1, + 2, −3, + 4

Ferner erfordert die Summe in den unteren Ringena 6 + a 7 + a 8 + a 9 + a 14 + a 15 = 38,a 9 + a 10 + a 11 + a 12 + a 13 + a 14 = 38.Die Addition beider Gleichungen ergibt76 = a 9 + (a 7 + a 8 + a 9 + a 10 + a 11 ) + a 14 + (a 6 + a 12 + a 13 + a 14 + a 15 ). (4)Gilt (2), so folgt aus (4):76 ≥ 1 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 8 + (8 + 9 + 11 + 12 + 13) = 77.Die Gleichheit (2) ist also nicht erfüllbar.Gilt (3), so folgt aus (4):76 ≥ 1 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 7 + (7 + 10 + 11 + 12 + 13) = 76 (5)und damit a 9 = 1 und a 14 = 7.Im Gebiet A kann also nur die Zahl 1 stehen.Bemerkung 1: Die in a) geforderte zulässige Belegung kann zum Beispiel durch folgendeÜberlegungen gefunden werden:Aus (5) ergibt sich auch a 7 , a 8 , a 10 , a 11 ∈ {2, 3, 4, 5}, a 6 , a 12 , a 13 , a 15 ∈ {10, 11, 12, 13} unddamit a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ∈ {6, 8, 9, 14, 15}. Wegen (3) erhält man a 2 , a 3 , a 4 ∈ {6, 8, 9}, folglicha 1 , a 5 ∈ {14, 15}. Es ergeben sich also zwingend die Beziehungen a 9 = 1, a 14 = 7,a 1 , a 5 ∈ {14, 15},a 2 , a 3 , a 4 ∈ {6, 8, 9},a 7 , a 8 , a 10 , a 11 ∈ {2, 3, 4, 5},a 6 , a 12 , a 13 , a 15 ∈ {10, 11, 12, 13}.Der Anzahl der Permutationen entsprechend ergibt dies 2 · 3! · 4! · 4! = 6912 Möglichkeiten. Soeine Möglichkeit ist genau dann eine zulässige Belegung, falls gilta 1 + a 2 + a 11 + a 12 = 38,a 4 + a 5 + a 6 + a 7 = 38,a 6 + a 7 + a 8 + a 15 = 30,a 10 + a 11 + a 12 + a 13 = 30.Durch Probieren erhält man jetzt mögliche Lösungen.Mittels Computerhilfe findet man, dass es unter diesen 6912 Möglichkeiten insgesamt 74zulässige Belegungen gibt. Diese können durch Zusatzvoraussetzungen weiter eingeschränktwerden. Beispielsweise führt die Vorgabe a 1 = 14, a 2 = 6 und a 3 = 8 zwangsläufig auf die in a)angegebene Lösung.Bemerkung 2: Wird diese Aufgabe in einer Klausur verwendet, sollte die Anzahl der Freiheitsgradedurch zusätzliche Vorgaben eingeschränkt werden. Beispielsweise lenkt die Zusatzvoraussetzunga 2 = 6, a 3 = 8, a 4 = 9 auf eine vereinfachte Form von (3) hin.26