die anschließende Bestimmung der räumlichen Konzentrationsverteilung am Bodenerlauben. Diese Experimente verfolgen dabei zwei unterschiedliche Ziele: einerseitswerden solche Experimente immer wieder herangezogen, um die Dispersionsparameterfür unterschiedliche meteorologische Bedingungen abzuschätzen und andererseitsum unterschiedlich parametrisierte Ausbreitungsmodelle zu validieren. Als Beispielfür die erste Anwendung kann das Tracer-Experiment vom KernforschungszentrumKarlsruhe (1969) erwähnt werden, Details dazu sind in Schachner (2005) zu finden.Zur Validierung eines Gauß’schen Ausbreitungsmodells mit zwei unterschiedlichen Parametrisierungender Dispersionsparameter wurde für die Simulation der Ausbreitung17

18 2.3 Gauß’sche und Lagrange’sche Ausbreitungsmodellevon Geruchsstoffen ein Tracer-Experiment mit dem Isotop Krypton-85 durchgeführt(Lung 2002). Auf die Ergebnisse dieses Freifeldversuchs wird in Abschnitt (3.3) nocheinmal eingegangen.Für die Behandlung der Ausbreitung von Partikeln sind zwei Komponenten vonBedeutung. Zum einen ist die Kenntnis des Grundstromes, zum anderen die der Turbulenz(Windfluktuation) notwendig. Informationen über den Grundstrom werdenvon diagnostischen oder prognostischen Modellen zur Verfügung gestellt, während dieTurbulenz, diese ist für die Ausbreitung senkrecht zum Grundstrom verantwortlich,parametrisiert werden muss.Die Kombination dieser beiden Konzepte in einem Ausbreitungsmodell unterscheidetdie Gauß’schen von den Lagrange’schen Ausbreitungsmodellen.2.3 Gauß’sche und Lagrange’sche AusbreitungsmodelleErstere beschreiben die Konzentrationsverteilungen als geschlossene Funktionen desOrtes und werden ausführlich in Abschnitt (3.1) behandelt. Als Eingangsparameterwerden abgesehen von den Quelldaten noch die Windgeschwindigkeit und die Windrichtung,sowie die Diffusionsparameter als Maß für die turbulente Diffusion lateralund vertikal zur Ausbreitungsrichtung benötigt. Dieses Modell hat den Vorteil, nichtsehr rechenintensiv zu sein, allerdings sind die Anwendungsgebiete auf homogene undstationäre Windfelder und auf eben gegliedertes Gelände beschränkt. Dennoch existierenAnsätze zur Verwendung modifizierter Gaußmodelle für gering ausgeprägteTopographien (Kolb 1981). Erstmals hergeleitet wurde das Gauß’sche Ausbreitungsmodellvon Sutton (1947).Den Gauß’schen Ausbreitungsmodellen stehen die Lagrange’schen Ausbreitungsmodellegegenüber. Bei Kenntnis der Grundströmung und der Windfluktuationen,diese können durchaus raum- und zeitabhängig sein, wird eine Reihe von Trajektoriensimuliert und von der Aufenthaltsdauer der Teilchen in den Zellen des dafür diskretisiertenRaumes auf die Konzentrationsverteilung geschlossen. Die Einschränkungender Gauß’schen Ausbreitungsmodelle werden von den Lagrange’schen Ausbreitungsmodellennicht geteilt. Komplexe Topographien, räumlich inhomogene und zeitlichevariable Wind- und Turbulenzfelder, also realitätsnahe Verhältnisse, lassen sich mitden Lagrange’schen Ausbreitungsmodellen handhaben. Auf die mathematische Formulierungund die Parametrisierung der Turbulenzgrößen wird ausführlich in Abschnitt(3.2.1) eingegangen.

2.4 Anwendungsgebiete von Ausbreitungsmodellen 192.3.1 Prognostische und diagnostische ModelleDie Berechnung der Grundströmung und teilweise auch der zur Parametrisierung derTurbulenz erforderlichen meteorologischen Parameter kann entweder mit Hilfe einesprognostischen oder eines diagnostischen Modells erfolgen.Von einem prognostischen numerischen Wettervorhersagemodell spricht man, wennvon einem atmosphärischen Anfangszustand ausgehend, die Gleichungen für die Erhaltungder Masse, der Energie und des Impulses fortlaufend integriert werden unddie nicht direkt erfassbaren subskaligen Phänomene parametrisiert werden. PrognostischeModelle können weiter in hydrostatische und nicht-hydrostatische Modelle unterschiedenwerden. Erstere gehen von einem Gleichgewicht zwischen der vertikalenDruckgradientkraft und der Gravitationskraft aus und vernachlässigen damit vertikaleBeschleunigungen, während diese bei letzteren mitberücksichtigt werden. Es liegtin der Natur der Sache, dass nicht-hydrostatische Modelle bezüglich des Rechenaufwandesaufwendiger sind. Sie werden erst seit kürzerer Zeit operationell gerechnet.Den prognostischen Modellen stehen die diagnostischen Modelle gegenüber. Diesesimulieren zeitlich konstante Gleichgewichtszustände und verfügen über zweierleiZugänge. Der erste führt über die Gleichgewichtslösungen der linearisierten Navier-Stokes Gleichungen (Jackson 1975), der zweite über die massenkonsistente Interpolationeines Initialwindfeldes unter Berücksichtigung der Topographie. Abhängig vomModell stammt das Initialwindfeld von unregelmäßig verteilten Beobachtungen (Bodenstationenund Radiosonden) oder von Vorhersagen an den Punkten eines Gittersmit geringerer Auflösung (Sherman 1978). Eine Methode zur massenkonsistenten Interpolationeines Windfeldes von einem gering auf ein hochauflösendes Gitter unterBerücksichtigung der Topographie wird z.B in Magnusson (2005) beschrieben.Sowohl bei prognostischen als auch bei diagnostischen Modellen liegt eine großeBandbreite an Komplexität vor. Die einfacheren sind nur auf ebenes und homogen gegliedertesGelände anwendbar, während die komplexeren auch bei einer nahezu beliebigstark ausgeprägten Topographie zu realistischen Resultaten führen. Eine ausführlicheAuflistung von prognostischen und diagnostischen Modellen mit Untergliederungenbezüglich der Hydrostasie und der Massenkonsistenz bzw. Linearität ist inFinardi et al. (1998) zu finden.2.4 Anwendungsgebiete von Ausbreitungsmodellen2.4.1 Ausbreitung von SchadstoffenEine sehr typische Anwendung von Ausbreitungsmodellen ist nach wie vor in der Bestimmungder Konzentrationsverteilung von Schadstoffen aus der Industrie gegeben.Als Beispiel dafür kann eine 2003 in Mittelitalien nahe Rom in einer mäßig ausgeprägtenTopographie durchgeführte Fallstudie erwähnt werden (Gariazzo 2004). Das

20 2.4 Anwendungsgebiete von AusbreitungsmodellenHauptaugenmerk wurde auf die Emissionen einer Zementfabrik gelegt, welche vonden Anreinergemeinden als belastend empfunden wurden. Diese Belastung konntemit Hilfe von Gauß’schen Ausbreitungsmodellen bislang aber nicht verifiziert werden.Das hier zur Anwendung gekommene Modellpaket setzt sich aus drei Komponentenzusammen:• Mit dem massenkonsistenten meteorologischen Modell Minerve wurden die Felderdes mittleren 3D-Windes sowie der Temperatur bestimmt.• Das Paket Surfpro ermittelte aus den meteorologischen Eingangsdaten am Bodensowie den Parametern Albedo, Bowen-Ratio und der Rauhigkeitslänge überdie Zwischenstufe Schubspannungsgeschwindigkeit, Monin-Obukhovs-Länge,Höhe der Grenzschicht und vertikale konvektive Geschwindigkeit die für dasLagrange’sche Partikelmodell notwendigen turbulenten Windfluktuationen.• Das von Minerve berechnete mittlere Windfeld und die von Surfpro bestimmtenturbulenten Windfluktuationen gehen in das Lagrange’sche PartikelmodellSpray ein.Ein Vergleich der gemessenen mit den berechneten SO 2 − undNO x −Konzentrationen ergab laut Autoren eine sehr gute Übereinstimmung.2.4.2 Ausbreitung von GeruchsstoffenEine Prognose der Verteilung von Geruchsstoffen kann nicht nur in Genehmigungsverfahrenfür die Neuansiedlung von Betrieben erforderlich sein, sondern spielt in Ausnahmefällenauch für zivilrechtliche Prozesse eine Rolle. Lung (2002) führte im Jahr2000 mehrere Freifeldversuche mit dem Odiermittel Tetrahydrothiophen unter kontrolliertenBedingungen (punktförmige Quellen, zeitlich konstant emittierende Quellen,konstante Emissionshöhen, ebenes Terrain und definierte meteorologische Bedingungen)durch und setzte zusätzlich zu diesem Geruchsstoff den Tracer Krypton-85 frei. InAbständen von 20, 50 und 100 m innerhalb eines Öffnungswinkels von α = 60 ◦ stromabwärtsvon der Quelle wurden Zählrohre zur Detektion des radioaktiven Isotopsaufgestellt. Zusätzlich wurden in Abständen von 100 m Probanden für die Geruchswahrnehmungpositioniert. Diese Feld- bzw. Tracer-Versuche verfolgten zwei Ziele: einerseitswurde der Zusammenhang zwischen einer Mindestkonzentration des radioaktivenTracers Krypton-85 und der Wahrnehmungsschwelle des Odiermittels Tetrahydrothiophenuntersucht und zweitens die gemessenen Tracer-Konzentrationen mit denErgebnissen eines Gauß’schen Ausbreitungsmodells mit zwei unterschiedlichen Parametrisierungender Diffusionsparameter verglichen. Bezüglich der ersten Zielstellungkonnte punktuell eine gute Übereinstimmung zwischen der Wahrnehmungsschwelledes Geruchsstoffes und einer von den Zählrohren detektierten Mindestkonzentrationfestgestellt werden, für ein abschließendes Urteil sind jedoch weitere Feldstudiennotwendig. Auf die Übereinstimmung der gemessenen Konzentrationsverteilungen desTracers und den Modellergebnissen wird im Abschnitt (3.3) eingegangen.

2.4 Anwendungsgebiete von Ausbreitungsmodellen 212.4.3 Ausbreitung von Bioaerosolen (Viren)Die Anwendung der Ausbreitungsmodelle auf Bioaerosole, im Speziellen auf Viren,stellt im Vergleich zu jener auf industrielle Schadstoffe nur einen kleinen Prozentsatzdar, besitzt aber dennoch eine sehr hohe Relevanz. Kommt es zum Ausbruch vonbestimmten Tierseuchen, so kann die Simulation der Ausbreitung mit entsprechenden,darauf aufsetzenden Gegenmaßnahmen wirtschaftliche Schäden von mehrerenMrd. Euro verhindern. Als Beispiel sei hier die von Schachner (2005) beschriebeneMKS-Echtzeitübung Picorna erwähnt, die theoretischen Vorarbeiten dazu wurdenvon Rubel and Fuchs (2005) geleistet. Dabei handelt es sich um die im Jahr 2004in der Steiermark und im Burgenland durchgeführte Simulation einer Ausbreitungvon Maul- und Klauenseuche-Viren mit Hilfe eines Gauß’schen Ausbreitungsmodells.Als Eingangsdaten dienten einerseits die Koordinaten der Tierhaltungsbetriebe mitder Anzahl der Schweine, Schafe und Rinder und andererseits meteorologische Gitterpunktsdaten.Letztere setzen sich aus dem vom Deutschen Wetterdienst (DWD)prognostizierten mittleren Windfeld, den für die Parametrisierung der Dispersionsparameternotwendigen Größen Einstrahlung, Bedeckung und Windgeschwindigkeitsowie den, das Überleben der Viren beeinflussenden Parameter Temperatur, Niederschlagund Feuchte zusammen. Bestimmt wurden die für die erwähnten Tiere unterschiedlichenRisikogebiete innerhalb eines Umkreises mit einem Radius von 3 bzw.10 km um die Infektionsquelle. Im Ernstfall müssten die betroffenen Tiere innerhalbdieses Gebietes zur Verhinderung der weiteren Ausbreitung der Seuche gekeult werden.

22 2.4 Anwendungsgebiete von Ausbreitungsmodellen

Teil IITheorie23

Kapitel 3Mathematische Grundlagen derAusbreitungsmodelle3.1 Das Gauß’sche AusbreitungsmodellAn dieser Stelle soll die räumliche Konzentrationsverteilung einer kontinuierlich emittierendenPunktquelle für den stationären Fall hergeleitet werden. Der transparentesteWeg führt dabei über die momentan emittierende Punktquelle für eine eindimensionale,aber leicht erweiterbare Konfiguration. Die Aufstellung der partiellen parabolischenDifferentialgleichung lehnt sich an die Abhandlung dieser Thematik in Etling (2002),die Lösung derselben an die Ausführungen bezüglich der Lösung der mit der Diffusionsgleichungverwandten Wärmeleitungsgleichung in Kluge (1994).Die Konzentration c einer Substanz kann sich zeitlich nur ändern, wenn eine Quelleoder Senke P c für diese Substanz vorhanden ist, so lautet die Aussage der Transportgleichung:dcdt = P c (3.1)Durch Anwenden des Euler-Operators auf die totale Zeitableitung, die Aufspaltungder Variablen in Mittelwerte und Abweichungen davon sowie durch anschließendeMittelung resultiert aus Gleichung (3.1):∂¯c∂t + ū ∂¯ck = − ∂u′ k c′+∂x k ∂x ¯P c (3.2)kDer Index k bezeichnet die einzelnen räumlichen Koordinaten. Bei u ′ k c′ handelt essich um den turbulenten Transport, also um den Transport der Fluktuation der Konzentrationc ′ mit der Schwankung der Geschwindigkeit u ′ . Der turbulente Transportist nicht messbar, daher versucht man diesen auf bekannte und messbare Größen,also Mittelwerte, zurückzuführen. Da der turbulente Transport dem Gradienten der25

26 3.1 Das Gauß’sche AusbreitungsmodellKonzentration proportional ist, diesem aber zwecks Ausgleich entgegenwirkt, bietetsich folgender Schließungsansatz an:u ′ k c′ = −K c,k∂¯c∂x k(3.3)Dabei wird K c,k als Diffusionskoeffizient der Konzentration c für die Richtung x kbezeichnet.Vollständig bezüglich aller Komponenten ausgeschrieben, ergibt sich mit demSchließungsansatz (3.3) für die Transportgleichung (3.2):∂¯c∂t + ū ∂¯c ∂¯c ∂¯c+ ¯v + ¯w∂x ∂y ∂z = ∂∂x K ∂¯cx∂x + ∂ ∂y K ∂¯cy∂y + ∂ ∂z K ∂¯cz∂z + ¯P c (3.4)Für die weiteren Betrachtungen sollen nun einige Annahmen getroffen werden:• Die Ausbreitung wird in einem mit der Grundströmung mitbewegten Koordinatensystembetrachtet, sodass ū = ¯v = ¯w = 0 gesetzt werden kann.• Die turbulenten Diffusionskoeffizienten sind räumlich homogen, es gilt also∂K x /∂x = ∂K y /∂y = ∂K z /∂z = 0.• Während der Ausbreitung existieren keine weiteren Quellen oder Senken für dieSubstanz, was sich mathematisch mit P c = 0 ausdrücken lässt.Mit diesen drei Voraussetzungen modifiziert sich die Transport- bzw. Diffusionsgleichung(3.4) zu:∂¯c∂t = K ∂ 2¯cx∂x + K ∂ 2¯c2 y∂y + K ∂ 2¯c2 z(3.5)∂z 2Aus Gründen der Übersicht soll nun von Gleichung (3.5) nur eine räumliche Dimensionbetrachtet werden. Da die Lösung über den Weg der Trennung der Variablenmittels Produktansatz beschritten werden kann und alle räumlichen Richtungen aufdieselbe Weise behandelt werden können, kann die eindimensionale Lösung sofort aufdrei Dimensionen ausgedehnt werden. Zu lösen ist also folgende partielle Differentialgleichung:∂¯c∂t = K ∂ 2¯cx(3.6)∂x 2Die Lösung ¯c(t, x) lässt sich allgemein mit Hilfe des Separationsansatzes in der Form¯c(t, x) = A(t) B(x) (3.7)

