5) Gleichgewicht von Kräften - Goepf.bettschen.org

BAULEITER HOCHBAUS T A T I K / F E S T I G K E I T S L E H R E5) GLEICHGEWICHT VONKRAEFTEN(Auflagerreaktionen)1) Einleitung2) Definition3) Gleichgewichtsbedingungen der Ebene4) Beispiele zur Bestimmung von Auflagerreaktionen(Wilhelm Busch)g.bettschen

Statik - Gleichgewicht von Kräften - göpf bettschen - Seite 21) EinleitungAuflagerreaktionKraft (Last)Spannweite lIn der Statik müssen meist für allenachfolgenden Berechnungen dieAuflagerkräfte (Auflagerreaktionen)bekannt sein, wie hier z.B. der Anteilder auf das Brett wirkenden Last aufdie ‚Holzböckli’.Um diese Auflagerkräfte zuberechnen, muss man zuerst einigeGrundlagen über das ‚Gleichgewichtder Kräften’ kennen.2) Definition für ‚Gleichgewicht von Kräften’Eine auf einen Körper wirkende Kräftegruppe, also z. B. Lasten und Auflagerreaktionen,ist dann im Gleichgewicht, wenn sich ihre Wirkung als Ganzes gegenseitig aufhebt.Sie darf also einen Körper in seinem bisherigen Bewegungszustand nicht beeinflussen.Das Newton’sche Axiom:Der Krafteinwirkung (Actio) eines Körpers auf einen anderen entsprichteine gleich grosse, entgegengesetzt gerichtete Wirkung (Reactio)ACTIO = REACTIOF1F1 = - F2Dies bedeutet also folgendes: Wenn ein Körper ruht, so muss er in Ruhe bleiben,oder ein bewegter Körper darf nicht beschleunigt oder gebremst werden.Die Baustatik setzt in der Regel ruhende Körper voraus, also kann man sagen:Soll ein Körper ruhen, so müssen die auf ihn wirkenden Kräfte imGleichgewicht sein.F2

Statik - Gleichgewicht von Kräften - göpf bettschen - Seite 33) Gleichgewichtsbedingungen der EbeneDa die Gesamtheit aller Kräfte durch eine Resultierende ersetzt werden kann (siehe:‚Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften in der Ebene’), so ist eine Kräftegruppe dannim Gleichgewicht, wenn ihre Resultierende gleich Null ist.Aus dieser Erkenntnis können die sogenannten ‚Gleichgewichtsbedingungen der Ebene’formuliert werden.a) analytische BerechnungsmethodeBedingung : R = 0 ( Die Resultierende aller Kräfte ist gleich Null)Die Resultierende R kann in Komponenten zerlegt werden : R V = Summe V = 0 (1. Gleichgewichtsbed. – Vertikalkomponente) R H = Summe H = 0 (2. Gleichgewichtsbed. - Horizontalkomponente)Auch wenn diese beiden Bedingungen erfüllt sind, können z.B. bei einem Kräftepaar(Summe V = 0, Summe H = 0 ) noch Momente auftreten.Diese Momente haben immer das Bestreben den Körper zu bewegen, es muss also nocheine dritte Bedingung eingeführt werden.Diese dritte Bedingung lautet: Die Summe aller statischen Momente bezüglicheines Punktes ist ebenfalls gleich Null.=> Summe M = Summe Fi ai = 0 (3. Gleichgewichtsbed. - Momente)Zur Untersuchung, ob eine Kräftegruppe in der Ebene im Gleichgewicht ist, stehenuns also drei Gewichtsbedingungen zur Verfügung.Oder umgekehrt:Um eine Kräftegruppe in der Ebene ins Gleichgewicht zu bringen, müssen dreiGleichgewichtsbedingungen erfüllt sein.Es gibt also folgende Möglichkeiten:1. Möglichkeit: 1) Summe H = 02) Summe V = 03) Summe Ma = 0 (bezüglich eines Punktes a)2. Möglichkeit: 1) Summe V = 02) Summe H = 03) Summe Mb = 0 (bezüglich eines Punktes b)Die beiden Komponentenbedingungen können auch durch Momentenbedingungenbezüglich verschiedener Punkte ersetzt werden3. Möglichkeit: 1) Summe Ma = 0 (bezüglich eines Punktes a)2) Summe Mb = 0 (bezüglich eines Punktes b)3) Summe Mc = 0 (bezüglich eines Punktes c)(Die Punkte dieser Momentenbedingungen dürfen auf keiner Geraden liegen!)

