Vektorgeometrie (Teil 1) Prüfungsvorbereitung 1. Was ... - gxy.ch

Vektorgeometrie (Teil 1)Prüfungsvorbereitung1. Was genau ist ein Vektor?2. Welcher Vektor ist das neutrale Element der Vektoraddition?3. Wie wird eine Summe von Vektoren in der Physik genannt?4. Berechne ⃗a aus der Gleichung 1 3(2⃗a− ⃗ b+⃗c)= 2 ⃗ b−12(⃗a+2 ⃗ b−3⃗c).5. Gegebensind die Vektoren⃗a, ⃗ b,⃗c imrechtwinkligenDreieck.WelchederGleichungensindfalsch?(a) ∣ ∣ ⃗c∣ ∣ =∣ ∣⃗a∣ ∣+∣ ∣⃗b∣ ∣(b) ⃗a = ⃗ b−⃗c(c) ⃗c =⃗a+ ⃗ b(d) ∣ ∣ ⃗c∣ ∣ =∣ ∣⃗a− ⃗ b∣ ∣(e) ⃗ b =⃗c·sinα(f) ∣ ∣ ⃗a∣ ∣+∣ ∣⃗b∣ ∣ >∣ ∣⃗c∣ ∣6. Vereinfache den folgenden Ausdruck so weit wie möglich.(a) −→ AB + −→ −−→ −−→ −−→ −−→BC (b) XY + YX (c) CD −EDα⃗c⃗a−→ −→ (d) AB + CA⃗ b7. K ist der Mittelpunkt der Diagonalen HB und und Mist der Mittelpunkte der Kante FG.⃗a = −→ AB, ⃗−→ −→ b = AD, ⃗c = AEDrücke die folgenden Vektoren durch ⃗a, ⃗ b und ⃗c aus.(a) −→ AF(b) −−→ AM(c) −−→ CM(d) −−→ AK(e) −−→ MK(f) −−→ CK8. Übertrage die Repräsentanten der Vektoren⃗a, ⃗ b und⃗c auf kariertes Papier und lösedamit die folgenden Aufgaben.EAHDKMFBGC⃗a⃗ b⃗c(a) Konstruiere Repräsentanten der Vektoren ⃗s =⃗a+ ⃗ b und ⃗ d =⃗a− ⃗ b.(b) Konstruiere einen Repräsentanten des Vektors ⃗x =⃗a− ⃗ 2b+3⃗c.(c) Zerlege einen Repräsentanten des Vektors ⃗a in die Komponenten von ⃗ b und ⃗c.9. Gegeben ist ein Dreieck ABC. Der Punkt P teiltdie Seite AC im Verhältnis 3 : 2 und der Punkt Qteilt die Seite CB im Verhältnis 1 : 4. In welchemVerhältnis teilt der Schnittpunkt S die StreckenPB und QA?PSCQAB1

Vektorgeometrie (Teil 1) Lösungen+ Prüfungsvorbereitung1. Die Menge (genauer: Äquivalenzklasse) aller Pfeile mit gleicher Länge und gleicherRichtung.2. Der Nullvektor ⃗03. Eine Resultierende4.13( ) ( )2⃗a− ⃗ b+⃗c = 2 ⃗ b−12 ⃗a+2 ⃗ b−3⃗c2 ( 2⃗a− ⃗ b+⃗c ) = 12 ⃗ b−3 ( ⃗a+2 ⃗ b−3⃗c )||·64⃗a−2 ⃗ b+2⃗c = 6 ⃗ b−3⃗a+9⃗c7⃗a = 8 ⃗ b+7⃗c⃗a = 8 7 ⃗ b+⃗c5. (a) falsch(b) falsch(c) richtig(d) richtig(e) falsch(f) richtig6. (a) −→ AB + −→ −→ BC = AC(b) −−→ XY + −−→ YX = −−→ XX = ⃗ O−→ −−→ −−→ −−→ −→(c) CD−ED = CD + DE = CE(d) −→ AB + −→ CA = −→ CA+ −→ AB = −→ CB7. (a) −→ AF =⃗a+⃗c(b) −−→ AM =⃗a+ 1 2 ⃗ b+⃗c(c) −−→ CM = − 1 2 ⃗ b+⃗c(d) −−→ AK = 1⃗a+ 1⃗ b+ 1⃗c2 2 2(e) −−→ MK = − 1⃗a− 1⃗c2 2(f) −−→ CK = − 1 ⃗a− 1⃗ b+ 1 ⃗c 2 2 21

12. DieVektorensindkomplanar,wenneszwei Zahlenungleichnullgibt,welchez.B.dieGleichung ⃗a = x ⃗ b+y⃗c erfüllen?1 = y0 = −x+y−1 = xAus der obersten Gleichung folgt sofort y = 1. Setzt man dieses Ergebnis in diemittleren Gleichung ein, erhält man 0 = −x + 1. Also ist x = 1. Dies ist aber einWiederspruch zur dritten Gleichung. Also sind die drei Vektoren nicht komplanar.13. ⃗v = x·⃗a+y ·⃗b+z ·⃗c ⇔2x+y = 4 (1)y −2z = 10 (2)−x+3y = 5 (3)⎛ ⎞ ⎛4⎝10⎠ = x⎝5(1)+2·(3): 7y = 14y = 220−1⎞ ⎛ ⎞ ⎛1⎠+y⎝1⎠+z⎝30−20⎞⎠⇒ x = 1 ⇒ z = −4⃗v =⃗a+2 ⃗ b−4⃗c3