1, + 2, −3, + 4

46. Mathematik-Olympiade1. Stufe (Schulstufe)Klasse 11–13Lösungenc○ 2006 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.V.www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten.461311 LösungDurch Ausmultiplizieren bestätigt man, dass für alle Zahlen n gilt6n 2 + 5n − 4 = (3n + 4)(2n − 1).Ist n > 1, so ist 3n + 4 > 2n − 1 > 1, also ist in diesem Fall (3n + 4)(2n − 1) eine zusammengesetzteZahl. Für n = 1 ist 6n 2 + 5n − 4 gleich der Primzahl 7. Der gegebene Ausdruck stelltsomit genau dann eine Primzahl dar, wenn n = 1 ist.Bemerkung: Die angegebene Faktorzerlegung kann man beispielsweise durch Bestimmung derNullstellen von 6n 2 + 5n − 4 finden. Jedoch ist eine solche Herleitung nicht erforderlich.461312 LösungDer Schnittpunkt von Seitenwand und Boden sei O, der Fußpunkt Bder Leiter A und ihr Endpunkt B (siehe Abbildung L 461312). DerPinsel befinde sich im Punkt P . Da P die Strecke AB halbiert, halbiertder Fußpunkt A ′ des Lotes von P auf die Strecke OA diesel/2(Strahlensatz). Das Dreieck AP O ist also gleichschenklig. Damit istdie Entfernung |OP | = |AP | des Pinsels vom Punkt O bei jeder LagePder Leiter gleich der halben Leiterlänge. Der Pinsel hinterlässt aufder Wand einen Kreisbogen.l/2Lösungsvariante: Die Endpunkte der Leiter seien im kartesischenKoordinatensystem die Punkte A(a; 0) und B(0; b). Für die Längel der Leiter gilt dann nach dem Satz des Pythagoras l = √ a 2 + b 2 . O A′ ADer Pinsel P habe die Koordinaten (x; y) im Mittelpunkt der Leiter. Abbildung L 461312Nach dem Strahlensatz gilt 2x = a und 2y = b, also 4x 2 + 4y 2 = l 2 .Weil dies äquivalent zur Kreisgleichung x 2 + y 2 = ( l 22)ist, muss die Spur des Pinsels einKreisbogen sein.461313 LösungDie Punkte K und L seien die Berührpunkte der gemeinsamen Tangente der Parabeln p 1 undp 2 (siehe Abbildung L 461313). Die Gerade AB habe die Gleichung y = a 3 x + b 3 . Von denrechten Seiten der Gleichungen der Parabeln p 1 , p 2 und p wird nun jeweils a 3 x + b 3 abgezogen.Dann ergeben sich Gleichungen von Parabeln p 1 , p 2 , p. Bei dieser Transformation entstehenkeine neuen Schnittpunkte zwischen den Parabeln und Geraden, denn zwei Punkte (x 1 ; y 1 )und (x 1 ; y 2 ) mit y 1 ≠ y 2 gehen über in (x 1 ; y 1 − a 3 x 1 − b 3 ) und (x 1 ; y 2 − a 3 x 1 − b 3 ) mitunterschiedlichen y-Koordinaten. Also sind die Bildpunkte K ′ und L ′ von K und L unter der24