Statik - Gleichgewicht von Kräften - göpf bettschen - Seite 4b) Graphische Methode* zwei KräfteZwei Kräfte sind dann im Gleichgewicht, wenn sie entgegengesetzt gleich gross sindund auf der gleichen Wirkungslinie liegen.F1F2Falls zwei Kräfte nicht entgegengesetztgleich sind, werden sie immereine Resultierende bilden.Falls zwei entgegengesetzt gleich grosse Kräfte nicht auf der gleichen Wirkungslinie liegen,bilden sie ein Kräftepaar.* mehrere Kräfte auf verschiedenen WirkungslinienGrösse, Richtung und Lage der Resultierenden von mehreren Kräften haben wirzeichnerisch mit Hilfe von Kräfteplan und Seilpolygon gefunden.Beim Gleichgewicht der Kräfte gilt, da R = O und M = O sein müssen:im Kräfteplan darf keine Kraft, und im Seilpolygon dürfen keine Seilstrahlenübrigbleiben, die durch ihren Differenzabstand ein Drehmoment ausüben würden.Die Gleichgewichtsbedingungen für die zeichnerische Lösung lauten also:Schneiden sich mehrere Kräfte in verschiedenen Punkten einer Ebene, dann müssenKrafteck und Seilpolygon geschlossen sein.Das Gleichgewicht mehrerer Kräfte F1,F2,... mit den Wirkungslinien g1,g2,... kann auch mitfolgender Überlegung bestimmt werden:Wir bilden eine Zwischenresultierende R 12,welche durch den Schnittpunkt von g1 und g2gehen muss, dann reduzieren wir alle weiterenKräfte schrittweise. Wenn alle Kräfte imGleichgewicht sind, müssen am Schluss dieletzte Teilresultierende und die übrigbleibendeKraft im Gleichgewicht sein.

Statik - Gleichgewicht von Kräften - göpf bettschen - Seite 54) Bestimmung von AuflagerreaktionenMit den Gleichgewichtsbedingungen der Ebene können nun in statisch bestimmtenSystemen (Definition von ‚statisch bestimmt’ im Kapitel: Die einfachsten statisch bestimmtenTräger’) die unbekannten Auflagerkräfte berechnet werden.Beispiel a:Av = b ∙ F / l = 4.0 ∙ 9.0 / 6.0 = 6.0 kNBv = a ∙ F / l = 2.0 ∙ 9.0 / 6.0 = 3.0 kNKontrolle mit Summe aller vertikalen KräfteAv + Bv + F = 6.0 + 3.0 – 9.0 = 0 → o.k.

Statik - Gleichgewicht von Kräften - göpf bettschen - Seite 6Beispiel b:xAv = ∑ F ∙ x’ / l (Die Summe aller Kräfte mal ihrem Abstand vom Auflager B,geteilt durch den Abstand von A zu B)Av = (80 ∙ 9.5 + 60 ∙ 6.0 + 70 ∙ 3.5 + 60 ∙ 0.0) / 12.0 = 113.75 kNBv = ∑ F ∙ x / l (Die Summe aller Kräfte mal ihrem Abstand vom Auflager A,geteilt durch den Abstand von A zu B)Bv = (80 ∙ 2.5 + 60 ∙ 6.0 + 70 ∙ 8.5 + 60 ∙ 12.0) / 12.0 = 156.25 kNKontrolle mit Summe aller vertikalen KräfteAv + Bv + ∑F156.25 + 113.75 – 80 – 60 – 70 - 60 = 0 → o.k.lX’Beispiel c: