4. Varianten des Turingmaschinen-Konzeptes

BEISPIELE:1. Die in einem früheren Beispiel beschriebene Vorgehensweise zur Berechnungder Summe zweier Zahlen lässt sich mit einem TO wie folgt beschreiben:Da Ein/Ausgabe bei TOs und TMs gleich definiert ist, genügtes folgendes Lemma zu zeigen.P + = R[R] b 0[L] b RbRb = RR b 0L b RbRb2. Die Funktion f(n) = 2n wird von den folgenden Operatoren (jeweils aufunterschiedliche Weise) berechnet:LEMMA. Zu jedem TO P über Γ gibt es eine Turingmaschine Müber dem Bandalphabet Γ mit Startzustand α M und ausgezeichnetem(Stopp-)Zustand ω M , sodass für alle Bänder (f, z) über Γgilt:P f = R bb R0L bb RbR[R bb 0R0L bb RbR] bP ′ f = K0L bbRbRbP ′′f = KL bbP +(i) Ist P (f, z) definiert, so ist die maximale mit (α M , (f, z)) beginnendeKonfigurationenfolge endlich und endet mit der Stoppkonfiguration(ω M , P (f, z)).Bei TOs gehen wir (wie bei TMs) davon aus, dass Zahlen in der modifiziertenUnärdarstellung n = 0 n+1 gegeben sind.(ii) Ist P (f, z) undefiniert, so ist die maximale mit (α M , (f, z))beginnende Konfigurationenfolge unendlich.ÄQUIVALENZ VON TURINGMASCHINEN UND TURINGOPE-RATORENBEWEIS DES LEMMAS:Turingmaschinen und Turingoperatoren berechnen dieselben Zahlfunktionen.D.h. fürgilt:• F(TM) (n) = {ψ : N n → N : ψ partiell TM-berechenbar}F(TM) = ⋃ n≥0 F(TM)(n) und F tot(TM) = {f ∈ F(TM) : f total}• F(TO) (n) = {ψ : N n → N : ψ partiell TO-berechenbar}F(TO) = ⋃ n≥0 F(TO)(n) und F tot(TO) = {f ∈ F(TO) : f total}SATZ. F (tot) (TO) = F (tot) (TM).Wir zeigen zunächst nur die Inkusion F (tot) (TO) ⊆ F (tot) (TM). Die andereInklusion werden wir später zeigen.Der Beweis ist durch Induktion nach Aufbau (= Länge) des TO P .1. P = a ∈ Γ oder P = B ∈ Bew. Dann besteht das Programm δ von M ausden Instruktionen (α M , a ′ , a, S, ω M ) bzw. (α M , a ′ , a ′ , B, ω M ) für alle a ′ ∈ Γ.2. P = P 1P 2. Nach I.V. gibt es dann die die TOs P i simulierenden MaschinenM i mit Zustandsmengen Z i und ausgezeichneten Zuständen α Mi und ω Mi (i =1, 2). Durch eventuelles Umbenennen der Zustände können wir erreichen,dass Z 1 ∩ Z 2 = {ω M1 } und ω M1 = α M2 gilt. Das Programm von M ist dann dieVereinigung der Programme von M 1 und M 2, α M = α M1 und ω M = ω M2 .3. P = [P 1] a (a ∈ Γ). Nach I.V. gibt es dann eine den TO P 1 simulierendeMaschine M 1 mit ausgezeichneten Zuständen α M1 und ω M1 . Das Programmder Maschine M erhält man aus dem Programm von M 1 durch Hinzufügender Instruktionen (α M , a, a, S, ω M ) und (α M , a ′ , a ′ , S, α M1 ) (für alle a ′ ≠ a), wobeiα M = ω M1 während ω M neu ist.