1, + 2, −3, + 4

46. Mathematik-Olympiade1. Stufe (Schulstufe)Klasse 7Lösungenc○ 2006 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.V.www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten.460711 LösungTeil a) Im ersten Spiel können höchstens 6 Tore gefallen sein, andernfalls entstünde einWiderspruch zur Aussage, dass im zweiten Spiel mehr Tore als im ersten gefallen sind. Somitkommen für das erste Spiel nur die Ergebnisse 0 : 0, 1 : 1, 2 : 2 oder 3 : 3 in Frage. Im zweitenSpiel fielen demzufolge entweder 13, 11, 9 oder 7 Tore. Im zweiten Spiel müssen aber soviele Tore gefallen sein, dass deren Anzahl durch 3 teilbar ist; denn nur dann kann die eineMannschaft doppelt so viele Tore wie die andere erzielen. Diese Bedingung erfüllt unter denoben genannten Anzahlen nur die 9. Hieraus folgt: Das erste Spiel endete 2 : 2 und das zweiteSpiel 6 : 3 für das Nordgymnasium.Teil b) Durch die Feststellung, dass das erste Spiel unentschieden ausgegangen ist, ist dieAnzahl der erzielten Tore gerade. Die Anzahl der Tore im zweiten Spiel muss demnach ungeradegewesen sein, da eine ungerade Zahl minus einer geraden Zahl eine ungerade Zahl ergibt.Es kommen für das zweite Spiel nur zwei Möglichkeiten in Betracht:Anzahl der Tore im 2. Spieldes Nordgymnasiums des Südgymnasiums gesamt2 1 34 2 6, entfällt6 3 98 4 12, entfälltMehr als 4 Tore kann das Nordgymnasium im 2. Spiel nicht geschossen haben, da sonst dieAnzahl der Tore im 2. Spiel größer als die Gesamtzahl 13 wäre. Es ergeben sich demnachzwei mögliche Spielausgänge: 5 : 5; 2 : 1 und 2 : 2; 6 : 3. Die Aufgabe ist demnach nicht mehreindeutig lösbar.Lösungsvariante: Bezeichnet man mit x und y die Anzahl der Tore,die die Mannschaft des Südgymnasiums im ersten bzw. im zweiten Spielgeschossen hat, dann kann man die gegebenen Bedingungen, wie in dernebenstehenden Tabelle angegeben, festhalten.NS1. Spiel x x2. Spiel 2y yDa insgesamt 13 Tore geschossen wurden, gilt 3y + 2x = 13, woraus y = 13 − 2x folgt.3Da im zweiten Spiel mehr Tore fielen als im ersten, gilt 3y > 2x. Da x und y natürliche Zahlensein müssen, gelangt man durch systematisches Probieren zu dem in der unten stehenderTabelle festgehaltenen Ergebnis.14