Kugelfallviskosimeter - auf Matthias-Draeger.info

Kugelfallviskosimeterdurchgeführt am 17.05.2010von Matthias Dräger und Alexander Narweleit1 PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN1 Physikalische Grundlagen1.1 Innere Reibung und ViskositätIn Körpern herrschen atomare und molekulare Bindungskräfte (Bindungsenergien), die die Materiezusammenhalten. Den Bindungskräften wirkt die thermische Energie entgegen. Aus dem unterschiedlichenVerhältnis der beiden Energien, ergeben sich die unterschiedlichen Aggregatzustände fest, flüssigund gasförmig.In Flüssigkeiten sorgen große Bindungskräfte für die Volumenbeständigkeit und Nahordnung. Molekülekönnen jedoch unter Einwirkung von thermischen Energie ihre Plätze tauschen und bleibenso in Bewegung. Für diese Bewegung muss Arbeit aufgewendet werden, um die innere Reibung zuüberwinden. Die Reibungskraft kann wie folgt berechnet werden:F r = −η · A · dvdr(1)Hierbei stellt η (Materialkonstante) den Koeffizienten der inneren Reibung bzw. Viskosität dar und Adie Fläche, an der sich der betrachtete Körper parallel entlang bewegt. dvdrbeschreibt das Geschwindigkeitsgefälle.1.2 Temperaturabhängigkeit der ViskositätDurch den Einfluss der temperaturabhängigen thermischen Energie auf die innere Reibung, ist dieViskosität ebenfalls von der Temperatur anhängig und es entsteht folgende Anhängigkeit:η = A · e B T (2)Die Formel setzt sich aus der dynamischen Viskosität η, der Eulerschen Zahl e, der Temperatur T undden Materialkonstanten A und B zusammen.1.3 MessmethodeDie Reibungskraft kugelförmiger Körper, die sich durch ein kontinuierliches Medium, wie Flüssigkeitenoder Gase, bewegen, verhält sich proportional zu ihrem Radius und ihrer Viskosität. Durch dieAbhängigkeiten der verschiedenen Größen, lässt sich die Viskosität bestimmen.Werden kleine Stahlkugeln (r = 1mm) in eine zähe Flüssigkeit fallen gelassen, so stellt man fest, dasssich die Kugeln innerhalb kürzester Zeit nur noch mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegen,d.h. die Beschleunigung a = 0 ist. Auf die Kugel wirkt die Schwerkraft F G , der Auftrieb F A und dieReibungskraft F R , die durch die oben beschriebene Beobachtung verschwinden müssen:F G + F A + F R = 0 (3)Die Schwerkraft der Kugel lässt sich über deren Masse m K und der Fallbeschleunigung g ≈ 9, 81 m s 2wie folgt berechnen:F G = m K · g (4)1

1.3 Messmethode 1 PHYSIKALISCHE GRUNDLAGENDie Masse der Kugel lässt sich über den Radius r und der Dichte der Kugel (z.B. Stahl) ρ K berechnen:m K = 4 3 · π · r3 · ρ K (5)Wir erhalten also nach Einsetzung für F G die Formel:F G = m K · g = 4 3 · π · r3 · ρ K · g (6)Der Auftrieb F A entspricht der Gewichtskraft der von dem Körper verdrängten Flüssigkeit oder Gases:F A = V · ρ Fl · g (7)Hierbei ist V das verdrängte Volumen, ρ Fl die Dichte der Flüssigkeit (oder des Gases) und g dieFallbeschleunigung. Für die Auftriebskraft einer Kugel erhalten wir nun folgende Gleichung:F A = − 4 3 · π · r3 · ρ Fl · g (8)Da die Auftriebskraft der Geschwindigkeit entgegen gerichtet ist, setzen wir ein negatives Vorzeichen.Auch die Reibungskraft F R ist der Geschwindigkeit entgegen gerichtet, wobei nach dem Gesetz vonStokes folgende Abhängigkeit gilt:F R = −6 · π · η · r · v (9)Die Viskosität η kann nun über die Geschwindigkeit v berechnet werden, indem man (6), (8) und (9)in (3) einsetzt. Die Geschwindigkeit lässt sich über die Fallstrecke s und der Fallzeit t ermitteln.F G + F A + F R = 043 · π · r3 · ρ K · g − 4 3 · π · r3 · ρ Fl · g − 6 · π · η · r · v = 043 · π · r3 · (ρ K − ρ Fl ) · g − 6 · π · η · r · v = 043 · π · r3 · (ρ K − ρ Fl ) · g = 6 · π · η · r · v29 · r2 v · (ρ K − ρ Fl ) · g = η29 · r2 · t· (ρ K − ρ Fl ) · g = η (10)sUm den Radius einer unbekannten Kugel K x mithilfe einer zweiten Kugel K 0 zu berechnen, setzen wirdie Viskositäten aus (10) gleich:η 0 = η x29 · r2 0 · t 0· (ρ K − ρ Fl ) · g = 2 s9 · r2 x · t xsr 2 0 · t 0 = r 2 x · t xr 2 x = r 2 0 · t0r x = r 0 ·t x· (ρ K − ρ Fl ) · g√t0t x(11)2