3.1 Das Gauß’sche Ausbreitungsmodell 27ausdrücken, wobei die Funktionen A und B noch spezifiziert werden müssen. Einsetzendieses Ansatzes in Gleichung (3.6) führt zu:∂A(t)∂tTrennung der Funktionen A und B führt weiter zu:B(x) = K x A(t) ∂2 B(x)∂x 2 (3.8)1 1 ∂A(t)K x A(t) ∂t= 1 ∂ 2 B(x)(3.9)B(x) ∂x 2Da links ein nur von der Zeit t abhängiger Ausdruck steht, rechts hingegen nur eineAbhängigkeit von der räumlichen Koordinate x vorliegt, muss es sich auf beiden Seitender Gleichung um eine Konstante λ 2 handeln. Das Quadrat ist willkürlich, verhindertbei der weiteren Herleitung jedoch unnötige Wurzelausdrücke. Gleichung (3.9) lässtsich damit in zwei Differentialgleichungen für je eine der Variablen A und B zerlegen:1 ∂A(t)A(t) ∂t= K x λ 2 (3.10)1 ∂ 2 B(x)= λ 2 (3.11)B(x) ∂x 2Während die Differentialgleichung (3.10) mit Hilfe der Trennung der Variablen A undt und anschließender Integration gelöst werden kann, also:1 ∂A(t)= K x λ 2A(t) ∂t∂ log A(t) = K x λ 2 ∂t∫∫∂ log A(t) = K x λ 2 ∂tlog A(t) = C 1 K x λ 2 tA(t) = e C 1 K x λ 2 tA(t) = C 2 e Kx λ2 t(3.12)gelangt man bei der Differentialgleichung (3.11) mit dem Exponentialansatz B(x) =C 3 e κ x am einfachsten zur Lösung:1 ∂ 2 B(x)− λ 2B(x) ∂x 2 = 0∂ 2 B(x)− B(x) λ 2∂x 2 = 0κ 2 C 3 e κ x − λ 2 C 3 e κ x = 0κ 2 − λ 2 = 0κ = ±λ (3.13)

28 3.1 Das Gauß’sche AusbreitungsmodellDa λ beliebig ist, genügt die Verwendung des positiven Vorzeichens. Damit lautet dieLösung für Gleichung (3.11):B(x) = C 3 e λ x (3.14)Durch Einsetzen der Resultate (3.12) und (3.14) in den Separationsansatz (3.7) unddurch die Substitution C 2 C 3 = C lautet die allgemeine Lösung der eindimensionalenDiffusionsgleichung (3.6):¯c(t, x) = C e Kx λ2 t+λ x(3.15)Die Lösung (3.15) ist jedoch nicht mit allen beliebigen Anfangsbedingungen Θ(x) =¯c(0, x) kompatibel. Da es sich bei der Diffusionsgleichung um eine lineare Differentialgleichunghandelt, kann man sich das Superpositionsprinzip zunutze machen, wonachdie Summe zweier Lösungen (mit unterschiedlichen Separationskonstanten λ) selbstwieder eine Lösung darstellt:¯c(t, x) = ∑ iC i e Kx λ2 i t+λ i x(3.16)Die Verallgemeinerung von Gleichung (3.16) lässt sich durch den Übergang der Summationauf die Integration erreichen:∫¯c(t, x) =C(λ) e Kx λ2 t+λ x dλ (3.17)In der vorangegangenen Gleichung stellt C(λ) eine beliebige Funktion von λ dar.Für die Anfangsverteilung der Konzentration soll angenommen werden, dass diesemit zunehmendem Abstand vom Maximum hinreichend schnell auf Null abfällt, sodassdiese als Fourier-Integral mit der entsprechenden Rücktransformation dargestelltwerden kann:Θ(x) =∫+∞−∞ϑ(k) e i k x dk (3.18) ϑ(k) = 1 ∫2 π+∞−∞Θ(x ′ ) e −i k x′ dx ′ (3.19)Dabei handelt es sich bei k nicht mehr um die räumliche Koordinate sondern um dieräumliche Wellenzahl. Stellt man das Fourier-Integral (3.18) der Superposition (3.17)zum Zeitpunkt t = 0 gegenüber,¯c(0, x) = Θ(x)∫C(λ) e λ x dλ =∫+∞ϑ(k) e i k x dk (3.20)−∞

3.1 Das Gauß’sche Ausbreitungsmodell 29so kann man bei entsprechender Wahl des Integrationsweges folgende Identifizierungenvornehmen:λ = i k, i C(i k) = ϑ(k) (3.21)Einsetzen der Beziehungen (3.21) in die Superposition (3.17) unter Berücksichtigungder Fourier-Rücktransformation (3.19) führt zu:¯c(t, x) = 1 ∫2 π+∞−∞∫dx ′ +∞−∞Θ(x ′ ) e −i k(x′ −x)−K x k 2 t dk (3.22)In der Beziehung für die Konzentrationsverteilung ¯c tritt noch das Integral über dieWellenzahl k auf. Mit Hilfe der Umformung des Exponenten von Gleichung (3.22) inForm von() 2−i k(x ′ − x) − K x k 2 t = −K x t k + i(x′ − x)− (x′ − x) 22 K x t 4 K x tund der folgenden Substitution(3.23)ζ = k + i(x′ − x)2 K x t(3.24)schreibt sich das Integral über die Wellenzahl k aus Gleichung (3.22) als∫+∞−∞e −i k(x′ −x)−K x k 2 t dk = e − (x′ −x) 24 Kx t∫+∞−∞e −Kx t ζ2 dζ (3.25)Unter Berücksichtigung von∫+∞−∞ergibt sich für das Integral aus Gleichung (3.25):∫+∞−∞e −i k(x′ −x)−K x k 2 t dk =e −ζ2 dζ = √ π (3.26)√ πK x t e− (x′ −x) 24 Kx t (3.27)Das Anfangswertproblem der eindimensionalen Diffusionsgleichung schreibt sich durch

30 3.1 Das Gauß’sche AusbreitungsmodellEinsetzen von Gleichung (3.27) in Gleichung (3.22) wie folgt:¯c(t, x) =1√ 4 π Kx t∫+∞Θ(x ′ ) e − (x′ −x) 24 Kx t dx′(3.28)−∞c0< 6 5 4 21 30x 0 - l 0x 0 + l 0x 0 x 0 + l(3.29)Für eine, um x 0 zentrierte Linienquelle mit der Länge ∆x = 2 l resultiert für dieDiffusionsgleichung (3.28):¯c(t, x) =1√ 4 π Kx tx∫0 +lx 0 −lQ2 l e− (x′ −x) 24 Kx t dx′(3.30)Für die von einer Punktquelle verursachte Konzentrationsverteilung muss in Gleichung(3.30) lediglich der Grenzübergang von l nach Null vollzogen werden. Benutztwird dabei der Mittelwertsatz der Integralrechnung, wonach das Integral als Produktdes Integrationsweges und des Integranden an der geeigneten Stelle aufgefasst werden

3.1 Das Gauß’sche Ausbreitungsmodell 31kann. Geht nun der Integrationsweg ∆x = 2 l gegen Null, so liegt diese repräsentativeStelle bei x 0 . Für die eindimensionale Diffusionsgleichung mit einer Punktquelleresultiert nun insgesamt:¯c(t, x) =1√ 4 π Kx t limx∫0 +ll→0x 0 −lQ2 l e− (x′ −x) 24 Kx t dx ′ =Q√ 4 π Kx t e− (x 0 −x)24 Kx t (3.31)Durch Erweiterung des Produktansatzes (3.7) auf die beiden anderen Raumkoordinateny und z modifiziert sich Gleichung (3.31) unter der Annahme, dass die Koordinatender Quelle (x 0 , y 0 , z 0 ) lauten, zu:¯c(t, x, y, z) =Qexp[− √(4 (x 0 − x) 2− (y 0 − y) 2− (z ]0 − z) 2π t) 3 4 KK x K y K x t 4 K y t 4 K z tz(3.32)Im Falle einer kontinuierlichen Punktquelle ist es unbedingt erforderlich, eine Grundströmungū ≠ 0 zuzulassen. Anderenfalls würde die Konzentration am Ort der Quelleins Unendliche ansteigen. Interessant ist bei Betrachtung einer kontinuierlichen Punktquelleder stationäre Fall. Zu diesem Zwecke wird die Transformationt = x ū ∂¯c∂t ⇒ ū ∂¯c∂x(3.33)durchgeführt. Als weitere Annahme wird für die Ausbreitung in x−Richtung die Dominanzdes Transportes durch die Grundströmung gegenüber des Transportes durchDiffusion getroffen, wodurch in Gleichung (3.32) der Exponentialterm mit K x undunter der Wurzel auf der linken Seite der Ausdruck 4 π t K x wegfallen. Damit und mitGleichung (3.33) modifiziert sich die Transportgleichung (3.32) zu:ū ¯c(x, y, z) =[ū Q4 π x √ exp − ū ( (y0 − y) 2− (z )]0 − z) 2K y K z 4 x K y K z(3.34)Durch Division durch ū auf beiden Seiten von Gleichung (3.34) und der Verschiebungdes Koordinatensystems derart, dass sich die Punktquelle an der Position (0,0,h)befindet, gelangt man weiter zu:¯c(x, y, z) =[Q4π x √ exp − ū ( )]y2(z − h)2+K y K z 4x K y K z(3.35)Gleichung (3.35) besitzt die Struktur einer Gauß’schen Normalverteilung, was durchfolgende Transformation deutlicher erkennbar wird:

32 3.1 Das Gauß’sche Ausbreitungsmodellσ y =√2K yxū(3.36) σ z =√2K zxū(3.37)Setzt man nun die Transformationen (3.36) und (3.37) in die Transportgleichung(3.35) ein und berücksichtigt noch zusätzlich, dass die Substanz von der Erdoberflächereflektiert wird in Form einer virtuellen Punktquelle mit den Koordinaten (0,0,-h), sogelangt man schließlich zu folgendem Resultat:¯c(x, y, z) =) [Q2π x √ exp(− y2exp(−σ y σ z 2σy2)(z − h)2+ exp(−2σz2)](z + h)22σz2 (3.38)Die Verwendung des Gauß’schen Ausbreitungsmodells ist an folgende Voraussetzungengebunden (Zenger 1998):• Es müssen kontinuierliche Emissionen vorliegen.• Die untersuchten Abstandsbereiche sollen in einem Bereich zwischen ca. 100 mund einigen km liegen.• Das Gelände soll möglichst eben bzw. darf nur wenig gegliedert sein.• Es dürfen keine lokalen Windfelder dominieren, es soll also räumliche Homogenitätvorliegen.• Windschwache Wetterlagen sowie Situationen mit großen Windscherungen wieetwa bei Frontdurchgängen müssen ausgeklammert werden.• Die Ergebnisse sind nur als Mittelwerte über eine Vielzahl vergleichbarer Ereignisseinterpretierbar. Genaugenommen sind daher Gauß’sche Ausbreitungsmodellenicht auf Einzelereignisse anwendbar und daher für die Simulation derAusbreitung von MKS ungeeignet.3.1.1 Parametrisierung der DiffusionsparameterDie Diffusionsparameter aus den Gleichungen (3.36) und (3.37) werden in der Praxisnicht aus den schwer erfassbaren Diffusionskoeffizienten K xi ermittelt, sondern nacheinem Vorschlag von Turner (1964) und Pasquill (1971) als Funktionen der Diffusionszeitt = x/ū und einiger relevanten meteorologischen Variablen in Form von empirischenFormeln dargestellt. Die meteorologischen Größen gehen dabei nicht direkt,sondern über den Umweg von so genannten die Diffusionsfähigkeit der Atmosphärebeschreibenden Ausbreitungsklassen ein (Turner 1964).

3.1 Das Gauß’sche Ausbreitungsmodell 33Abb. 3.2: Isoflächen der 5 µg/m 3 Konzentration von SO 2 für die Ausbreitungsklassen labil(links oben), neutral (rechts oben), mäßig stabil (links unten) und stark stabil(rechts unten). Es ist deutlich zu erkennen, dass sich bei Zunahme der Stabilitätdie Schadstofffahne horizontal weiträumiger ausbreitet, während die Belastungam Boden abnimmt. Man beachte die unterschiedlichen Skalierungen der beidenhorizontalen Achsen.

34 3.1 Das Gauß’sche AusbreitungsmodellAbb. 3.3: Darstellung der Schadstoffkonzentration von SO 2 in den zu den Koordinatenachsensenkrechten Schnittebenen. Auch hier erkennt man einerseits den weiträumigenhorizontalen Transport bei stabiler Schichtung und andererseits die hoheSchadstoffkonzentration am Boden in Quellnähe bei labiler Schichtung. Manbeachte wieder die unterschiedlichen Achsenskalierungen sowie die einheitlicheDarstellung von Konzentrationen von über 20 µg/m 3 mit derselben Farbe.

3.1 Das Gauß’sche Ausbreitungsmodell 35Ausbreitungsklassen Atm. Schichtung A α B β2 labil 0.086 1.456 1.270 0.9003 leicht labil 0.834 0.889 1.105 0.8684 neutral 0.900 0.762 1.067 0.8355 leicht stabil 0.640 0.699 0.943 0.7966 mäßig stabil 0.737 0.566 0.504 0.7997 stark stabil 0.316 0.500 0.458 0.728Tab. 3.1: Parameter des Potenzansatzes (3.39) bzw. (3.40) für die unterschiedlichen Ausbreitungsklassen( x) β( x) ασ y = B(3.39) σ z = A(3.40)ūūDie Parameter A, B, α und β sind nun von der Stabilität der Atmosphäre bezüglichder Diffusion abhängig. In dieser Arbeit werden die vom Österreichischen Norminstitutim Rahmen der Berechnungsgrundlage für die Ausbreitungsabschätzungenvon luftverunreinigenden Stoffen in der Atmosphäre festgelegten Werte verwendet(Österreichisches Norminstitut (ON) 1992). Dieses Klassifikationsschema geht auf Arbeitenvon Reuter (1970) zurück und ist in Tab. (3.1) aufgelistet.Um die Auswirkungen der unterschiedlichen Streuparameter auf die Schadstoffausbreitungzu veranschaulichen, ist in Abb. (3.2) die Ausbreitung von SO 2 für vier unterschiedlicheAusbreitungsklassen dargestellt. Zu sehen ist die Isofläche der 5 µ g/m 3Konzentration von SO 2 bei einer Emission von Q = 2 g/(m 3 s) aus einer Höhe vonh = 100 m. Der mittlere Wind wurde mit ū = 2 m/s in x−Richtung angenommen.Der selbe Sachverhalt ist in Abb. (3.3) in Form von Konturflächen auf den zu denKoordinatenachsen senkrechten Schnittebenen dargestellt.Neben den einfachen Potenzansätzen (3.39) und (3.40) existieren weitere Vorschlägefür die Parametrisierung der Diffusionsparameter σ y und σ z . Ein vonBriggs (1973) vorgeschlagener Ansatz ist von folgender Form:σ y,z = m x (1 + n x) p (3.41)Die Werte von m, n und p sind für die nach Pasquill-Gillford-Turner definierten Ausbreitungsklassenfür offenes und urbanes Gelände in Carrascal (1993) tabelliert.Ein weiterer Ansatz für den lateralen Diffusionsparameter σ y stammt vonCramer (1979):σ y = m x tan [n (a − b ln x)] (3.42)Eine Auflistung der Parameter a, b, m und n ist ebenfalls in Carrascal (1993) zufinden.

