AB: Steigung, Berg- und Talfahrt

••••SZ Neustadt Bremen · Torsten Warncke · Mathematik 16. September 2009AB: Steigung, Berg- und Talfahrt1 BegriffeVersuchanhandderfolgenden Grafik(Dolomiten)dieBegriffe:Randminimum,Randmaximum,relativesMinimum,relativesMaximum,absolutesMinimum,absolutesMaximumundSteigungzu erläutern.2 SteigungsverlaufWährend einer Bergwanderung werden Aufzeichnungen über die horizontal zurückgelegteStrecke und die jeweils erreichte Höhe über Normalnull (NN) gemacht. Aufgrund dieser Messungenkann der Graph einer Funktion (sog. Höhenprofil s.u.) gezeichnet werden, die jederhorizontalen Entfernung zum Ausgangspunkt eine bestimmte Höhe zuordnet. Beschreibedie Steigung entlang der Wanderstrecke insbesondere an den zehn eingezeichneten PunktenP 0 ,P 1 ,...,P 9 . Wann ist es wie steil oder flach ... ?Höhe über NN in m140013001200110010009008007006005004003002001000•P 0•P 5•P 4•P 3•• P 2P 10 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000Horizontale Entfernung in mP 6P 7P 8P 9

SZ Neustadt Bremen · Torsten Warncke · Mathematik 16. September 20093 LösungshinweiseZur 1. Aufgabe: Randextrema sind ganz links bzw rechts, relative Extrema sind bzgl. ihrernäheren Umgebung, absolute Extrema sind die absolut kleinsten bzw. größten Höhenwerte.Etwas genauer: Der Punkt H (bzw. T) des Funktionsgraphen ist in seiner näheren Umgebungder höchstgelegene (bzw. tiefstgelegene) und wird deshalb lokaler oder relativer Hochpunkt(bzw. Tiefpunkt) genannt. Sein x-Wert heißt Maximalstelle x H (bzw. Minimalstelle x T ), seinFunktionswert heißt Maximum (bzw. Minimum). Ist ein Punkt der höchste bzw. tiefste überhaupt,also absolut gesehen, so spricht man vom absoluten Hochpunkt bzw. absoluten Tiefpunkt.Der Oberbegriff für Hoch-/Tiefpunkt ist Extrempunkt. Der x-Wert des Extrempunktesheißt Extremstelle, der Funktionswert heißt Extremum (oder Extremwert). Punkte haben immerzweiKoordinaten, es reicht nichtaus, nurden x-Wert anzugeben, wenn nachden Punktengefragt ist. Dann muss zusätzlich zu der Stelle auch immer der zugehörige Funktionswert bestimmtwerden! Ist der Wert der Funktion am Rand verschieden zu dem am nächstgelegenenPunkt (also nach innen gesehen), so ist dieser Wert automatisch auch ein Randextremum. ImBild ist der genannte Punkt H der zu dem entsprechenden Gipfel aus den Dolomiten zugehörigeHochpunkt, der nicht nur ein relatives Maximum zu seiner näheren Umgebung darstellt,sondern für das Bild auch ein absolutes Maximum darstellt.Zur 2. Aufgabe: Im Startpunkt scheint der Graph (und damit der Wanderweg) die SteigungNull aufzuweisen. Die ersten 4500 Meter geht die Wanderung bergauf, d.h. die Steigung desFunktionsgraphen ist positiv. Dabei ist die Steigung zunächstgering, wird dann immer größerund nimmt schließlich wieder ab. Bei 4500 Meter, der absolut höchsten Stelle des Wanderweges,ist die Steigung wie bei jedem relativen Extremum Null. Dann ist die Steigung negativ,der Weg geht bergab. Bei 7000 Meter zurückgelegtem Weg ist die Steigung wieder Null, dierestlichen 1000 Meter (von Meter 7000 bis Meter 8000) ist die Steigung wieder positiv. Gibhierbei genauer an wie steil der jeweilige Wanderweg ist. Bediene Dich der Steigungsdreiecke,dieDuindieFunktionsskizzemithineinzeichnest.DieSteigungeinerSekantedurchzweiPunkte P 1 (x 1 |y 1 ),P 2 (x 2 |y 2 ) ist gegeben als m = y 2−y 1x 2 −x 1Dieersten3000horizontalenMeterkönnendurchdieFunktionsgleichung f(x) = 110000 ·x2 +100modelliertwerden.DieserlaubteinequantitativeBeschreibungderzugehörigenSekantenundTangenten.Und mit den bekannten Ableitungsregeln, Potenz-, Summen- und Faktorregel, kann die Steigungauch exakt mit der ersten Ableitung f ′ (x) = x5000 („Steigungsfunktion“) für 0 ≤ x ≤ 3000beschrieben werden.