3 VERSUCHSAUFBAU2 Aufgaben1. (Viskosität): Messung der Viskosität η von Rizinusöl in Abhängigkeit von der Temperatur; Angabedes Viskositätswertes für 20 ◦ C2. (Kugelradien): Bestimmung der Radien r kleiner Stahlkugeln3 VersuchsaufbauAbbildung 1: Versuchsaufbau3

5 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG4 Geräte und MaterialienFür den Versuch verwendeten wir folgende Geräte:• Thermometer• Lineal• Stoppuhr• Messzylinder mit ungefähr 1030ml Rizinusöl• Gerät zum Messen der KugeldurchmesserGegeben waren außerdem Stahlkugeln mit verschiedenen Durchmessern. Die Durchmesser der Kugelnsehen wie folgt aus, wobei der Messfehler vom Gerät vorgegeben wurde: c Die Dichte der StahlkugelnKugel Durchmesser RadiusA d A = (0, 95 ± 0, 01)mm r A = (0, 475 ± 0, 005)mmB d B = (1, 53 ± 0, 01)mm r B = (0, 765 ± 0, 005)mmC d C = (2, 8 ± 0, 01)mm r C = (1, 4 ± 0, 005)mm0 d 0 = (2, 1 ± 0, 01)mm r 0 = (1, 05 ± 0, 005)mmTabelle 1: Durchmesser der Kugelnund des Rizinusöls haben wir dem Platzskript entnommen:Stahlkugeln : ρ K = (7, 81 ± 0, 02) · 10 3 kgm 3Rizinusöl : ρÖl = (0, 975 ± 0, 005) · 10 3 kgm 3Die Fallstrecke jeder Kugel beläuft sich auf ca. 35,3cm (siehe Versuchsaufbau):Fallstrecke : s = (35, 3 ± 0, 1)cm = (0, 353 ± 0, 001)m5 VersuchsdurchführungBevor wir den Versuch starteten, haben wir zunächst alle Kugeln gereinigt. Wir haben nun die ersteKugel (mit dem größten Durchmesser) in den Messzylinder fallen gelassen und die Zeit zwischenEintritt im Rizinusöl bis zur Berührung des Bodens gestoppt. Hierbei entsteht bereits ein Fehler(aufgrund der Reaktionsgeschwindigkeit), den wir mit je 0,1s festgelegt haben, d.h. der Gesamtfehlerist 0,2s, da wir zweimal die Zeit stoppen. Beim Eintritt der Kugel ins Rizinusöl haben wir außerdemdie aktuelle Temperatur bestimmt. Aufgrund der schlechten Sicht räumen wir hier einen Fehler von0,2 ◦ C ein.FallzeitTemperatur∆t = ±0, 2s∆T = ±0, 2 ◦ CTabelle 2: Messfehler im ÜberblickWir haben jede Versuchsreihe zehnmal durchgeführt in einem Zeitraum von ungefähr 1,5 Stunden. Dienachfolgende Tabelle ist nach dem Durchmesser der Kugeln (die Kleinste steht links) geordnet, dietatsächliche Reihenfolge war jedoch Kugel C, Kugel 0, Kugel B und Kugel A. Die Messwerte, die mit4