3.2 Das Lagrange’sche Partikelmodell 37des für die Auswertung diskretisierten Raumes:( ∆x∆t ≤ minu , ∆yv , ∆z )w(3.45)Die Geschwindigkeit v(t) setzt sich aus der vorgegebenen Grundströmung ¯v und einemturbulenten Anteil v ′ zusammen:v n = ¯v n + v ′ n (3.46)Die turbulente Komponente v ′ wird durch einen Zufallsprozess realisiert, berücksichtigtjedoch auch die Trägheit der Materie. Bewegt sich ein Partikel zu einer gegebenenZeit in eine bestimmte Richtung, so kann sich dieses im nächsten Zeitschritt nichtetwa in die Gegenrichtung bewegen - sieht man von Stoßvorgängen einmal ab. Diesem,der Trägheit entsprechenden ”Erinnerungsvermögen“ wird durch die Einführungder Lagrange’schen Autokorrelationsfunktion Rv(∆t) Rechnung getragen. Es handeltsich dabei um einen Gewichtungsfaktor der turbulenten Geschwindigkeit des vorangegangenenZeitschrittes. Die eigentliche, mit der turbulenten Geschwindigkeit frühererZeitpunkte unkorrelierten Geschwindigkeitsfluktuation wird mit v ′′ n bezeichnet. Gleichung(3.46) erweitert sich dadurch zuv n = ¯v n + Rv(∆t)v n−1 + v ′′ n (3.47)Die Abfolge der Werte von v n stellt aufgrund der ausschließlichen Abhängigkeit desaktuellen Wertes vom direkt vorangegangenen Wert eine Markov-Kette erster Ordnungdar. Für die Lagrange’sche Autokorrelationsfunktion wird in der Regel ein in derZeit exponentiell abfallender Ansatz gewählt. Damit ist ein, zur dazwischen liegendenZeit proportionales Abklingen des Einflusses des aktuellen Bewegungszustandes aufdie weiteren gewährleistet. Das Ausmaß der ”Erinnerung des Systems“ wird durchdie Lagrange’sche Zeitskala T bestimmt:(R vi (∆t) ≃ exp − ∆t )T vi(3.48)Der Index v i bezieht sich auf die betrachtete Geschwindigkeitskomponente und berücksichtigteine mögliche räumliche Anisotropie der Ausbreitung in horizontaler und vertikalerRichtung.Gleichung (3.48) stellt nicht den einzigen Ansatz für die Lagrange’sche Autokorrelationsfunktiondar. Eine dazu sehr ähnliche Formulierung wird von Frenkiel (2002)verwendet:(R vi (∆ t) = exp − π )(∆t) 24 Tv 2 i(3.49)

3.2 Das Lagrange’sche Partikelmodell 39Der Faktor τ ij bezeichnet die Aufenthaltsdauer des j. Partikels in der i. Zelle.3.2.1 Die Parametrisierung der TurbulenzgrößenIn diesem Abschnitt werden die wichtigsten Ansätze für die Parametrisierung der Turbulenzgrößen(Windfluktuationen σ vi und Lagrange’sche Zeitskalen T vi ) behandelt.Für die Parametrisierung der Windfluktuationen σ vi in der atmosphärischenGrenzschicht wird meist zwischen labilen und neutralen Bedingungen einerseits undstabilen Bedingungen andererseits unterschieden. Zurückgeführt werden diese Fluktuationenauf die Schubspannungsgeschwindigkeit u ∗ , die konvektive Skalengeschwindigkeitw ∗ , teilweise auf die Höhe h der Grenzschicht und die geometrische Höhe züber dem Grund.Für eine labile bzw. neutrale Grenzschicht ist folgender Ansatzund für stabile Verhältnisse der Ansatzσ vi = [(a vi u ∗ ) n + (b vi w ∗ ) n ] 1 n(3.58)σ vi = a vi u ∗ (3.59)weit verbreitet. Die Parameter a vi und b vi variieren von Autor zu Autor, eine Auswahldavon befindet sich in Kerschgens (2000), wo auch folgende Parametrisierungenvorgeschlagen werden. Für eine neutrale oder labile Grenzschicht wird der Ansatzσ u =σ v =σ w =[ (2.4 )u∗ e − z 3h + (0.59 w∗ ) 3] 1 3[ (1.8 )u∗ e − z 3h + (0.59 w∗ ) 3] 1 3[ ((1.3 )u∗ e − z 3( z 3h + 1.3h)1 ( 1 − 0.8 z ) ) 3] 13w ∗h(3.60)(3.61)(3.62)und für eine stabile Grenzschicht diese Parametrisierung empfohlen:σ u = 2.4 u ∗ e − z h (3.63)σ v = 1.8 u ∗ e − z h (3.64)σ w = 1.3 u ∗ e − z h (3.65)Formal ist die Lagrange’sche Zeitskala T vi als Zeitintegral über die Lagrange’scheAutokorrelationsfunktion R vi definiert (Gifford 1987):∫ ∞T vi = R vi (t) dt (3.66)0

40 3.2 Das Lagrange’sche PartikelmodellAllerdings wird für die Berechnung der Lagrange’schen Autokorrelationsfunktion wiederumdie Lagrange’sche Zeitskala T vi selbst verwendet, weswegen ebenfalls Parametrisierungenvorgenommen werden müssen. Ein verbreiteter Typus dieser Parametrisierungenist von folgender Gestalt:hT vi = c vi(3.67)σ viDie Werte für c vi variieren stark zwischen den Autoren und sind für die unterschiedlichenStabilitätsklassen in Kerschgens (2000) aufgelistet. Als Beispiel können hier dieVorschläge von Hanna für labile und neutrale Bedingungen einerseits und für stabileBedingungen andererseits angeführt werden. Für labile und neutrale Grenzschichtenschlägt Hanna (1981) vor:T u = 0.17 h σ u(3.68)T v = 0.17 h σ v(3.69)T w = 0.17 hσ w(3.70)und für eine stabile Grenzschicht lautet die Parametrisierung nach Hanna (1981):T u = 0.15T v = 0.07T w = 0.10( z) 0.5 h(3.71)h σ u( z) 0.5 h(3.72)h σ v( z) 0.8 h(3.73)h σ wDabei ist h die Höhe der Grenzschicht und z die betrachtete Höhe über dem Grund.

3.3 Zusammenhang zwischen den beiden Modellen 413.3 Zusammenhang zwischen den Gauß’schen undLagrange’schen AusbreitungsmodellenFür den Fall, dass alle Voraussetzungen für die Anwendbarkeit des Gauß’schen Ausbreitungsmodellsgegeben sind, stellt sich die Frage nach den Zusammenhängen zwischenden Diffusionsparametern σ x , σ y und σ z beim Gauß’schen und den Windfluktuationenσ u , σ v und σ w sowie den Lagrange’schen Zeitskalen T u , T v und T w beimLagrange’schen Ausbreitungsmodell.Einen Zusammenhang zwischen diesen erwähnten Größen konnte Taylor (1921)herleiten. Das später nach ihm benannte Theorem lautet:∫ t ∫ t′σx(t) 2 = 2 σu2 R u (ζ) dζ dt ′ (3.74)0 0∫ t ∫ t′σy(t) 2 = 2 σv2 R v (ζ) dζ dt ′ (3.75)0 0∫ t ∫ t′σz(t) 2 = 2 σw2 R w (ζ) dζ dt ′ (3.76)00Legt man der Lagrange’schen Autokorrelationsfunktion R vi (ζ) die Annahme (3.48)zugrunde, so resultiert für die inneren Integrale der Gleichungen (3.74) bis (3.76) miti = 1, 2, 3:∫ t′0R vi (ζ) dζ =∫ t′0(exp − ζ )dζ = −T viT vi(exp − ζ )∣ ∣∣∣t ′) ]= −T vi[exp(− t′− 1T vi 0T vi(3.77)Anwendung des äußeren Integrals aus (3.74) bis (3.76) auf Gleichung (3.77) führt zu:−∫ t0) ])T vi[exp(− t′− 1 dt ′ = Tv 2 T i[exp(− t′+ t′vi T vi] tT vi 0= Tv 2 i( [exp − t )− 1 +T vit ]T vi(3.78)

42 3.3 Zusammenhang zwischen den beiden ModellenEingesetzt in die Gleichungen (3.74), (3.75) und (3.76) folgt für die Streuungen σ i miti = 1, 2, 3:(σx 2 i(t) = 2 σv 2 iTv 2 i[exp − t )− 1 +t ](3.79)T vi T viDie vorangegangene Gleichung besitzt zwei Spezialfälle, nämlich t ≪ T vi und t ≫ T vi .Beide Fälle führen zu einer Vereinfachung von Gleichung (3.79). Für den ersten Falllässt sich die Exponentialfunktion dank des kleinen Arguments in eine Taylorreiheentwickeln. Bricht man die Reihe nach dem quadratischen Glied ab(exp − t )≈ 1 −T vit + 1 ( ) 2 t+ OT vi 2 T vi( [ tT vi] 3), (3.80)so folgt durch Einsetzen in Gleichung (3.79):[σx 2 i(t) ∼ = 2 σv 2 iTv 2 i1 − t + 1 ( ) ]2 t− 1 +t = σv 2 T vi 2 T vi T it 2 (3.81)viNahe der Quelle bzw. für vergleichsweise kurze Diffusionszeiten kommt es also zu einerin der Zeit linearen Zunahme des Diffusionsparameters σ xi .Im umgekehrten Fall, also wenn t ≫ T vi gilt, so kann die Exponentialfunktion inGleichung (3.79) gegenüber den anderen Termen vernachlässigt werden:[σx 2 i(t) ∼ = 2 σv 2 iTv 2 i−1 +t ]= 2 σv 2 T iT vi [t − T vi ] ∼ = 2 σv 2 iT vi t (3.82)viAls weitere Näherung wurde T vi gegenüber t vernachlässigt. In großer Entfernung vonder Quelle besitzt der Diffusionsprozess ein zu √ t proportionales zeitliches Verhalten.Vergleicht man nun den Ansatz für die Diffusionsparameter nach Turner aus denGleichungen (3.39) und (3.40) mit den Approximationen (3.81) und (3.82), so folgtstellvertretend für die y− Komponente für den Exponent β und die beiden zeitlichenSpezialfälle t ≪ T vi und t ≫ T vi :t ≪ T v : σ 2 y(t) = B 2 t 2 β = σ 2 v t 2 β = 1 (3.83)t ≫ T v : σ 2 y(t) = B 2 t 2 β = 2 σ 2 v T v t β = 0.5 (3.84)Aus dem Vergleich der beiden Ansätze (Turner und Taylor) folgt die Zeitabhängigkeitder in Tab. (3.1) für unterschiedliche Ausbreitungsklassen aufgelisteten Exponenten.Will man die Ergebnisse des Lagrange’schen Ausbreitungsmodells für homogeneWind- und Turbulenzverhältnisse über ebenem Terrain reproduzieren, so ist dies beiKenntnis der Lagrange’schen Zeitskala T vi und den Windfluktuationen σ vi mit Hilfevon Gleichung (3.79) problemlos möglich.

3.3 Zusammenhang zwischen den beiden Modellen 43Im umgekehrten Fall bei Vorgabe von σ y (t) oder der Parameter B und β ist esnicht möglich, die zeitlich konstanten Parameter T v und σ v zu bestimmen. Dies wirdsofort klar, wenn man die Ansätze nach Turner (3.39) und Taylor (3.79) gleichsetzt:B 2 t 2 β = 2 σ 2 v T 2 v[exp(− tT v)− 1 + tT v](3.85)Dieses Problem besitzt zwei Wurzeln: einerseits besitzen beide Seiten von Gleichung(3.85) unterschiedliche Zeitabhängigkeiten und andererseits ist der eigentlichzeitabhängige Exponent β nur als Mittelwert bekannt.Da es unmöglich ist, die Parameter σ v und T v so zu wählen, dass Gleichung (3.85)für alle Zeitpunkte des betrachteten Intervalls [t 1 ≤ t ≤ t 2 ] erfüllt ist, liegt es nahe,die gesuchten Parameter σ v und T v so zu wählen, dass das Quadrat der Differenz derbeiden Seiten in Gleichung (3.85) im zeitlichen Mittel minimal wird:∫ t 2 ([ (B 2 t 2β − 2σvT 2 v2 exp − t − 1 + t )]) 2dt = Minimum (3.86)T v T vt 1Wie Abb. (3.4) zeigt, können die nach Turner (3.39) und (3.40) vorgegeben Diffusionsparameterdurch die mit den gefitteten Parametern σ w und T w nach Taylor (3.79) fürdie verschiedenen Ausbreitungsklassen unterschiedlich gut angenähert werden.Eine von Hanna (1982) vorgeschlagene empirische Formel für den Zusammenhangzwischen den Diffusionsparametern σ xi einerseits und den Turbulenzgrößen σ vi undT vi andererseits lautet:σ 2 x i= σ 2 v it 2 11 + 0.5 tT vi(3.87)Diese Gleichung reproduziert bei t ≪ T vi die Näherung (3.81) und stimmt im Grenzfallt ≫ T vi mit Gleichung (3.82) überein.In einem von Lung (2002) durchgeführten Feldexperiment zur Simulation der Ausbreitungvon Geruchsstoffen wurde die Konzentration des Tracers Krypton-85 gemessenund mit den Berechnungen eines Gauß’schen Ausbreitungsmodells verglichen. Fürdie Berechnungen der Diffusionsparameter σ xi wurde einerseits der Exponentialansatzvon Turner (3.39) und (3.40), andererseits die empirische Formel (3.87) herangezogenund die so modellierten Berechnungen mit den Messwerten verglichen. Als Resultatkonnte festgehalten werden, dass die nach (3.87) berechneten Diffusionsparameterzu einer insgesamt besseren Übereinstimmung mit den Messwerten führten, währendder Potenzansatz (3.39) und (3.40) zu einer deutlichen Unterschätzung der Konzentrationsverteilungführte. Der Autor dieser Studie führt dies auf die ausschließlicheGültigkeit des Potenzansatzes mit den aus dem Datensatz der technischen Anleitungzur Reinhaltung der Luft (TA Luft 1986) stammenden Parameter auf Quellhöhen vonh > 50 m zurück.

44 3.3 Zusammenhang zwischen den beiden Modellen500Labile Ausbreitungsklasse450400350σ z(t) / m30025020015010050Ansatz nach TurnerGefittet nach Taylor15000 50 100 150 200 250 300 350 400t / sMäßig stabile Ausbreitungsklasse100σ z(t) / mAnsatz nach TurnerGefittet nach Taylor5000 2000 4000 6000 8000 10000 12000t / sAbb. 3.4: Zeitlicher Verlauf des vertikalen Diffusionsparameters σ z für die labile (oben)und mäßig stabile (unten) Ausbreitungsklasse. Rot dargestellt sind die mit Hilfeder Parameter A und α nach Turner berechneten Verläufe, die nach Taylor mitHilfe der gefitteten Werte von σ w und T w berechneten Diffusionsparameter sindblau eingetragen. Im Falle der Ausbreitungsklasse für mäßig stabile Verhältnisseist eine gute Übereinstimmung der beiden Ansätze zu verzeichnen, während diesbei labilen Verhältnissen nicht der Fall ist.

Kapitel 4Die Berechnung derAusbreitungsklassenDie Stabilität der Atmosphäre ist unter anderem von der Strahlungsenergie der Sonneabhängig, welche über die Erwärmung des Erdbodens zu einer konvektiven Durchmischungder bodennahen Schichten führt. Die auf eine horizontale Fläche auftreffendeStrahlungsenergie ist eine Funktion des Einfallswinkels der Sonnenstrahlen, dieserwiederum ist eine astronomische, von Jahres- und Tageszeit abhängige Größe.Zur Bestimmung dieses Sonnenwinkels wurde für Zeitschritte von 10 Minuten dierelative Position der Erde zur Sonne unter Annahme einer Ellipsenbahn mit einerExzentrizität von ε = 0.0167 und einer großen Halbachse von a = 1.49597 × 10 8 mberechnet. Das Perihel, also der sonnennächste Punkt, wurde auf den 3. Januar datiert.Der Zenitwinkel ist nun jener Winkel, welcher sich zwischen dem Leitstrahl vonder Sonne zum betrachteten Punkt an der Erdoberfläche und dem verlängerten Radialstrahlvom Erdmittelpunkt durch den betrachteten Punkt an der Erdoberflächeverläuft, befindet. Subtrahiert man vom Zenitwinkel 90 ◦ , so erhält man den gefordertenSonnenwinkel. Eine Darstellung des Sonnenwinkels als Funktion der Jahres- undTageszeit ist in Abb. (4.1) zu sehen.Zur Berechnung der Ausbreitungsklassen werden nicht die Sonnenwinkel selbst,sondern Intervalle desselben herangezogen. Die Zuordnung zu den sogenannten Einstrahlungszahlenerfolgt gemäß der VorschriftSonnenhöhe γ/ ◦ γ ≤ 0 0 < γ ≤ 15 15 < γ ≤ 35 35 < γ ≤ 60 γ > 60Einstrahlungszahl 0 1 2 3 4Tab. 4.1: Zusammenhang zwischen der Sonnenhöhe und der EinstrahlungszahlDie entsprechende jahres- und tageszeitliche Verteilung der Einstrahlungszahl istAbb. (4.2) zu entnehmen. Die auffallende Asymmetrie ist auf die aus dem zweitenKeplerschen Gesetz resultierende Abhängigkeit der Translationsgeschwindigkeit derErde von der Entfernung zwischen Sonne und Erde zurückzuführen.Die astronomisch vorgegebene Einstrahlungszahl ist mit der maximal möglichen45

46 4. Die Berechnung der AusbreitungsklassenAbb. 4.1: Variation des Sonnenwinkels während des Tages- und Jahreszyklus. Schnitte derOberfläche mit dem schwarzen Gitter kennzeichnen die Zeitpunkte der Sonnenaufund -untergänge.24:0022:0020:0018:00Einstrahlungszahl als Funktion der Jahres− und Tageszeit123416:00Uhrzeit14:0012:0010:0008:0006:0004:0002:0031.01 29.02 31.03 30.04 31.05 30.06 31.07 31.08 30.09 31.10 30.11 31.12JahreszeitAbb. 4.2: Einstrahlungszahl als Funktion der Tages- und Jahreszeit. Die höchsten Einstrahlungszahlwerden erwartungsgemäß in den Frühjahrs- und Sommermonatenum die Mittagszeit erreicht.

