Ebenes Stabtragwerk F 2F

aEbenes StabtragwerkAI1IIGegeben:• Statisch bestimmt gelagertes Stabtragwerk mit denStäben S1 bis S11 und den Knoten I bis VII siehea aa2III6V103 45 IV789VI112FFLageplan• Einzelkräfte an den Knoten IV und VI• a, FGesucht:• Stabkraft S 7BVIITM 1 für BWing, Dr.-Ing. S. WerdinDiese Aufgabe wurde dem Buch „Keine Panik vor Mechanik“ von Oliver Romberg und Nikolaus Hinrichs,Vieweg Verlag, ISBN 3-528-33132-1 entnommen.Die auf den folgenden Seiten dargestellte erste Lösung verwendet den „automatisierbaren“ Lösungsweg (Grundlage vielerRechenprogramme zur Berechnung von Stabtragwerken):• Freischneiden jedes Knotens• Formulieren der vertikalen und horizontalen Kräftegleichgewichte an jedem Knoten,• Lösung des gesamten Gleichungssystems, Bestimmung aller Unbekannten.• Die Auflagerreaktionen ergeben sich bei statisch bestimmt gelagerten Systemen ebenfalls aus dieser Lösung.Der zweite - „von Hand“ rechenbare - Lösungsweg verwendet das Schnittprinzip nach Ritter(siehe angegebene Literatur bzw. Vorlesung):• Bestimmung der Auflagerreaktionen am Gesamtsystem,• geschicktes Freischneiden (Ritterscher Schnitt) der Struktur durch den Stab 7 und max. 2 weitere Stäbe. (Diese 3Stäbe dürfen nicht in einem Knoten zusammentreffen.)• Formulieren der horizontalen und vertikalen Kräftegleichgewichte sowie eines Momentengleichgewichtes (max. 3Unbekannte)• Auflösen der 3 Gleichungen nach der Stabkraft S 7 .TM 1 für BWing, Dr.-Ing. S. Werdin

Freischneidenjedes KnotensLageplan:AIa1IIFreikörperbild:F AIIIa aa2III6V103 45IV789VI112FFS 1S 4S 2 S 3S 5IVS 8FBVIITM 1 für BWing, Dr.-Ing. S. WerdinFreischneidenjedes KnotensLageplan:a aaABIIIV2610IVIIa1 II3 45 IV789VI112FFFreikörperbild:S 1F A I IIF BXS 2 S 3 S 4III S 5IVS 6 S 7 S 8V S 9 VIS 10 S 11VII2FFF BYTM 1 für BWing, Dr.-Ing. S. Werdin

Gleichgewichtsbedingungen horizontal und vertikal an jedem Knoten:⎛⎜sin(45°) = cos(45°) =⎝2 ⎞⎟2⎠I →: + S 1 +I ↑: - S 2 -2 2S 3 + F A = 02 S 3 = 02II →: - S 1 = 0II ↑: - S 4 = 0F AIIIS 1S 1S 4TM 1 für BWing, Dr.-Ing. S. WerdinS 2S 3TM 1 für BWing, Dr.-Ing. S. WerdinGleichgewichtsbedingungen horizontal und vertikal an jedem Knoten:⎛⎜sin(45°) = cos(45°) =⎝2 ⎞⎟2⎠I →: + S 1 +I ↑: - S 2 -2 2S 3 + F A = 02 S 3 = 02II →: - S 1 = 0II ↑: - S 4 = 0III →: + S 5 +III ↑: + S 2 - S 6 -IV →: -IV ↑: +222 2S 7 = 02 S 7 = 022 S 3 - S 5 - F = 02 S 3 + S 4 - S 8 = 0V →: + S 9 = 0V ↑: + S 6 - S 10 = 0VI →: -VI ↑: +2 2S 7 - S 9 -2 S 7 + S 8 -VII →: +VII ↑: + S 10 +22 S 112= 02 S 11 + 2F = 02222 S 11 + F BX = 02 S 11 + F BY = 0Diese Gleichungen haben die Formmit