6 AUSWERTUNGeinem Stern (*) marktiert sind, sind verfälschte Messwerte, da die jeweilige Kugel versehentlich amThermometer langerutscht ist, womit die Fallgeschwindigkeit verlangsamt wurde. Ein weiteres Mankoist, dass das Fenster im Labor während der 9.Versuchsreihe geöffnet war, wodurch sich die Temperaturdes Rezinusöls kaum noch verändert hat.NrKugel A Kugel B Kugel 0 Kugel Ct in s T in ◦ C T in K t in s T in ◦ C T in K t in s T in ◦ C T in K t in s T in ◦ C T in K1 237 8,4 281,55 105 8,0 281,15 71 7,8 280,95 47 7,4 280,552 199 10,1 283,25 87,5 9,8 282,95 56,5 9,5 282,65 39 9,0 282,153 182 11,2 284,35 77,5 10,9 284,05 49,8 10,7 283,85 34 10,5 283,654 170 12,3 285,45 72,5 12 285.15 46,5 11,8 284,95 32 11,5 284,655 155 13,1 286,25 87,5* 12,9 286,05 42,5 12,8 285,95 28,5 12,5 285,656 145 13,9 287,05 88,5* 13,6 286,75 40,5 13,5 286,65 27,7 13,3 286,457 139 14,8 287,95 58 14,5 287,65 41,5 14,3 287,45 25,5 14,1 287,258 133 15,8 288,95 55 15,3 288,45 59,0* 15,1 288,25 27,5* 14,9 288,059 125,7 16,2 289,35 52 16,1 289,25 34 16,1 289,25 22,5 16,1 289,2510 121 16,5 289,65 50,8 16,4 289,55 32 16,3 289,45 21,5 16,2 289,35* Messwert verfälscht, da die Kugel das Thermometer gestreift hat.Tabelle 3: Messwerte aus unserer Versuchsdurchführung6 AuswertungAufgabe 1Wir haben nun die Werte in das einfachlogarithmische Papier eingetragen und daraus die Fallzeit bei20 ◦ C bzw. 293,15K für die Kugel mit dem Radius r 0 extrapoliert (entspricht 3,41 10 −3 K −1 ). Die nunabgelesene Fallzeit bei 20 ◦ C beträgt t 0 = 24, 5 ± 0, 2s.Es folgt ein Überblick über die gegebenen bzw. ermittelten Werte:r 0 = 1, 05mm = 0, 00105mt 0 = 24, 5ss = 35, 3cm = 0, 353mg = 9, 81 m s 2ρ K = 7, 81 · 10 3 kgm 3ρ Fl = 0, 975 · 10 3 kgm 3Um die Viskosität zu bestimmen, setzen wir alle Werte in (10) ein:η 20 ◦ C = 2 9 · r2 · ts· (ρ K − ρ Fl ) · gη 20 ◦ C = 2 9 · 0, 001052 m 2 · 24, 5s0, 353mη 20 ◦ C ≈ 1, 140 kgm · s· (7, 81 · 10 3 kgkg− 0, 975 · 103m3 m 3 ) · 9, 81m s 25

6 AUSWERTUNGFehlerrechnungZunächst einen Überblick über die gegebenen Fehlerwerte:∆r 0 = 0, 005mm = 0, 005 · 10 −3 m∆t 0 = 0, 2s∆s = 0, 001m∆g = 0 m s 2∆ρ K = 20 kgm 3∆ρ Fl = 5 kgm 3Wir erhalten folgende Formel zur Berechnung des Fehlers:η 20 ◦ C = 2 9 · r2 · t· (ρ K − ρ Fl ) · gsδη 20 ◦ C = 2 · δr + δt + δ(ρ K − ρ Fl ) + δg + δs(∆η 20 ◦ C = 2 · ∆r∆η 20 ◦ C =+ ∆gg + ∆ssr + ∆tt + ∆(ρ K − ρ Fl )ρ K − ρ Fl(2 · ∆rr + ∆tt + ∆ρ K + ∆ρ Fl+ ∆gρ K − ρ Fl g + ∆ss∆η 20 ◦ C ≈ 0, 028 kgm · sDas Endergebnis lautet:η 20 ◦ C = (1, 14 ± 0, 03) kgm · s)· 29 · r2 · t· (ρ K − ρ Fl ) · gs)· 29 · r2 · t· (ρ K − ρ Fl ) · gsAufgabe 2Um nun die Radien der anderen Kugeln mithilfe des Radius’ r 0 zu bestimmen, lesen wir die Fallzeitender anderen Kugeln bei 20 ◦ C ab. Dies ist nötig, damit die Temperatur und somit auch die Viskositätbei allen Kugeln die gleiche ist. Es ergeben sich folgende Zeiten:t A = 96, 0 ± 0, 2st B = 37, 0 ± 0, 2st 0 = 24, 5 ± 0, 2st C = 16, 0 ± 0, 2s6