4. Die Berechnung der Ausbreitungsklassen 47Sonneneinstrahlung verknüpft, diese wird aber durch die Bewölkung über zwei Effektevermindert. Einerseits ist die Schwächung der Strahlungsenergie vom Bedeckungsgradder Bewölkung abhängig, andererseits spielt auch noch die Höhe der Wolkenbasis derniedrigen Wolken eine Rolle. Unter Berücksichtigung dieser beiden Einflussfaktorengelangt man mittels folgender Vorschrift von der Einstrahlungszahl zum Strahlungsindex:NachtTagBedeckungsgrad 0 - 3/8 4/8 - 7/8 8/8 0 - 4/8 5/8 - 7/8 8/8Wolkenhöhe h w /mStrahlungsindexh w ≤ 2000 -2 -1 0 EZ EZ-2 0h w > 2000 -2 -1 -1 EZ EZ-1 EZ-2Ergibt sich am Tag ein Strahlungsindex ≤ 1, so ist er auf 1 zu erhöhen.Ausnahme: h w ≤ 2000 m und Bedeckungsgrad 8/8Tab. 4.2: Abhängigkeit der Strahlungsindizes von den Parametern Bedeckungsgrad, Wolkenhöheund EinstrahlungszahlDie in Tab. (4.2) grau unterlegten Gesamtbedeckungsgrade markieren jene Fälle,bei denen die Höhe der Wolkenbasis der niedrigen Wolken einen Einfluss auf denStrahlungsindex ausübt. Bei den im Fettdruck hervorgehobenen Bedeckungsgradenexistiert dieser Einfluss aufgrund der angeführten Ausnahmeregelung nur für Einstrahlungszahlen3 und 4, anderenfalls wird der Strahlungsindex unabhängig von derHöhe der Wolkenbasis auf 1 gesetzt.Mit der Kenntnis von Strahlungsindex und Windgeschwindigkeit lässt sich die Ausbreitungsklasseaus Tab. (4.3) herauslesen. Weitere Möglichkeiten zur Bestimmung derAusbreitungsklasse mittels Temperaturgradient und Strahlungsbilanz werden in derÖnorm (1992) angeführt, sind jedoch für diese Zwecke ungeeignet, da es sich bei ihnennicht um die Ausgabedaten von Wettervorhersagemodellen handelt.Aus Tab. (4.3) geht hervor, dass stabile Ausbreitungsklassen (weiß, dunkelgrau unterlegt)bei geringer Einstrahlung und geringen Windgeschwindigkeiten dominieren.Labile Schichtung (schwarz, grau unterlegt) wird durch starke Einstrahlung und geringeWindgeschwindigkeiten begünstigt und hohe Windgeschwindigkeiten bedingeneine neutrale Schichtung (schwarz).

48 4. Die Berechnung der AusbreitungsklassenStrahlungsindex -2 -1 0 1 2 3 4Windgeschwindigkeit u 10 m/s Ausbreitungsklassenbis 0.7 7 6 4 3 2 2 20.8 bis 1.7 7 6 4 3 2 2 21.8 bis 2.7 6 5 4 4 3 2 22.8 bis 3.3 6 5 4 4 3 2 23.4 bis 3.8 5 4 4 4 3 2 23.9 bis 4.8 5 4 4 4 3 3 24.9 bis 5.3 5 4 4 4 4 3 35.4 bis 5.8 4 4 4 4 4 3 3ab 5.9 4 4 4 4 4 4 3Tab. 4.3: Abhängigkeit der Ausbreitungsklassen von den Parametern Strahlungsindex undWindgeschwindgkeit

Kapitel 5Die Maul- und KlauenseucheObwohl die Maul- und Klauenseuche selbst nur einen geringen Umfang dieser Diplomarbeiteinnimmt, ist dieses Thema bei der Berechnung der Ausbreitung von Substanzenim Hintergrund vorhanden. Zudem ist diese Arbeit in einem übergeordnetenProjekt mit der Zielsetzung der Vorhersage der Virenausbreitung eingegliedert undstellt zum Teil eine Nachfolgearbeit der Diplomarbeit Die Ausbreitung von Maul- undKlauenseuche (MKS) Viren über die Atmosphäre von Schachner (2005) dar. Ebendortist eine ausführliche Behandlung des Themenkreises Vorkommen, wirtschaftliche Folgen,Umweltbedingungen, Infektionsroute und Virusübertragung, Virusemission, Infektionsrisikound Bekämpfung der Maul- und Klauenseuche vorzufinden. An dieserStelle soll nur so weit darauf eingegangen werden, wie es zum Verständnis der hierangestellten Untersuchungen notwendig ist.Bei der Maul- und Klauenseuche handelt es sich um eine hoch kontagiöse Erkrankungvon Paarzehern wie beispielsweise Schafen, Schweinen oder Rindern. Übertragenwird diese Seuche durch die sogenannten Picornaviren über Atemwege oder im Zugeder Nahrungsmittelaufnahme. Von besonderer ökonomischer Bedeutung ist dieseSeuche durch die hohe Ansteckungsgefahr und dem Umstand, dass die erkranktenTiere bereits während der Inkubationszeit weitere Erreger ausscheiden. Beim bislanggrößten Ausbruch dieser Seuche, dieser ereignete sich im Jahr 2001 in Großbritannien,mussten insgesamt 4 Millionen Tiere geschlachtet werden, mehr als die Hälfteaus reinen Vorsichtsmaßnahmen. Der finanzielle Gesamtschaden, angefangen von derEntschädigung der Landwirte für die getöteten Tiere über die Aufräumarbeiten bishin zu Folgen im Tourismus, wurde auf mehr als 6 Milliarden Euro geschätzt.Die Ausbreitung und Überlebensfähigkeit der Viren ist von verschiedenen Umweltbedingungenabhängig. Ideale Bedingungen finden die Viren bei Temperaturen unter27 ◦ C vor, hingegen führt eine relative Luftfeuchtigkeit von weniger als 55% zu einemAbsterben der Erreger. Als weiterer Faktor ist der pH-Wert zu nennen, so verlierendie Erreger bei pH < 6.5 ihre Gefährlichkeit. Der Ausbreitung dieser Viren wird durchNiederschläge ein Ende gesetzt.Angegeben wird die emittierte Virusmenge in Vielfachen jener Menge, die eineempfängliche Zellkultur mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 0.5 infiziert. Die Ein-49

50 5. Die Maul- und Klauenseucheheit dieser Menge wird mit T CID 50 bezeichnet und ist die Abkürzung von TissueCulture Infection Doses, der Index 50 bezieht sich auf die 50% Wahrscheinlichkeiteiner Infektion. Die Emission wird auf einen Zeitraum von 24 Stunden bezogen undaufgrund der besseren Handhabung nicht direkt sondern der Logarithmus zur Basis10 angegeben. Die vollständige Bezeichnung lautet somit Log 10 T CID 50 /24 h.Für jede Tierart existiert eine in T CID 50 /m 3 angegebene Grenzwertkonzentrationbis zu welcher eine Ansteckung mit den Erregern der MKS erfolgen kann. Vonden drei erwähnten Tierarten sind Rinder auf Grund ihrer großen Inhalationsrateam empfänglichsten, Schweine am resistentesten. Die Zahlenwerte für die einzelnenTierarten sind der Tab. 5.1) zu entnehmen:Grenzwertkonzentration T CID 50 /m 3Rinder 0.06 Schafe 1.11 Schweine 7.70Tab. 5.1: Grenzwertkonzentrationen des MKS Erregers für ausgewählte PaarzeherDurch Kenntnis der Ausbreitungsklasse, der Windgeschwindigkeit und derQuellstärke ist es mit Hilfe des Gauß’schen Ausbreitungsmodells möglich, die Entfernungder Unterschreitung der Grenzwertkonzentrationen (Risikodistanzen) zu ermittelnoder wie in Krisenfällen erwünscht, zu prognostizieren. Der Frage, wie gutsich diese Risikodistanzen vorhersagen lassen, wird in Kapitel (9) nachgegangen.

Kapitel 6Berechnung / Abschätzungfehlender meteorologischerParameter6.1 Berechnung der GesamtbedeckungIn die Berechnung der Ausbreitungsklassen fließt der Gesamtbeckungsgrad der Wolkenein. Liegen jedoch wie in den hier zugrundeliegenden Daten nur Beobachtungen voneinzelnen Wolkengruppen mit samt der Bedeckungsgrade vor, so muss daraus dieGesamtbedeckung mit statistischen Methoden berechnet werden.Setzt man voraus, dass die Positionen der einzelnen Wolkengruppen unkorreliertsind und man die Bedeckung alternativ als Wahrscheinlichkeit, einen Raumwinkelbereichdes Himmels als bedeckt vorzufinden interpretieren kann, so berechnet sich dieGesamtbedeckung P wie folgt aus den N Bedeckungen P i :P = 1 −N∏(1 − P i ) (6.1)i=1Gleichung (6.1) ist auch intuitiv leicht zu verstehen. 1 − P i ist die Wahrscheinlichkeit,dass ein Raumwinkelbereich des Himmels bezüglich der i. Wolkengruppe nichtbedeckt ist. Damit dieser Bereich gänzlich wolkenlos ist, muss dies natürlich auf dieeinzelnen Gruppen zutreffen und nach Annahme, dass die Wolkengruppen voneinanderunabhängig sind, ergibt sich gemäß der Produktregel der Wahrscheinlichkeitsrechnungeine Wahrscheinlichkeit für die Wolkenfreiheit von ∏ Ni=1 (1−P i). Die Gegenwahrscheinlichkeitdavon ist die gesuchte Gesamtbedeckung. Würden beispielsweise zweiWolkengruppen vorliegen und würden beide für sich 50% des Himmels bedecken, sowürde man gemäß Gleichung (6.1) auf eine Gesamtbedeckung von 75% kommen.51

52 6.2 Berechnung der relativen LuftfeuchtigkeitNicht immer wird man von einer Unabhängigkeit der einzelnen Wolkengruppenausgehen können. Auf das erwähnte Beispiel bezogen, könnten sich die Wolken beiderGruppen exakt übereinander befinden oder sich nirgends überlappen. Im erstenFall wäre auch der Gesamtbedeckungsgrad 50%, im zweiten Fall wäre der gesamteHimmel bedeckt, was einem Bedeckungsgrad von 100% entsprechen würde. Fürdie Praxis kann man annehmen, dass diese beiden Szenarien sehr unwahrscheinlicheGrenzfälle sind und in Anbetracht der groben Unterteilung der Gesamtbedeckung inTab. (4.2) in lediglich 3 Intervalle, Gleichung (6.1) eine ausreichende Näherung derGesamtbedeckung liefert.6.2 Berechnung der relativen LuftfeuchtigkeitDie von Austro Control zur Verfügung gestellten Daten beinhalten nicht die relativeLuftfeuchtigkeit. Wie es sich zeigt, handelt es sich bei ihr um eine Prädiktorvariable fürdie Abschätzung der Höhe der Wolkenuntergrenze der niedrigen Wolken. Gegenstanddieses Kapitels ist die Herleitung einer Näherungsformel zur Bestimmung der relativenLuftfeuchtigkeit sowie eine Abschätzung des aus einer Ungenauigkeit der Temperaturund des Taupunkts von ∆T = 0.5 K resultierenden Fehlers. Die Temperaturen sindnicht wie in der Meteorologie üblich in 1/10 ◦ angegeben, sondern liegen als ganzzahligeWerte vor. Für den Flugverkehr ist keine höhere Genauigkeit erforderlich.Die relative Luftfeuchtigkeit RF berechnet sich als Quotient von Mischungsverhältnism und Mischungsverhältnis bei Sättigung m s :RF = m m s(6.2)wobei die beiden Mischungsverhältnisse m und m s wie folgt definiert sind:m = 0.622ep − e(6.3) m s = 0.622 Ep − E(6.4)Das Symbol p steht für den Luftdruck, e für den Wasserdampfdruck und E für denSättigungsdampfdruck. Zusätzlich gilt mit der Taupunkttemperatur T d :Dadurch spezifiziert sich Gleichung (6.2) zu:e = E(T d ) (6.5)RF (T, T d , p) =0.622 E(T d )p−E(T d )0.622 E(T )p−E(T )=1p/E(T d )−11p/E(T )−1= p/E(T ) − 1p/E(T d ) − 1(6.6)Für den Sättigungsdampfdruck ergibt sich mit der (hier näherungsweise als konstantangenommenen) Phasenumwandlungswärme L = 2.5 × 10 6 J/(kg), dem Sättigungs-

6.2 Berechnung der relativen Luftfeuchtigkeit 53dampfdruck bei Normaltemperatur von E(T 0 ) = 611 P a und der Gaskonstante fürWasserdampf R = 461.5 J/(kg K) als Lösung der Clausius-Clapeyron’schen Gleichung:[ ( L 1E(T ) = E(T 0 ) exp − 1 )](6.7)R T 0 TEine Umschreibung von Gleichung (6.7) sowie die Einführung zweier Abkürzungenzwecks kompakterer Schreibweise führen zu:1E(T ) = 1 [−E(T 0 ) exp L ( 1− 1 )]R T 0 T⎛= 1 (E(T 0 ) exp − L )⎜exp ⎝ L R T} {{ 0} }{{} RAB· 1T⎞⎟⎠(6.8)Setzt man Gleichung (6.8) in Gleichung (6.6) ein, so resultiert für die relative Luftfeuchtigkeit:RF (T, T d , p) = p A exp ( )BT − 1( )Bp A expT d− 1(6.9)Dabei weisen die Konstanten A und B folgende Werte auf:A = 3.99 × 10 −12 1/P a (6.10) B = 5417 K (6.11)Der absolute Fehler der von Austro Control zur Verfügung gestellten Temperaturdatenist nach oben mit ∆ T = 0.5 K bzw. ∆ T d = 0.5 K begrenzt. Die Fortpflanzungdieser Fehler auf jenen der relativen Luftfeuchtigkeit berechnet sich mit der Tangentenmethodezu:√ (∂RF ) 2∆ RF ≈∆ T +∂T( ∂RF∂T d) 2∆ T d (6.12)Durch die Bildung der partiellen Ableitungen von Gleichung (6.9) nach Temperaturund Taupunkttemperatur, der Luftdruck wird hier in guter Näherung als fehlerlosangenommen, ergibt sich für den Fehler der relativen Luftfeuchtigkeit:⎛∆ RF ≈√⎝ exp ( ) ( ) ⎞ ⎛BT− A B p 2T( ) 2 ⎠ ⎜∆ T + ⎝Bp A expT d− 1(exp(BT d) (− A B pTd2(p A exp)) (p (A expB) )⎞T − 1⎟( ) ) 2 ⎠BT d− 12∆ T d(6.13)

54 6.2 Berechnung der relativen LuftfeuchtigkeitDer maximal mögliche absolute Fehler der relativen Luftfeuchtigkeit als Funktion derTemperatur und der Taupunkttemperatur bei einem Standarddruck von p = 1013 hP aist in Abb. (6.1) dargestellt. Der Fehler ist indirekt proportional zur Differenz zwischenTemperatur und Taupunkttemperatur, also dem Spread und nimmt im Extremfall einAusmaß von ∆ RF ≈ 0.08 an.Maximaler Fehler der relativen Luftfeuchtigkeit0.080.070.090.080.06Absoluter Fehler0.070.060.050.040.030.020.010−10010Temperatur /°C2030 −100302010Taupunkt /°C0.050.040.030.020.01Abb. 6.1: Maximal möglicher absoluter Fehler der relativen Luftfeuchtigkeit als Funktionvon Temperatur und Taupunkttemperatur. Angenommen wurden Unsicherheitenvon ∆T = ∆T d = 0.5 K bei einem Luftdruck von p = 1013 hP a.

