1, + 2, −3, + 4

46. Mathematik-Olympiade1. Stufe (Schulstufe)Klasse 9/10Lösungenc○ 2006 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.V.www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten.461011 LösungAus der Überprüfung ann = 1 : 1 · 15 + 1 = 16 = 4 2 = (3 + 1) 2n = 2 : 11 · 105 + 1 = 1156 = 34 2 = (33 + 1) 2n = 3 : 111 · 1005 + 1 = 111 556 = 334 2 = (333 + 1) 2ergibt sich folgende Vermutung:a · b + 1 = (z + 1) 2 , wobei z die Zahl ist, deren Ziffernfolge aus n Dreien besteht.Beweis der Vermutung: Im Folgenden seien 11 . . . 1 bzw. 99 . . . 9 die Zahlen, deren Ziffernfolgeaus n Einsen bzw. n Neunen besteht.(z + 1) 2 = (33 . . . 3 + 1) 2 = 33 . . . 3 2 + 2 · 33 . . . 3 + 1= 11 . . . 1 · (3 · 33 . . . 3 + 2 · 3) + 1= a · (99 . . . 9 + 6) + 1mit 99 . . . 9 + 6 = 100 . . . 5 = b= a · b + 1 .Damit ist gezeigt, dass gilt a · b + 1 = (33 . . . 3 + 1) 2 und somit ist die Behauptung bewiesen.Lösungsvariante: Mit a = 10n −1und b = 10 n + 5 lässt sich durch Ausmultiplizieren der Wert9des Terms a · b + 1 wie folgt darstellena · b + 1 = 10n − 19(10 n + 5) + 1 = (10n ) 2 + 4 · 10 n + 49( ) 10 n 2+ 2=.3Wegen 10 n ≡ 1 (mod 3) (bzw. Quersumme(10 n +2) = 3) ist 10 n +2 ohne Rest durch 3 teilbarund deshalb a · b + 1 das Quadrat einer ganzen Zahl.461012 LösungMan denkt sich die Quadrate, in denen jeweils eine Tablette liegen kann, von 1 bis 10 nummeriert.Dann gibt es für die Entnahme von vier Tabletten aus der vollen Palette bei Berücksichtigungder Reihenfolge 10 · 9 · 8 · 7 = 5040 Möglichkeiten. Für die Reihenfolge der viergewählten Quadratnummern gibt es 4 · 3 · 2 · 1 = 24 Möglichkeiten, also für das Bild mit denfehlenden 4 Tabletten 5040 : 24 = 210 Möglichkeiten, wenn man die Palette nicht dreht.20