6 AUSWERTUNGNun nutzen wir (11), um die Radien der Kugeln A, B und C zu bestimmen.√t0r x = r 0 ·t x√ 24, 5sr A = 0, 00105m ·96, 0s= 0, 00053m = 0, 53mm√ 24, 5sr B = 0, 00105m ·37, 0s= 0, 00040m = 0, 40mm√ 24, 5sr C = 0, 00105m ·16, 0s= 0, 0013m = 1, 3mmFehlerrechnungr x = r 0 ·√t0t x√∣ t0δr x = δr 0 +∣ + δt 0 + δt x −t x(∆r √0t0∆r x = ++ ∆t 0+ ∆t xr 0 ∣ t x t 0 t x( 5 · 10 −6 ∣√ m ∣∣∣ 24, 5s∆r A =0, 00105m + 96, 0s( 5 · 10 −6 ∣√ m ∣∣∣ 24, 5s∆r B =0, 00105m + 37, 0s∆r C =√t0t x∣ ∣∣∣−√ ∣)t0 ∣∣∣∣ √t0· r 0 ·t x t x0, 2s 0, 2s+ +24, 5s0, 2s 0, 2s+ +24, 5s( 5 · 10 −6 ∣√ m ∣∣∣ 24, 5s0, 00105m + 0, 2s 0, 2s+ +16, 0s 24, 5sWir stellen nun die gemessenen Radien den errechneten gegenüber:√ )√ 24, 5s96, 0s − 24, 5s96, 0s∣· 0, 00105m ·96, 0s = 7, 8 · 10−6 m√ )√ 24, 5s37, 0s − 24, 5s37, 0s∣· 0, 00105m ·37, 0s = 12 · 10−6 m√ )√ 24, 5s16, 0s − 24, 5s16, 0s∣· 0, 00105m ·16, 0s = 17 · 10−6 mgemessen errechnet LiteraturwerteKugel A (0, 475 ± 0, 005)mm (0, 53 ± 0, 01)mm (0, 50 ± 0, 005)mmKugel B (0, 765 ± 0, 005)mm (0, 40 ± 0, 02)mm (0, 79 ± 0, 005)mmKugel C (1, 05 ± 0, 005)mm (1, 3 ± 0, 02)mm (1, 25 ± 0, 005)mmTabelle 4: Gegenüberstellung der KugelradienMan sieht, dass der Wert bei Kugel B stark abweicht. Dies kann in erster Linie zwei Ursachen haben:Zum einen gab es mehrere verfälschte Werte, welche das Ergebnis beeinflusst haben könnten. Zumanderen, und das ist wahrscheinlicher, besteht die Möglichkeit, dass die manuelle Ausmessung nichtkorrekt war. Dies könnte dadurch geschehen sein, dass die Ablesung am Durchmesser-Messgerät etwasschwer fiel.7

7 Zusammenfassung und Diskussion7 ZUSAMMENFASSUNG UND DISKUSSIONIn diesem Versuch haben wir die Viskosität von Rizinosöl bestimmt und mithilfe dieser die Durchmesservon kleinen Stahlkugeln ermittelt. Durch Extrapolation einer Geraden haben wir mit der Fallzeit imÖl einer Kugel mit bekanntem Radius (r 0 ) die Viskosität errechnet, welche η 20 ◦ C = (1, 14 ± 0, 03) kgm·sbeträgt.Durch weitere Extrapolation haben wir nun die Radien der drei anderen Kugeln bestimmt, es ergabsich: r a = (0, 53 ± 0, 01)mm, r b = (0, 40 ± 0, 02)mm, r c = (1, 3 ± 0, 02)mm.Beim Vergleich mit den gemessenen Werten und den Litaraturwerten stellen wir fest, dass Abweichungenvorhanden sind. Dafür gibt es eine Vielzahl möglicher Ursachen:• Das Messgerät zur Ermittlung der Kugelradien war ungewohnt und daher nur sehr fehlerträchtigzu bedienen.• Wir hatten einige verfälschte Werte, welche durch das Entlangrutschen um Thermometer zustandekamen.• Hinzu kam, dass das Fenster gegen Ende des Versuches geöffnet wurde, weswegen die Temperaturdes Öls verändert worden ist.• Das Einzeichnen generell ist sehr fehlerträchtig.• Die Messmethode selbst ist ungenau. Es ist nahezu unmöglich, gleichzeitig die Kugel einzutauchenund die Zeitabnahme zu beginnen.• Gleiche Ungenauigkeit gilt für den Endpunkt der Zeitmessung, da sich gegen Ende des Versuchsschon viele Kugeln angesammelt hatten und die weiteren Kugeln sich stapelten, obwohl sie denBoden hätten berühren sollen.Wir sehen also, dass es von Anfang an viele Fehlerquellen gab, die sich mit hoher Wahrscheinlichkeitdurch den gesamten Versuch und die Auswertung gezogen haben. Automatisierung beim Zeitnehmenwäre ein guter Schritt, um dem entgegenzuwirken.8