Kapitel 7Statistische MethodenAn dieser Stelle soll kurz auf statistische Konzepte wie die Korrelation bei intervallundordinalskalierten Daten sowie auf die Partialkorrelation und im Anschluss daranauf die multiple Regression eingegangen werden. Abgeschlossen wird dieses Kapiteldurch die Darstellung der Varianzanalyse. Sehr ausführlich dargestellt sind diese Themenin Bortz (1999).Mit der Korrelation soll das Ausmaß möglicher linearer Zusammenhänge zwischenden beobachteten meteorologischen Größen und den Ausbreitungsklassen sowie zwischenden ersteren und der Höhe der Wolkenbasis der niedrigen Wolken berechnetwerden. Auf dieser Basis lässt sich die ”Wolkenhöhe“ näherungsweise aus den korrelierendenGrößen vorhersagen.7.1 Die Punkt-Moment-KorrelationMit Hilfe der Punkt-Moment-Korrelation kann das Ausmaß des linearen Zusammenhangszweier intervallskalierter Daten, das sind in diesem Fall solche mit physikalischenEinheiten, bestimmt werden. Der Korrelationskoeffizient r gibt bezüglich seines Betragesdas Ausmaß und bezüglich seines Vorzeichens die Richtung (direkt oder indirektproportional) des Zusammenhanges an. Der Wertebereich liegt im Intervall [−1, +1],r = +1 bedeutet das Vorhandensein einer absoluten direkten Proportionalität undbei r = −1 liegt eine vollkommene indirekte Proportionalität vor, während bei r = 0bezüglich der Linearität kein Zusammenhang zwischen den beiden Variablen besteht.Bildet man das Quadrat des Korrelationskoeffizienten, so gibt der dadurch gebildeteDeterminationskoeffizient r 2 an, welcher Anteil der Varianz der einen Variabledurch die der anderen Variable erklärt wird.Berechnet wird der Korrelationskoeffizient der beiden Variablen x und y durch dieKovarianz cov(x, y), welche durch das Produkt der Standardabweichungen s x und s y55

56 7.2 Der Spearman’sche Korrelationskoeffizientder beiden Variablen normiert wird:r =cov(x, y)s x s y= 1 nn∑i=1( (xi − ¯x)· (y )i − ȳ)s x s y(7.1)Die überstrichenen Größen bezeichnen deren Mittelwerte. Überprüft man eine Korrelationauf Signifikanz, so muss die Voraussetzung einer bivariaten Normalverteilungder Variablen gegeben sein. Ob eine empirisch ermittelte Korrelation r signifikant ist,wird anhand der t-Statistik getestet. Für die Anzahl der Freiheitsgrade gilt df = n−2,die Prüfgröße lautet:t = r √ n − 2√1 − r2(7.2)Mit diesem Test wird im Abschnitt (8.3) die Korrelation der Höhe der Wolkenbasender niedrigen Wolken mit einigen meteorologischen Parametern untersucht.7.2 Der Spearman’sche KorrelationskoeffizientIst zumindest eine der beiden, auf einen linearen Zusammenhang zu untersuchendeVariablen nicht intervall- sondern lediglich ordinalskaliert, so lässt sich das Konzeptder Punkt-Moment-Korrelation nicht mehr anwenden. Während physikalische Größenwie Temperatur oder Luftdruck der Gruppe der intervallskalierten Größen zugeordnetwerden können, handelt es sich bei den Ausbreitungsklassen oder Strahlungsindizesum ordinal- bzw. rangskalierte Größen. Bei ersteren lassen sich Mittelwerte undDifferenzen bilden, während dies bei letzteren keinen Sinn macht, lediglich über dieMerkmalsausprägung können Vergleiche angestellt werden.Das Analogon zur Produkt-Moment-Korrelation stellt die Rangkorrelation nachSpearman dar. Anstelle der Gegenüberstellung der Merkmalsausprägungen selbst werdendiese vorher in eine Rangordnung gebracht und die Korrelation anhand dieserRänge berechnet.Der Spearman’sche Korrelationskoeffizient r s berechnet sich wie folgt, wobei d i dieRangdifferenzen der beiden Variablen und n den Stichprobenumfang bezeichnen:∑6 n d 2 ii=1r s = 1 −n(n 2 − 1)(7.3)Das Konzept des Determinationskoeffizienten ist auch auf die Rangkorrelation ausweitbar,r 2 s beschreibt, welcher Anteil der Varianz der einen Variablen von der Varianzder anderen erklärt wird. Anwendbar ist Gleichung (7.3) jedoch nur, wenn das Ausmaßder verbundenen Ränge unter 20% liegt. Kann zumindest eine der beiden Variablen

7.3 Die Partialkorrelation 57nur eine geringe Anzahl von Werten annehmen, wie das etwa bei den Ausbreitungsklassender Fall ist, so ist davon auszugehen, dass diese Grenze überschritten wird.In diesem Fall muss der Rangkorrelationskoeffizient nach einem modifizierten Schemaberechnet werden:r s =(2Dabei berechnen sich T und U wie folgt:) ∑n 3 −n− T − U − n d 2 12ii=12√ ( n 3 −n12− T ) ( n 3 −n12− U ) (7.4)T =k(x)∑j=1t 3 j − t j12(7.5) U =k(y)∑j=1u 3 j − u j12(7.6)Die Bedeutung von t j , u j , k(x) und k(y) kann folgender Auflistung entnommen werden:• t j ist die Anzahl von jeweils gleichen Rängen in der Variable x.• u j entspricht der Anzahl der jeweils gleichen Ränge in der Variable y.• Mit k(x) wird die Anzahl der Ranggruppen (verbundene Ränge) in der Variablex bezeichnet.• k(y) ist analog zu k(x) die Anzahl der Ranggruppen in der Variable y.Die Signifikanz einer Rangkorrelation wird ebenfalls mit Hilfe eines t-Tests ermittelt,wobei die Anzahl der Freiheitsgrade df mit df = n − 2 angegeben ist. DiePrüfgröße t ist vollkommen äquivalent zu jener in Gleichung (7.2).Verwendung findet der Spearman’sche Rangkorrelationskoeffizient bei der Untersuchungeines eventuell linearen Zusammenhangs zwischen den Ausbreitungsklassenund einigen meteorologischen Größen in Abschnitt (8.2).7.3 Die PartialkorrelationWie bereits erwähnt, erklärt der Determinationskoeffizient den Anteil der Varianz einerVariablen durch eine andere Variable. Untersucht man die Korrelation zwischeneiner Variablen und mehreren anderen, so könnte die Summe der Determinationskoeffizientendurchaus 1 überschreiten, was auf den ersten Blick unverständlich scheint.So könnten beispielsweise zwei Variablen x und y einen Determinationskoeffizient vonr 2 xy = 0.6 und die Variablen x und z einen Determinationskoeffizient von r 2 xz = 0.5haben, womit scheinbar mehr als 100 % der Schwankung der Variablen x durch y und

58 7.3 Die Partialkorrelationz erklärt wären. Die Lösung ist einfach, in diesem Fall wären die Variablen y und zvoneinander nicht stochastisch unabhängig, sondern korrelieren.Das Ziel der Partialkorrelation ist die Bereinigung des Zusammenhangs zweierVariablen vom Einfluss einer dritten Variable oder für den Fall einer Partialkorrelationhöherer Ordnung allgemeiner formuliert, vom Einfluss mehrerer Variablen.Die mathematische Idee dahinter ist folgende: Angenommen, zwei Variablen x undy korrelieren miteinander und werden durch eine dritte Variable z beeinflusst. In derPraxis könnte x mit der Temperatur, y mit der relativen Luftfeuchtigkeit und z mitder Sonnenhöhe, der Einstrahlungszahl oder dem Strahlungsindex identifiziert werden.Die Variable x kann mit Hilfe einer Regressionsgerade aus z vorhergesagt werden, dieso erhaltenen Werte werden nun mit ˆx bezeichnet. Die Varianz von ˆx ist natürlichzu 100 % durch z erklärbar. Derselbe Schritt wird mit der Variable y durchgeführt,man erhält somit ŷ. Die auch als Residuen bezeichneten Differenzen x − ˆx und y − ŷsind von z unbeeinflusst, die Varianzen davon nicht durch z erklärbar. Als letzterSchritt wird die Korrelation der beiden Residuen gebildet, die daraus hervorgehendeKorrelation ist nun jene zwischen x und y, die vom Einfluss der Variable z bereinigtist.Berechnet wird r xy·z , hinter dem Punkt steht die herauspartialisierte Variable, wiefolgt:r xy·z =r xy − r xz r yz√1 − r2xz√ 1 − r2yz(7.7)In die Berechnung einer Partialkorrelation gehen also drei herkömmliche Korrelationskoeffizientenein. Will man den Einfluss zweier weiteren Variablen x 3 und x 4 aufdie Korrelation zwischen zwei Variablen x 1 und x 2 herauspartialisieren, so wird ausGleichung (7.7):r 1 2·3 4 = r 1 2·3 − r 1 4·3 r√ √ 2 4·3(7.8)1 − r21 4·3 1 − r22 4·3Aus Gründen der Übersicht wurden in Gleichung (7.8) nur die Indizes der Variablen x 1bis x 4 angeführt. Das Konzept der Partialkorrelation ist auch auf den Spearman’schenRangkorrelationskoeffizient ausdehnbar.Ob eine Partialkorrelation statistisch signifikant ist, wird unter Verwendung der z-Statistik (standardisierte Normalverteilung) entschieden. Zuvor muss allerdings nochdie so genannte Fishers Z-Transformation vom Korrelationskoeffizient r auf z-Wertevorgenommen werden:Z = 1 ( ) 1 + r2 log 1 − r(7.9)

7.4 Die multiple Regression 59Die Prüfgröße z berechnet sich dann mitz = Z √ n − k − 1 (7.10)Dabei bezeichnet n den Stichprobenumfang und k die Gesamtzahl der an der Partialkorrelationbeteiligten Variablen. Liegt z beispielsweise außerhalb des Intervalls[-1.96,1.96], so ist die Partialkorrelation auf dem 5%-Niveau statistisch signifikant.7.4 Die multiple RegressionVon einer Regressionsgerade spricht man, wenn man durch eine zweidimensionalePunktwolke eine Ausgleichsgerade ŷ = a+b x legt, bei welcher die quadratischen Normalabständevon den Datenpunkten in Summe minimal sind. Bei drei Dimensionensucht man anschaulich gesprochen jene Ebene ẑ = a + b x + c y, deren quadriertenNormalabstände zu den Datenpunkten ebenfalls in Summe ein Minimum darstellen.Durch Ermittlung der Parameter a, b und c könnte man die Kriteriumsvariable zdurch die Prädiktorvariablen x und y bestmöglich durch ein lineares Modell vorhersagen.Ganz allgemein spricht man bei mehr als einer Prädiktorvariable von multiplerRegression. Die Regressionsgleichung für m Prädiktorvariablen lautet:ẑ = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a m x m (7.11)Die Konstante a 0 nimmt die Rolle eines Achsenabstandes ein und wird auch als Regressionskonstantebezeichnet. Alle weiteren Parameter a 1 bis a m haben die Bedeutungvon Steigungen bezüglich der einzelnen Achsen. Kompakter schreiben lässt sich Gleichung(7.11) in Matrixschreibweise, wofür allerdings a 0 noch formal mit dem Vektorx 0 (alle Komponenten besitzen den Wert 1) multipliziert werden muss:ẑ = X a (7.12)Der Vektor a enthält die zu bestimmenden Konstanten a 0 , a 1 , ..., a m , in der Matrix Xsind die Werte der Variablen x 0 bis x m als Vektoren aneinandergereiht. Mathematischformuliert lautet die Bedingung an die ẑ i :n∑(z i − ẑ i ) 2 = min (7.13)1=1Mit dem Kalkül der Extremwertrechnung kann gezeigt werden, dass der Vektor agenau dann die Bedingung (7.13) erfüllt, wenn gilt:a = (X X T ) −1 X ′ z (7.14)

60 7.5 Die VarianzanalyseDabei ist X T die transponierte Matrix X und X −1 die Inverse von X.Auf diese Weise wird im Abschnitt (8.3) die Kriteriumsvariable Höhe der Wolkenbasisdurch die Prädiktorvariablen Luftfeuchtigkeit und Temperatur bestmöglichdurch ein lineares Modell vorhergesagt.7.5 Die VarianzanalyseIn Abschnitt (9.3) wird der Frage nachgegangen, ob die Schwankungen der Vorhersagefehlerder Risikodistanzen zwischen den einzelnen Standorten ein vom Zufall zuerwartendes Maß übersteigen und daher eine Funktion der Variable Standort darstellen.Für diese Untersuchung bietet sich die einfaktorielle Varianzanalyse an. Mit ihrerHilfe kann die Auswirkung einer gestuften unabhängigen Variable x auf eine abhängigeVariable y untersucht werden. In diesem Fall ist die unabhängige Variable (nominalskaliert)der Standort, die einzelnen Stufen stellen die einzelnen Orte dar. Beider abhängigen Variable (intervallskaliert) handelt es sich um den Vorhersagefehlerder Risikodistanz. Dieses statistische Verfahren geht der Frage nach, welcher Anteilder Varianz aller Daten sich durch die Zugehörigkeit der Daten zu den einzelnen Abstufungen(hier Standorte) aufklären lässt und wie groß die Wahrscheinlichkeit ist,dass dieser Wert bei Gültigkeit der Nullhypothese zufällig zustande gekommen ist.Die Nullhypothese besagt in diesem Fall, dass der Vorhersagefehler der Risikodistanzkeine Funktion des Standortes ist.Ein wesentlicher Teil der Varianzanalyse ist die Quadratsummenzerlegung. Unterder Quadratsumme QS versteht man die Summe der quadratischen Abweichungender einzelnen Daten vom Mittelwert, sie entspricht somit dem Zähler der Definitionder Varianz während im Nenner die Freiheitsgrade df stehen:σ 2 = QS ∑df = (xi − ¯x) 2n − 1(7.15)Die mit allen Daten gebildete totale Quadratsumme QS tot setzt sich nun additivaus einer der Abstufungen der unabhängigen Variable zuordenbaren Treatment-Quadratsumme QS treat sowie einer davon unabhängigen FehlerquadratsummeQS F ehler zusammen. Durch Division der Quadratsummen durch die jeweiligen Freiheitsgradeerhält man die entsprechenden Varianzen σtot, 2 σtreat 2 sowie σF 2 ehler .Die Varianzaufklärung η 2 entspricht dem Verhältnis der auf die Abstufungen derunabhängigen Variable zurückgehenden Quadratsumme QS treat und der totalen QuadratsummeQS tot :η 2 = QS treatQS tot(7.16)Die Signifikanz dieser Varianzaufklärung wird mit dem F -Test überprüft, dieser ver-

7.5 Die Varianzanalyse 61gleicht die auf die Abstufungen basierende Treatment-Varianz σ 2 treat mit der Fehlervarianzσ 2 F ehler :F = σ2 treatσ 2 F ehler(7.17)Im Falle der Gültigkeit der Nullhypothese H 0 stellt die Treatmentvarianz σtreat 2 eineerwartungstreue Schätzung der Fehlervarianz σF 2 ehler dar, es gilt F = 1. Überwiegt dieFehlervarianz die Treatmentvarianz (F < 1), so erübrigt sich der Signifikanztest, erstim umgekehrten Fall wird der Wert von F mit dem vom Signifikanzniveau und denZähler- sowie Nennerfreiheitsgraden abhängenden kritischen Wert F ∗ verglichen.Offen ist noch die Berechnung der beiden, für den F -Test notwendigen Varianzenσtreat 2 und σF 2 ehler . Für die Berechnung werden folgende Bezeichnungen verwendet:• p: Anzahl der Abstufungen der unabhängigen Variable, entspricht in diesemKontext der Anzahl der Standorte• n i : Anzahl der Daten pro Gruppe mit 1 ≤ i ≤ p• N: Gesamtanzahl der vorhanden Daten, es gilt N = ∑ i n i• A i : Summe der Stichproben in der Gruppe i• G: Summe aller Stichproben sämtlicher Gruppen, also G = ∑ i A iAn dieser Stelle werden die für die rechnerische Durchführung modifizierten Formelnaus Bortz (1999) übernommen. Ihre Herleitung würde den Umfang dieser Arbeitsprengen und kann in der oben angeführten Literatur nachgelesen werden. Die Treatmentvarianzσtreat 2 und die Fehlervarianz σF 2 ehler berechnen sich wie folgt:σ 2 treat =p∑ ( )A 2in ii=1p − 1− G2N(7.18) σ 2 F ehler =p∑∑n ii=1 m=1y 2 mi − p ∑N − p( )A 2in ii=1(7.19)Die Ergebnisse der Gleichungen (7.18) und (7.19) stellen die Grundlage für die mitdem F-Test (7.17) durchzuführende Signifikanzprüfung dar. Wird die Null-Hypothesewiderlegt, so bedeutet dies, dass sich die Daten von mindestens zwei Gruppen signifikantunterscheiden. Zwischen welchen Gruppen Unterschiede bestehen, kann mitzusätzlichen Einzelvergleichen untersucht werden.