Gleichgewichtsbedingungen horizontal und vertikal an jedem Knoten:⎛⎜sin(45°) = cos(45°) =⎝2 ⎞⎟2⎠I →: + S 1 +I ↑: - S 2 -2 2S 3 + F A = 02 S 3 = 02II →: - S 1 = 0II ↑: - S 4 = 0III →: + S 5 +III ↑: + S 2 - S 6 -IV →: -IV ↑: +222 2S 7 = 02 S 7 = 022 S 3 - S 5 - F = 02 S 3 + S 4 - S 8 = 0V →: + S 9 = 0V ↑: + S 6 - S 10 = 0VI →: -VI ↑: +2 2S 7 - S 9 -2 S 7 + S 8 -VII →: +VII ↑: + S 10 +Diese Gleichungen haben die Form2A x −b= 02 S 112= 02 S 11 + 2F = 02222 S 11 + F BX = 02 S 11 + F BY = 0TM 1 für BWing, Dr.-Ing. S. Werdinmit+ 1 0 + 220 0 0 0 0 0 0 0 +1 0 00 -12- 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0- 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 +1 02+ 20 0 0 0 0 0 00 +1 0 0 0 -12- 20 0 0 0 0 0 0A =0 0 - 220 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 + 22+1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 +1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 +1 0 0 0 -1 0 0 0 00 0 0 0 0 02- 20 -1 02- 20 0 00 0 0 0 0 02+ 2+1 0 02- 20 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 02+ 20 +1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 +12+ 20 0 +1TM 1 für BWing, Dr.-Ing. S. Werdin

0und S 1F By 0S 2S 3S 4S 5S 600000x =S 7Fb =S 80S 9S 10S 11F AF BX000-2F0TM 1 für BWing, Dr.-Ing. S. WerdinLösung des GleichungssystemsA x − b =0x = A −1bTM 1 für BWing, Dr.-Ing. S. Werdin

mit−A 1=TM 1 für BWing, Dr.-Ing. S. WerdinS 1 04S 23Fx A −1b4 2S 3 -3S 4 0S 513S 6532S 7 -3= 4S 8 -3F= S 7= − Fx =S 9 0S 1053S 1123F A43F BX -13FFFFFFFFF BY -2 F23TM 1 für BWing, Dr.-Ing. S. Werdin

Rittersches Schnittprinzip 1: Bestimmung der Auflagerreaktionen am GesamtsystemaF AXAI1IIF AXa aa2III6V103 45 IV789VI112FF2FFBVIIF BXF BXF BYF BYTM 1 für BWing, Dr.-Ing. S. WerdinRittersches Schnittprinzip 1: Bestimmung der Auflagerreaktionen am GesamtsystemF BY+ 2F =0FBX + FAX−F= 0F AXBF AX3a − F 2a − 2Fa = 0F AX=43FF BY= −2FFF BX1= − F3F BX2FF BYTM 1 für BWing, Dr.-Ing. S. Werdin

Rittersches Schnittprinzip 2: Freischneiden durch den Stab mit gesuchter StabkraftF AXAIa1IIoderF AXAIa1IIa aa2III6V103 45 IV789VI112FFa aa2III6V103 45 IV789VI112FFBVIIBVIIF BXF BXF BYF BYTM 1 für BWing, Dr.-Ing. S. WerdinRittersches SchnittprinzipF AXAaIIIV2610Ia159II3 4711IVS 6 S 7 S 88VI2FF2. Freischneiden durch den Stab mit gesuchter StabkraftGleichgewichtsbedingungen formulieren2FBY + 2F + S6+ S7+ S8= 02Die Länge des Stabes 112beträgt 2 a . Das istgleichzeitig der HebelarmFBX − S7= 0 der Stabkraft S 7 um denPunkt B.2− Fa − S a − S 2aB 28 7= 0ausfolgt:S7 = 2 FBX= −23FBF BXVIIF BYTM 1 für BWing, Dr.-Ing. S. Werdin