62 7.5 Die Varianzanalyse

Teil IIIDaten und Ergebnisse63

Kapitel 8Bestimmung derAusbreitungsklassen ausempirischen Daten8.1 Der DatensatzDer von der Firma Austro Control zur Verfügung gestellte Datensatz umfasst eineReihe meteorologischer Größen von 6 Standorten in Österreich, es handelt sich dabeium die Flughäfen von Wien, Graz, Klagenfurt, Innsbruck, Salzburg und Linz. Abgedecktwird der Zeitraum vom 1. Januar 2004 bis zum 31. Dezember desselben Jahres,die Messwerte liegen in 30 minütigen Intervallen vor.Codiert sind die Daten im Metar-Code, Metar ist die Abkürzung fürMeteorological Aviation Routine Weather Report. Folgende, für diese Arbeit relevantenGrößen sind im Datensatz inkludiert:• Windgeschwindigkeit in Knoten• Windrichtung in 10 ◦ Intervallen, wobei 0 = 360 ◦ Nordwind bedeutet• Bedeckungsgrad von Wolken aus maximal vier, in unterschiedlicher Höhe befindlichenWolkengruppen. Die Angabe erfolgt nicht unmittelbar in Achteln,sondern liegt in verschlüsselter Form vor:– SKC oder CLR (clear), gleichbedeutend mit wolkenlos, entspricht einerBedeckung von 0/8– FEW (few clouds) bedeutet geringe Bewölkung und umfasst einen Bedeckungsgradvon 1/8 bis 2/8– SCT (scattered clouds) ist mit einem Bedeckungsgrad von 3/8 bis 4/8verknüpft65

66 8.2 Statistik der Ausbreitungsklassen– BKN (broken clouds) umfasst den größeren Bereich von 5/8 bis 7/8 desBedeckungsgrades– OVC (overcast) wird bei vollständig bedecktem Himmel, also bei einerBedeckung von 8/8 gemeldet– VV (vertical visibility) entspricht ebenfalls einer Gesamtbedeckung von8/8 und wird gemeldet, wenn die vertikale Sicht begrenzt und die Wolkenbasisetwa bei Niederschlag nicht bestimmbar ist• Höhe der Wolkenuntergrenzen von maximal 4 Wolkengruppen in Fuß• Temperatur T in ◦ C, die Genauigkeit liegt bei ∆T = 0.5 K weil die Angabeganzzahlig ist• Taupunkttemperatur T d in ◦ C, ebenfalls mit einer Genauigkeit von 0.5 K• Auf Meereshöhe reduzierter Luftdruck p in hP aAnhand dieser Daten wurden wie in den Abschnitten (6.1) und (6.2) beschrieben,die relative Luftfeuchtigkeit aus Temperatur, Taupunkttemperatur und Luftdruck sowiedie Gesamtbedeckung aus den Bedeckungsgraden der einzelnen Wolkengruppenbestimmt.Die Sonnenhöhe und daher auch die Einstrahlungszahlen wurden für die Ortszeitermittelt während die Zeitangaben der Messdaten auf UTC bezogen sind. Dadurchwurde eine Synchronisation der Messreihen mit den berechneten Zeitreihen für dieSonnenhöhe notwendig.Mit Hilfe eines Matlab-Programms wurden die Datenfiles eingelesen und wie inKapitel (4) beschrieben, die Ausbreitungsklassen berechnet.8.2 Statistik der AusbreitungsklassenAbb. (8.1) zeigt die Häufigkeitsverteilung der Ausbreitungsklassen. Wie man erkennt,dominiert mit einem Anteil von 2/5 die neutrale Ausbreitungsklasse, alle labilen Klassen(2 und 3) sind in ihrer Häufigkeit mit den stabilen Klassen (5 bis 7) vergleichbar.Die stabilen, in den Nachtstunden dominierenden Klassen sind allerdings in ihrerHäufigkeit leicht unterschätzt, da an manchen Messstationen für einige Stunden inder Nacht die Beobachtung des Bedeckungsgrades fehlt.Nachfolgend wird der Zusammenhang zwischen den Ausbreitungsklassen und einigenrelevanten meteorologischen Größen untersucht. Dabei kommen die in Kapitel(7) vorgestellten statistischen Methoden zum Einsatz. Der Datensatz setzt sich ausden Einzeldaten aller 6 Messstationen zusammen, für alle untersuchten Größen liegenn = 91550 Daten vor.In Tab. (8.1) befinden sich die Kenndaten der Rangkorrelation, also der Spearman’scheKorrelationskoeffizient, der Determinationskoeffizient, die dazugehörendePrüfgröße für den Signifikanztest sowie das Ausmaß der Signifikanz selbst.

8.2 Statistik der Ausbreitungsklassen 67Größe r s rs 2 t SignifikanzTemperatur -0.32 0.10 101.00 **Taupunkt -0.16 0.03 49.14 **rel. Luftfeuchtigkeit 0.37 0.14 120.54 **Luftdruck -0.00 0.00 0.91 n.s.Gesamtbedeckung 0.11 0.01 33.05 **Wolkenhöhe 0.01 0.00 2.32 *Windgeschwindigkeit -0.06 0.00 18.55 n.sSonnenhöhe -0.70 0.49 297.91 **Tab. 8.1: Spearman’sche Korrelationskoeffizienten, die dazugehörigen Determinationskoeffizienten,statistischen Testgrößen und Signifikanzen bezüglich der Korrelationenzwischen den Ausbreitungsklassen und den beteiligten meteorologischen Parametern.Die Bedeutung der Symbole in Tab. (8.1) kann folgender Liste entnommen werden:• ”n.s.“ bedeutet statistisch nicht signifikant• ”*“ steht für statistisch signifikant am α = 5%-Niveau• ”**“ bezeichnet einen statistisch hoch signifikanten Zusammenhang am α = 1%-NiveauErmittelt wurden diese Ergebnisse mit Hilfe von Gleichung (7.2) mit n = 91550und df = 91548. Der daraus resultierende Wert für t wurde mit den kritischen t-Werten der Signifikanzniveaus α = 5% (t krit = 1.65) und α = 1% (t krit = 2.33)bei zweiseitigem Testverfahren verglichen. Verwendet wurde dazu die Tabelle der t-Verteilung in Bortz (1999), welche bei der vorliegenden Anzahl von Freiheitsgradendf in eine z-Verteilung übergeht.Ein hoch signifikanter Zusammenhang mit den Ausbreitungsklassen liegt in ersterLinie bei der Temperatur, der Luftfeuchtigkeit und der Sonnenhöhe vor. Erwartungsgemäßkeinen wesentlichen (linearen) Zusammenhang gibt es mit dem Luftdruck undder Windgeschwindigkeit, wobei letztere Größe in einer nichtlinearen Weise mit denAusbreitungsklassen zusammenhängt, siehe dazu Abb. (8.5). Aussagekräftig ist jedochnicht so sehr die Signifikanz, als vielmehr der Determinationskoeffizient. Trotz einer signifikantenKorrelation zwischen Höhe der Wolkenbasis der niedrigen Wolken und denAusbreitungsklassen ist der entsprechende Determinationskoeffizient außerordentlichgering. Die dennoch vorhandene Signifikanz bei einem kleinen Determinationskoeffizientist ein Resultat der großen Anzahl von Messdaten.Da jene Größen, die mit den Ausbreitungsklassen korrelieren, voneinander nichtunabhängig sind, bietet sich die Berechnung einer Partialkorrelation an. In Tab. (8.2)befinden sich jeweils die vom Einfluss aller anderen Größen befreiten Korrelationenzwischen den Ausbreitungsklassen und der Temperatur, der Luftfeuchtigkeit und der

68 8.2 Statistik der AusbreitungsklassenSonnenhöhe. Die Prüfgröße z wird nach den Gleichungen (7.9) und (7.10) aus denPartialkorrelationen r berechnet.Größe r s (P artial) rs 2 z SignifikanzTemperatur 0.07 0.01 21.21 **rel. Luftfeuchtigkeit 0.11 0.01 33.42 **Sonnenhöhe -0.63 0.40 224.33 **Tab. 8.2: Spearman’sche Partial-Korrelationskoeffizienten, die dazugehörigen Determinationskoeffizienten,Testgrößen und Signifikanzen bezüglich der Korrelationen zwischenden Ausbreitungsklassen und den relevantesten meteorologischen Parametern.Für die Berechnung der Signifikanzen wurde die Tabelle der z-Verteilung ausBortz (1999) zu Rate gezogen. Damit ein linearer Zusammenhang als statistisch hochsignifikant gelten kann, muss z ≥ z krit = 2.58 gelten. Zwar ist der Zusammenhangzwischen Temperatur und Ausbreitungsklassen einerseits und zwischen Luftfeuchtigkeitund Ausbreitungsklassen andererseits immer noch hoch signifikant, allerdings sinddie Determinationskoeffizienten durch das Herauspartialisieren der Sonnenhöhe drastischgesunken, nämlich bei der Temperatur von r 2 s = 0.10 auf r 2 s = 0.01 und beider relativen Luftfeuchtigkeit von r 2 s = 0.14 auf r 2 s = 0.01. Der Grund liegt auf derHand, sowohl Temperatur als auch die relative Luftfeuchtigkeit sind eng mit der Sonnenhöhemit r 2 s = 0.23 bzw. r 2 s = 0.44 gekoppelt, sodass die hohen Rangkorrelationenaus Tab. (8.1) mit Temperatur und Luftfeuchtigkeit auf den Einfluss der Sonnenhöhezurückzuführen sind.Zusammenfassend kann gesagt werden, dass bei alleiniger Betrachtung von linearenZusammenhängen die Variation der Ausbreitungsklassen zu 40 % auf die Sonnenhöhezurückzuführen ist.

8.2 Statistik der Ausbreitungsklassen 69Relative Häufigkeit der Ausbreitungsklassen3%12%18%20%7%39%2 (labil)3 (mäßig labil)4 (neutral)5 (leicht stabil)6 (mäßig stabil)7 (stark stabil)Abb. 8.1: Relative Häufigkeitsverteilung der Ausbreitungsklassen von 6 österreichischenStädten aus dem Jahr 2004.1Relative Häufigkeit der Ausbreitungsklassen als Funktion der Temperatur /°C0.90.80.7relative Häufigkeit0.60.50.40.30.20.12345670= 30Temperatur /°CAbb. 8.2: Zusammenhang zwischen den Ausbreitungsklassen und der Temperatur. Manerkennt, dass bei tiefen Temperaturen die stabilen und bei hohen Temperaturendie labilen Ausbreitungsklassen dominieren.

70 8.2 Statistik der Ausbreitungsklassen1Relative Häufigkeit der Ausbreitungsklassen als Funktion der Luftfeuchtigkeit0.90.80.7relative Häufigkeit0.60.50.40.30.20.12345670

8.2 Statistik der Ausbreitungsklassen 71Relative Häufigkeit der Ausbreitungsklassen als Funktion der Windgeschwindigkeit / m/s10.90.80.7234567relative Häufigkeit0.60.50.40.30.20.100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 >=10Windgeschwindigkeit / m/sAbb. 8.5: Die Abhängigkeit der Ausbreitungsklassen von der Windgeschwindigkeit istnatürliche eine graphische Darstellung von Tab. (4.3) und zeigt den nichtlinearenZusammenhang zwischen ihnen. Bei geringen bis mittleren Windgeschwindigkeitentreten sowohl labile als auch stabile Ausbreitungsklassen auf, während beiWindgeschwindigkeiten über 6 m/s praktisch nur noch neutrale Klassen auftreten.Abhängigkeit der Ausbreitungsklassen von der Wolkenhöhe18.95%1.55%51.62%27.88%unabhängig & h w≤ 2000 munabahängig & h w> 2000 mabhängig & h w> 2000 mabhängig & h w≤ 2000 mAbb. 8.6: Relative Häufigkeit der Kombinationen von Wolkenhöhen unter und über h w =2000 m und der Relevanz für die Ausbreitungsklassen. Bei den rot und violettdargestellten Kombinationen, sie umfassen etwa 80% aller Fälle, sind die Ausbreitungsklassenunabhängig von der Wolkenhöhe. Die restlichen 20% der Fälle(blau und grün) erfordern die Kenntnis der Wolkenhöhe, wobei in der überwiegendenMehrzahl von Fällen eine Wolkenhöhe von h w ≤ 2000 m vorliegt.

72 8.3 Relevanz der Höhe der Wolkenbasis der niedrigen Wolken8.3 Relevanz der Höhe der Wolkenbasis der niedrigenWolkenWie bereits erwähnt, ist es ein Ziel, die Ausbreitungsklassen mit Hilfe von Wettervorhersagemodellenzu prognostizieren. Die zur Bestimmung notwendige Kenntnisüber die Höhe der Wolkenbasis der niedrigen Wolken, im Folgenden kurz als ”Wolkenhöhe“bezeichnet, ist allerdings kein Element der Wettervorhersage.In einem ersten Schritt soll anhand der vorliegenden empirischen Daten untersuchtwerden, für welchen Prozentsatz der berechneten Ausbreitungsklassen die Informationüber die Wolkenhöhe von Bedeutung ist. Aus Tab. (4.2) geht hervor, dass die Wolkenhöhein der Nacht nur bei einer Gesamtbedeckung von 8/8 und tagsüber lediglichbei einer Gesamtbedeckung von mehr als 5/8 in Bezug auf den Strahlungsindex undsomit auf die Ausbreitungsklassen einen Einfluss hat, allerdings mit Ausnahmen. Beieinem Bedeckungsgrad zwischen 5/8 und 7/8 sind die Ausbreitungsklassen tagsüberbei den Einstrahlungszahlen 1 und 2 von der Wolkenhöhe entkoppelt.Dem Kreisdiagramm aus Abb. (8.6) kann entnommen werden, dass in rund 80%aller Fälle die Kenntnis der Wolkenhöhe nicht für die Bestimmung der Ausbreitungsklassenrelevant ist. Sehr erfreulich ist darüber hinaus die Tatsache, dass in jenenFällen, in denen die Ausbreitungsklassen dennoch von der Wolkenhöhe mitbeeinflusstwerden, die Wolkenbasen unterhalb einer Höhe von h w = 2000 m angesiedelt sind. Inlediglich 1.55% aller Fälle liegen die Wolkenbasen bei gleichzeitiger Relevanz für dieAusbreitungsklassen oberhalb dieser Grenze.Mit Hilfe der multiplen Regression soll nun versucht werden, das Kriterium Wolkenhöhedurch Prädiktorvariablen, also anderen meteorologische Größen, vorherzusagen.Welche meteorologische Größe als Prädiktor für die Wolkenhöhe in Frage kommt,entscheidet der Korrelationskoeffizient der Produkt-Moment-Korrelation. Zur Berechnungherangezogen werden nur jene n = 18770 Datensätze, bei denen die Wolkenhöheeine Rolle für die Ausbreitungsklassen spielt. Tab. (8.3) gibt das Ausmaß des linearenZusammenhanges zwischen der Wolkenhöhe und den relevanten meteorologischenParametern an:Größe r r 2 t SignifikanzTemperatur 0.43 0.19 65.25 **rel. Luftfeuchtigkeit -0.64 0.41 114.11 **Gesamtbedeckung -0.48 0.23 74.96 **Sonnenhöhe 0.29 0.08 41.51 **Tab. 8.3: Korrelationskoeffizienten, Determinationskoeffizienten, statistische Testgrößenund Signifikanzen zwischen Wolkenhöhe und einigen meteorologischen Parametern.Statistisch hoch signifikante lineare Zusammenhänge sind also jeweils zwischender Wolkenhöhe einerseits und der Temperatur, der relativen Luftfeuchtigkeit, der

8.3 Relevanz der Höhe der Wolkenbasis der niedrigen Wolken 73Gesamtbedeckung und der Sonnenhöhe vorhanden. Diese Variablen werden mit denx i in Gleichung (7.11) identifiziert und bilden zusammen die Matrix X in Gleichung(7.14). Der Vektor z beinhaltet die Zeitreihe der Wolkenhöhe. Die Ergebnisse für diemit Gleichung (7.14) berechneten Parameter a i lauten:• Achsenabstand: a 0 = 4096 m• Steigung der Regressions(hyper)ebene bezüglich der Achse der relativen Luftfeuchtigkeit:a 1 = −2444 m• Steigung der Regressions(hyper)ebene bezüglich der Achse der Temperatur:a 2 = 4.8 m/ ◦ C• Steigung der Regressions(hyper)ebene bezüglich der Achse der Gesamtbedeckung:a 3 = −184 m• Steigung der Regressions(hyper)ebene bezüglich der Achse der Sonnenhöhe:a 4 = −4 m/ ◦Unter einer Regressionshyperebene ist in diesem Zusammenhang das mehrdimensionaleAnalogon zu einer Ausgleichsgerade bzw. Ausgleichsebene zu verstehen. Ausder Auflistung ist die geringe Relevanz der Parameter Temperatur und Sonnenhöhebezüglich der Wolkenhöhe zu erkennen. Daraus kann man schlussfolgern, dass die Wolkenhöheunter der Voraussetzung einer linearen Approximation am besten mit derrelativen Luftfeuchtigkeit und der Gesamtbedeckung geschätzt werden kann. Führtman die Regressionsanalyse ausschließlich mit den relevanten Parametern durch, soresultiert für die Koeffizienten a i :• Achsenabstand: a 0 = 3477 m• Steigung der Regressions(hyper)ebene bezüglich der relativen Luftfeuchtigkeit:a 1 = −2352 m• Steigung der Regressions(hyper)ebene bezüglich der Gesamtbedeckung: a 3 =−115 mGleichung (7.14) kann somit spezifiziert werden zu:ĥ w = 4096 m − 2444 m · RF − 184 m · GB (8.1)Dabei wurden mit ĥw der Schätzwert der Wolkenhöhe, mit RF die relative Luftfeuchtigkeitund mit GB die Gesamtbedeckung abgekürzt.Relevant für die Ausbreitungsklassen ist nicht die Wolkenhöhe selbst, sondern dieZuordnung in die beiden Kategorien h w ≤ 2000 m und h w > 2000 m. Ordnet man sowohldie tatsächlichen Wolkenhöhen h w als auch die mittels Regression abgeschätztenWolkenhöhen ĥw in diese Kategorien ein, so gelangt man zu folgendem Ergebnis:

74 8.3 Relevanz der Höhe der Wolkenbasis der niedrigen Wolkenh w ≤ 2000 m h w > 2000 mĥ w ≤ 2000 m 92.09% 7.06%ĥ w > 2000 m 0.33% 0.52%Tab. 8.4: Kontingenztabelle der relativen Häufigkeiten für die geschätzten und tatsächlichenWolkenhöhen.Schwarz gekennzeichnet sind die Prozentsätze der richtig prognostizierten Kategorien,grau unterlegt hingegen jene der falsch abgeschätzten Kategorien. Bezogenauf die Fälle mit notwendiger Kenntnis der Wolkenhöhe liegt eine Trefferquote von92.61% vor. Das wichtigste Resultat ist folgendes: Unter Berücksichtigung aller Fälle,also auch jener, in denen das Wissen der Wolkenhöhe nicht erforderlich ist, könnendie Ausbreitungsklassen mit Hilfe der Regression in 98.48% aller Fälle ohne Kenntnisder Wolkenhöhe berechnet werden.Allerdings muss betont werden, dass man im Falle der fehlenden Information überdie Wolkenhöhe h w in erster Näherung die Ausbreitungsklassen unter der Annahmevon h w ≤ 2000 m bestimmen kann. Rechtfertigen lässt sich diese Vorgangsweise mitder Dominanz der Kategorie h w ≤ 2000 m wie bereits im Zusammenhang mit Abb.(8.6) besprochen wurde.

Kapitel 9Vorhersagefehler derRisikodistanzenZu Testzwecken wurden für 6 österreichische Standorte, es handelt sich dabei um dieFlughäfen Wien, Graz, Salzburg, Innsbruck, Klagenfurt und Linz, die Risikodistanzenauf zwei unterschiedliche Varianten bestimmt. Unter der Risikodistanz ist in diesemZusammenhang jener Abstand von der Virenquelle zu verstehen, bei dem die Konzentrationdes Erregers die Grenzwertkonzentration für die betrachtete Tierart unterschreitet.Auf der einen Seite wurden die von Austro Control zur Verfügung gestelltenMesswerte als Eingangsdaten verwendet, zum anderen wurden die Simulationsprogrammemit den Vorhersagedaten des Lokal-Modells des deutschen Wetterdienstesgespeist. Durch Vergleich der jeweiligen Ergebnisse lässt sich der Vorhersagefehler derRisikodistanzen bestimmen.9.1 Datensatz des Lokal Modells des deutschenWetterdienstesDas Lokal-Modell des Deutschen Wetterdienstes berechnet meteorologische Größenfür den mitteleuropäischen Raum (Deutschland und Anrainerstaaten) mit einer horizontalenAuflösung von 7 km und einer Anzahl von 35 Schichten in der Vertikalen. Dergeographische Bereich mit der genannten Auflösung definiert ein Gitter mit 325 × 325Punkten.Während die Messdaten von Austro Control das gesamte Jahr 2004 abdecken, sinddie prognostizierten Daten des Deutschen Wetterdienstes auf das Zeitfenster vom 28.Oktober bis 15. November 2004 begrenzt. Die Übermittlung dieser Daten zum Zweckder MKS-Echtzeitübung PICORNA 04 vom 8. bis 11. November 2004 wurde täglichvorgenommen, sodass der Vorhersagezeitraum jeweils 12 bis 36 Stunden ausmachte.Die zeitliche Auflösung beträgt eine Stunde, wurde für die Übung aber auf Intervallevon 10 Minuten interpoliert. Die zur Verfügung gestellten Daten umfassen dieWindfelder in einer Höhe von 10 m, Temperatur- und Taupunktsfelder in einer Höhe75

76 9.2 Bestimmung der Risikodistanzenvon 2 m sowie Niederschlag und der prozentuelle Bedeckungsgrad der Bewölkung. Eineausführliche Beschreibung dieses Modells befindet sich in der Kurzbeschreibungdes Lokal-Modells des Deutschen Wetterdienstes Doms (2003), die Einbindung in dieMKS-Echtzeitübung ist in Schachner (2005) dokumentiert.9.2 Bestimmung der RisikodistanzenFür die Bestimmung der nach den einzelnen Standorten aufgeschlüsselten Risikodistanzenwaren folgende, von der Datenquelle abhängigen Schritte zu implementierten:• Bestimmung der Risikodistanzen auf Grundlage der Messwerte von Austro Control:– Einlesen der Messdaten (Windgeschwindigkeit, Gesamtbedeckung undWolkenhöhe) für den Zeitraum vom 28. Oktober bis 15. November 2004– Berechnung der Sonnenhöhe nach der in Kapitel (4) vorgestellten Methode– Berechnung der Einstrahlungszahlen aus der Sonnenhöhe sowie der Strahlungsindizesunter Berücksichtigung der Gesamtbedeckung und der Wolkenhöhe• Bestimmung der auf den Prognosedaten des Deutschen Wetterdienstes basierendenRisikodistanzen:– Einlesen der prognostizierten Wetterdaten (Windgeschwindigkeit und Gesamtbedeckung)für den Zeitraum vom 28. Oktober bis 15. November 2004für den gesamten Vorhersageraum– Aufsuchen des nächst gelegenen Gitterpunktes in Bezug auf den betrachtetenStandort und Übernahme der damit verknüpften Daten– Berechnung der Sonnenhöhe und der Einstrahlungszahl mit Hilfe der Zeitgleichung– Ermittlung der Strahlungsindizes aus der Gesamtbedeckung ohne Berücksichtigungder Höhe der Untergrenze der niedrigen WolkenUngeachtet des Ursprungs der meteorologischen Daten bestand die weitere Vorgangsweiseaus folgenden Punkten:• Bestimmung der auf Strahlungsindex und Windgeschwindigkeit basierendenAusbreitungsklassen nach Turner• Berechnung der stationären Konzentrationsverteilung c(x) des Erregers nachdem Gauß’schen Ausbreitungsmodell in Windrichtung an der Erdoberfläche(h=0)

9.3 Statistik des Vorhersagefehlers der Risikodistanzen 77• Aufsuchen der Risikodistanzen durch lineare Interpolation aus der Konzentrationsverteilungc(x)Für die Emissionsquelle der Erreger wurden folgende Annahmen getroffen:• Infiziert sind 10 Rinder und ein Schwein mit einer Emissionsrate von jeweils5.1 log 10 T CID 50 /24 h bzw. 8.6 log 10 T CID 50 /24 h sodass für die gesamteQuellstärke Q = 4622.3 T CID 50 /s angenommen werden kann.• Die Quelle befindet sich direkt an der Oberfläche, Die Höhe h in Gleichung(3.38) wird daher mit 0 angegeben.Die Ausbreitung wird lediglich in einem Kreis mit einem Radius von r = 10 kmbetrachtet, für ein größeres Gebiet ist das Gauß’sche Ausbreitungsmodell nicht mehrsinnvoll anwendbar. Der Grund liegt in der dem Gauß’schen Modell zugrunde gelegtenVoraussetzung eines räumlich homogenen Windfeldes. Innerhalb dieses Kreises erfolgtdie Berechnung der Konzentration mit einer Auflösung von ∆x = 1 m. Für Windgeschwindigkeitenu ≤ 0.5 m/s wurde die Ausbreitung vernachlässigt. Begründet werdenkann dieser Schritt mit der mangelnden Anwendbarkeit des Gauß’schen Ausbreitungsmodellsbei Windgeschwindigkeiten in dieser Größenordnung.9.3 Statistik des Vorhersagefehlers der RisikodistanzenDie eindimensionale Konzentrationsverteilung des Erregers als Funktion des Abstandesvon der Quelle in Windrichtung ist für ein Beispiel in Abb. (9.1) dargestellt. AlsZeitpunkt wurde der 27. Oktober 2004, 13:50 gewählt, beim Standort handelt es sichum Wien. Während das Lokal-Modell des Deutschen Wetterdienstes eine Windgeschwindigkeitvon u = 1.79 m/s prognostiziert und damit die tatsächlich gemesseneWindgeschwindigkeit von u = 1.54 m/s relativ genau vorhersagt, gibt es bei den Ausbreitungsklasseneine geringe Diskrepanz. Eine bezüglich der Diffusion leicht labileAtmosphäre (Ausbreitungsklasse 3) wurde seitens des Deutschen Wetterdienstes alsneutral (Ausbreitungsklasse 4) eingestuft. Die dadurch bedingten Unterschiede in denKonzentrationsverteilungen wirken sich auch auf die Abstände der Grenzwertkonzentrationenvon der Quelle aus. Diese Differenzen sind somit als Vorhersagefehler derRisikodistanzen zu interpretieren. Eine Statistik der Vorhersagefehler resultiert beiBerücksichtigung der Ergebnisse aller oben genannter Zeitpunkte und Standorte.Die Verteilung der nach Tierart aufgeschlüsselten, jedoch für alle Standorte zusammengefasstenVorhersagefehler der Risikodistanzen ist Abb. (9.2) zu entnehmen.Auffällig sind zwei Punkte: einerseits wird die Risikodistanz (vorhergesagte Risikodistanzabzüglich tatsächlich auftretender Risikodistanz) vom Vorhersagemodell des

78 9.3 Statistik des Vorhersagefehlers der RisikodistanzenBeispiel: Vorhandene und prognostizierte Konzentrationsverteilung10 4 Entfernung von der Quelle /mKonzentration des Erregers TCID 50/m 310 310 210 110 010 −1prognostizierte Konzentrationsverteilungvorhandene KonzentrationsverteilungGrenzwertkonzentration für RinderVorhersagefehler der Risikodistanz10 −20 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000Abb. 9.1: Konzentrationsverteilung des MKS-Erregers in Windrichtung als Funktion desAbstandes von der Emissionsquelle. Die der Ausbreitung zugrunde liegendenmeteorologischen Daten wie Windgeschwindigkeiten und Ausbreitungsklassenstammen vom 27. 10. 2004 um 13:50 und gelten für Wien. Die punktierte Kurvebezeichnet die auf die prognostizierten Daten beruhende Konzentrationsverteilung,die strichlierte Kurve gibt die auf den Messwerten basierende Konzentrationsverteilungan. Die horizontale schwarze Linie zeigt die Grenzwertverteilungfür Rinder an. Der grau markierte Abstand zwischen den Schnittpunkten vonder Grenzwertverteilung und den beiden Konzentrationsverteilungen entsprichtdem Vorhersagefehler der Risikodistanz.

−150 −100 −500500 1000 1500 2000 Vorhersagefehler Absolute SchweineHäufigkeitder Risikodistanz / m9.3 Statistik des Vorhersagefehlers der Risikodistanzen 79Deutschen Wetterdienstes mehrheitlich überschätzt (die auf der negativen Ordinategelegenen Histogrammbalken), des weiteren schwanken die Vorhersagefehler zwischenden einzelnen Tierarten recht stark. Der Grund dafür liegt in den unterschiedlichenAusmaßen der Risikodistanzen selbst, was wiederum nicht zuletzt in den diversenInhalationsraten der unterschiedlichen Tierarten begründet ist. Diese reicht von173 m 3 /24 h bei Rindern über 52 m 3 /24 h bei Schweinen bis zu 9 m 3 /24 h bei Schafen.RinderSchafe12001400Absolute Häufigkeit1000800600400200Absolute Häufigkeit120010008006004002000−4000 −3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000 4000Vorhersagefehler der Risikodistanz / m0−1000 −500 0 500 1000Vorhersagefehler der Risikodistanz / mSchweineVerteilung des Vorhersagefehlers der Risikodistanzbei Rindern, Schafen undSchweinen. Die zugrundeliegenden Datenstammen aus dem Zeitraum zwischendem 28. Oktober und dem 15. November2004 und beinhalten die Ergebnissealler 6 Standorte. Es überwiegt eine seitensdes Modells überschätzte Risikodistanz(negativer Bereich auf der Ordinate)gegenüber einer problematischeren unterschätztenRisikodistanz. 0−150 −100 −50 0 50 100 150Vorhersagefehler der Risikodistanz / mAbsolute Häufigkeit200015001000500Abb. 9.2: Fehler der Risikodistanz für die Tierarten Rinder (links oben), Schafe (rechtsoben) und Schweine (rechts unten).Aussagekräftiger als ein Histogramm ist die Darstellung von Daten in einem sogenannten Box-Whisker Diagramm. Dabei handelt es sich um die graphische Veranschaulichungder drei Quartile sowie der Spannweite einer Verteilung. Unter denQuantilen versteht man jene Positionen auf der Ordinate, bis zu welcher sich 25% (1.Quartil), 50% (2. Quartil und zugleich der Median) und 75% (3. Quartil) der Verteilungbefinden. Die beiden äußeren Quantilen werden durch vertikale Linien zu einerBox zusammengefasst, darin befinden sich definitionsgemäß 50% aller Daten. Mit Hilfedes Box-Whisker Diagramms lassen sich zentrale Tendenz, Streuung, Schiefe undSpannweite einer Verteilung veranschaulichen. Standardmäßig werden über und unter

80 9.3 Statistik des Vorhersagefehlers der Risikodistanzender Box noch Minimum und Maximum der Verteilung dargestellt. Im konkreten Fall,die Histogramme in Abb. (9.2) besitzen lange Ausläufer in beide Richtungen, werdenanstelle von Minimum und Maximum das 0.1 und 0.9 Quantil angegeben, sodass sichaußerhalb dieser beiden Markierungen je 10% der Daten befinden.Die den Histogrammen aus Abb. (9.2) entsprechenden Box-Whisker-Plots befindensich in Abb. (9.3).3000Rinder300SchafeVorhersagefehler der Risikodistanz / m200010000−1000−2000Vorhersagefehler der Risikodistanz / m2001000−100−200−300−3000Wien Linz Graz Salzburg Innsbruck Klagenfurt−400Wien Linz Graz Salzburg Innsbruck KlagenfurtBox-Whisker-Plots der Verteilung des Vorhersagefehlersder Risikodistanz. Man erkenntan der nicht zentrierten Position desMedians in der Box die Dominanz jenerFälle, in denen das Prognosemodell die Risikodistanzüberschätzt. Die unterschiedlichenGrößenordnungen der Fehler sind eineFolge der je nach Tierart unterschiedlichen,von der Inhalationsrate mitbeeinflussten−80Risikodistanzen. Wien Linz Graz Salzburg Innsbruck KlagenfurtVorhersagefehler der Risikodistanz / m6040200−20−40−60SchweineAbb. 9.3: Darstellung des Vorhersagefehlers der Risikodistanzen in Form von Box-Whisker-Plots für die einzelnen Tierarten: Rinder (links oben), Schafe (rechts oben) undSchweine (rechts unten).

9.3 Statistik des Vorhersagefehlers der Risikodistanzen 81Ins Auge stechen die Streuungen der Vorhersagefehler zwischen den einzelnenStandorten innerhalb einer Tierart. So weisen beispielsweise die Verteilungen von Wienund Linz im Vergleich zu jenen von Salzburg und Innsbruck geringere Varianzenauf. Die Frage, ob dieser Unterschied auf den Zufall zurückzuführen ist, lässt sich mitder im Abschnitt (7.5) erläuterten Varianzanalyse beantworten.Im weiteren Verlauf wird für die drei Tierarten Rinder, Schafe und Schweinebezüglich des Vorhersagefehlers der Risikodistanz eine Varianzanalyse durchgeführt.Die wichtigsten Kenngrößen wie Anzahl der Daten, Quersummen, Freiheitsgrade,Treatment- und Fehlervarianzen sowie der F-Wert selbst sind Tab. (9.1) zu entnehmen.Parameter Rinder Schafe SchweineN 5063 5232 5232QS T reatment 8.59 × 10 7 3.16 × 10 6 1.69 × 10 5QS F ehler 9.04 × 10 9 4.61 × 10 8 1.99 × 10 7df T reatment 5 5 5df F ehler 5057 5226 5226σT 2 reatment 1.72 × 10 7 6.31 × 10 5 3.39 × 10 4σF 2 ehler 1.79 × 10 6 8.82 × 10 4 3.80 × 10 3F 9.62 7.16 8.91Signifikanz < 1% < 1% < 1%Tab. 9.1: Statistisch relevante Parameter für die Varianzanalyse der Vorhersagefehler derRisikodistanzen, aufgeschlüsselt nach der Tierart. Die Bedeutung der Symbole istfolgende: N: Anzahl der Daten, QS: Quersumme, df: Freiheitsgrade, σ 2 : Varianzund F : nach Gleichung (7.17) definierte Testgröße der F -Statistik.Der kritische F -Wert für das 1%-Signifikanzniveau liegt bei den vorliegenden Freiheitsgradenbei F ∗ ≈ 3, also weit unter den berechneten F -Werten. Folglich kannman bei allen drei Tierarten von einem hoch signifikanten Unterschied der Vorhersagefehlerder Risikodistanz zwischen mindestens 2 Standorten ausgehen, denn dieWahrscheinlichkeit, per Zufall solche Abweichungen zu erzielen, liegt weit unter der1%-Marke.Die aufgefundenen Unterschiede dürften mit der Topographie der Umgebung undden damit verbundenen Schwierigkeiten einer adäquaten Vorhersage der meteorologischenGrößen zusammenhängen. So weisen die eher im Flachland angesiedelten StädteWien und Linz bezüglich der Vorhersagefehler eine geringere Standardabweichung aufals die von Gebirgszügen umgebenen Orte Innsbruck und Klagenfurt. Um diese Vermutungzu verifizieren müsste in einer Nachfolgearbeit die Topographie berücksichtigtund die Korrelation mit der Streuung des Vorhersagefehlers auf Signifikanz überprüftwerden. Allerdings müssten in eine derartige Untersuchung die entsprechenden Dateneines Jahreszyklus einfließen, damit die Ergebnisse nicht durch kurzfristige und dahernicht repräsentative Witterungsverhältnisse verfälscht werden.

82 9.4 Güte der Vorhersagbarkeit der Ausbreitungsklassen9.4 Güte der Vorhersagbarkeit der AusbreitungsklassenObwohl der Vorhersagefehler der Risikodistanzen die für die Virenausbreitung relevanteGröße ist, soll in diesem Abschnitt kurz eine Gegenüberstellung der vom Lokal-Modell des Deutschen Wetterdienstes prognostizierten und der tatsächlich, aus denMessdaten von Austro Control geschlossenen Ausbreitungsklassen erfolgen. An dieserStelle wird daher nur ein rein deskriptiver Überblick gegeben, auf eine statistischeAuswertung wird verzichtet.Sowohl die Standorte als auch das Zeitintervall sind mit der im Abschnitt (9.3)durchgeführten Untersuchung zur Bestimmung der Vorhersagefehler der Risikodistanzenidentisch und stellten auch die Eingangsdaten für das Gauß’sche Ausbreitungsmodelldar. Tab. (9.2) enthält die Kontingenztafel der prognostizierten (Zeilen) undaufgetretenen (Spalten) Ausbreitungsklassen.Klassen 2 (AUS) 3 (AUS) 4 (AUS) 5 (AUS) 6 (AUS) 7 (AUS)2 (DWD) 0.06 0.76 0.40 0.00 0.00 0.003 (DWD) 0.00 1.51 1.93 0.00 0.04 0.004 (DWD) 0.38 10.02 37.48 2.75 6.94 0.235 (DWD) 0.00 1.05 7.91 2.87 5.22 0.066 (DWD) 0.00 1.87 6.08 1.66 7.40 0.637 (DWD) 0.00 0.11 1.15 0.13 1.22 0.13Tab. 9.2: Kontingenztafel der Ausbreitungsklassen, die Häufigkeiten sind in Prozent angegeben.In den Zeilen befinden sich die vom Deutschen Wetterdienst (DWD) prognostiziertenund in den Spalten die auf Messungen von Austro Control (AUS)basierenden Ausbreitungsklassen. In der Hauptdiagonale befindet sich somit dieHäufigkeit der korrekt prognostizierten Fälle.

9.4 Güte der Vorhersagbarkeit der Ausbreitungsklassen 83Eine aussagekräftigere Auflistung ergibt sich durch Differenzbildung der prognostiziertenund tatsächlich aufgetretenen Ausbreitungsklassen. Die daraus resultierendenDaten sind unter Beachtung des Vorzeichens in Tab. (9.3) und in absoluter Darstellungin Tab. (9.4) aufgelistet und in Abb. (9.4) illustriert.Häufigkeit Differenz -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4absolut 0 14 387 591 2587 1089 400 158 6prozentuell 0 0 7 11 49 21 8 3 0Tab. 9.3: Absolute und prozentuelle Häufigkeit von Fällen mit Differenzen der prognostiziertenund aufgetretenen Ausbreitungsklassen. Negative Abweichungen weisenauf eine Unterschätzung von Seiten des Prognosemodells hin.Ist man an der absoluten Differenz zwischen Vorhersage und Realität interessiert,so resultiert folgende Auflistung:Häufigkeit Differenz 0 1 2 3 4absolut 2587 1680 787 172 6prozentuell 49 32 15 3 0Tab. 9.4: Absolute Differenz zwischen prognostizierten und beobachteten Ausbreitungklassen.Man erkennt, dass in der Hälfte aller Fälle die Ausbreitungsklassen korrektprognostiziert und in einem weiteren Drittel eine Abweichung von nur einer Stufevorliegt.Wie bereits erwähnt, trifft die Prognose der Ausbreitungsklassen für die Hälfteder Fälle zu. Schlüsselt man diese Analyse auf die einzelnen Standorte auf, so gelangtman zu einem qualitativ ähnlichen Ergebnis wie bei der Untersuchung des Vorhersagefehlersder Risikodistanz im Abschnitt (9.3). Aus Tab. (9.5) geht hervor, dasstopographisch gering gegliederte Orte wie Wien und Linz mit 60% die größte Übereinstimmungzwischen Prognose und Realität erzielen, während die Trefferquote beivon Gebirgszügen umgebenen Städte wie Innsbruck oder Klagenfurt mit 40% um biszu einem Drittel geringer ausfällt.Stadt Differenz 0 1 2 3 4Wien 62.96 26.83 8.94 1.26 0.00Linz 53.90 30.28 12.96 2.87 0.00Graz 49.54 30.62 13.88 5.85 0.11Innsbruck 46.10 33.83 17.32 2.52 0.23Salzburg 42.20 41.17 14.45 1.83 0.34Klagenfurt 41.97 29.93 22.71 5.39 0.00Tab. 9.5: Prozentuelle Häufigkeit der absoluten Differenz der prognostizierten und aufgetretenenAusbreitungsklassen in Abhängigkeit vom Standort.

84 9.4 Güte der Vorhersagbarkeit der Ausbreitungsklassen505045454040Häufigkeit / %3530252015Häufigkeit / %35302520151010550−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4relative Differenz00 1 2 3 4absolute DifferenzAbb. 9.4: Histogramme der Differenz zwischen prognostizierten und auftretenden Ausbreitungsklassenmit (links) und ohne (rechts) Berücksichtigung des Vorzeichens. DieGrundlage dieses Diagramms stellen die Werte aus den Tab. (9.3) und (9.4) dar.Es fällt auf, dass mehr positive als negative Abweichungen auftreten, das Prognosemodelltendiert also geringfügig zu stabileren Klassen.

Kapitel 10Beispiel einer MKS-Ausbreitungmit einem homogenen WindfeldMit Hilfe eines Matlab-Computerprogramms wurden sowohl das im Abschnitt (3.1)dargestellte Gauß’sche Ausbreitungsmodell als auch das im Abschnitt (3.2) präsentierteLagrange’sche Partikelmodell implementiert. Als Eingangsgrößen werden die Koordinatenund Quellstärken der Emissionsstandorte, Windrichtung und -geschwindigkeitsowie die Stabilitätsparameter übergeben. Berechnet und graphisch dargestellt wirddie räumliche Konzentrationsverteilung der Viren. Um eine optimale Orientierung zugewährleisten, wird die Darstellung der Konzentrationsverteilung mit Orthophotosmit einer Auflösung von 1 × 1 m 2 unterlegt. Wahlweise kann die Berechnung mit demGauß’schen oder dem Lagrange’schen Modell erfolgen. Im flachen Gelände und beihomogenen Windfeldern kann bei einer genügend hohen Anzahl von Trajektorien einegute Übereinstimmung der Resultate erzielt werden. Die Virenkonzentration beidrei aus insgesamt 60 Rindern, 60 Schweinen und 60 Schafen bestehenden Quellenund einem mit v = 2 m/s aus Nordost wehenden Wind bei leicht labiler Atmosphäreist in Abb. (10.1) dargestellt. Die obere Abb. zeigt den für Rinder infektiösen Bereichin Form einer gelblichen, teiltransparenten Isofläche und entstammt der Berechnungmit Hilfe des Gauß’schen Ausbreitungsmodells. In der unteren Abb. befindet sich einSchnappschuss der simulierten Ausbreitung von etwa 5000 Partikeln. Wie in Abb.(10.2) zu erkennen ist, liegt eine sehr gute Übereinstimmung der Ergebnisse beiderModelle vor, durch eine Erhöhung der Anzahl der berechneten Trajektorien könntediese noch weiter verbessert werden.85

86 10. Beispiel einer MKS-Ausbreitung mit einem homogenen WindfeldAbb. 10.1: Oben: Abgebildet ist das für Rinder infektiöse Gebiet eines hypothetischen Ausbruchsder MKS bei je 60 Rindern, Schafen und Schweinen an drei Standortender Veterinärmedizinischen Universität in Wien (rote Kreise) bei den im obigenText genannten Bedingungen. Unten: Schnappschuss der simulierten Ausbreitungvon 5000 Partikeln (gelbe Punkte) unter den selben Bedingungen wiebei der Berechnung der Konzentrationsverteilung mit dem Gauß’schen Modell.Zur Orientierungshilfe: diagonal durchs Bild verlaufen Donaustrom und NeueDonau, rechts im Bild sind die Arme der Alten Donau zu erkennen.

10. Beispiel einer MKS-Ausbreitung mit einem homogenen Windfeld 87Abb. 10.2: Vergleich der mit Hilfe der beiden Ausbreitungsmodelle gewonnenen Konzentrationsverteilungender MKS-Viren. Die strichlierten Isolinien umschließen diemit dem Gaußmodell berechneten Infektionsgebiete, die durchgezogenen Linienresultieren aus der Auszählung der Aufenthaltsdauer der einzelnen Partikel proFlächenelement. Rote Isolinien umschließen die für Rinder, grüne die für Schafeinfektiösen Gebiete. Die dunkelroten Kreise rechts oben symbolisieren die beider Veterinärmedizinischen Universität angenommenen Virenquellen.

88 10. Beispiel einer MKS-Ausbreitung mit einem homogenen Windfeld

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LebenslaufName: DI. Dr. Dieter Mayergeboren am: 6. Juli 1976 in VillachEltern: Rudolf Mayer, geb. am 1. Jan. 1950, Kfz-MechanikerRoswitha Mayer (geb. Wabnig), geb. am 25. Sep. 1952, HausfrauGeschwister: Angelika (1980)Ausbildung1982 - 1986: Besuch der Volksschule in Mühldorf im Mölltal1986 - 1990: Besuch der Hauptschule in Möllbrücke1990 - 1994: Besuch des Oberstufenrealgymnasiums in Spittal an der DrauJun. 1994: Ablegung der Matura1995 - 2002: Absolvierung des Diplumstudiums der Technischen Physik an derErzherzog Johann Universität Graz2001 - 2002: Absolvierung aller statistischen und methodischen Fächer derStudienrichtung Psychologie an der Karl Franzens Universität Graz2002 -2005: Absolvierung des Doktoratstudiums der Technischen Physik an derErzherzog Johann Universität GrazSeit 2003: Studium der Meteorologie und Geophysik an der Universität WienBerufliche ErfahrungAug. 2001 - Aug. 2002:WS 2000 - SS 2002:Jan. 2004 - Jun. 2006:SS 2005 - WS 2006:Jun. 2005 - Okt. 2005:Jan. 2006 - Sep. 2006Mitarbeit an der multimedialen Lehre am Institut fürTheoretische Physik an der Erzherzog Johann Universität GrazTutor für Applicationssoftware und Programmierung am Institutfür Theoretische Physik der Erzherzog Johann Universität GrazNachhilfelehrer für Mathematik und Physikbei der Schülerhilfe in WienTutor zur Übung Theoretische Meteorologie am Institut fürMeteorologie und Geophysik an der Universität WienWissenschaftlicher Mitarbeiter (Vergleichende Anwendungvon Gauß und Lagrange’schen Partikelmodell zur Ausbreitungvon Viren) am Department für Naturwissenschaftenan der Veterinärmedizinischen Universität WienWissenschaftlicher Mitarbeiter bei Mesoclim (Erstellung einerDatenqualitätskontrolle für meteorologische Messdaten) amInstitut für Meteorologie und Geophysik an der Universität Wien92