Lehrtext Vom Dreisatz zur Grundgleichung der ... - Treminer.de

7. Jahrgangsstufe Mathematik– Statistik LehrtextVom Dreisatz zur Grundgleichung der ProzentrechnungEinführendes BeispielDie Umsatzsteuer auf jedes Verbrauchsprodukt beträgt in der Regel 19%. Ein Radiogerätkostet ohne Umsatzsteuer 190,00 e. Bestimme den Betrag der Umsatzsteuer in e.Um dieses Beispiel zu berechnen führen wir einerseits eine Dreisatzrechnung und durchund zum anderen führen wir den Dreisatz mit Variablen durch:Konkrete RechungAllgemeine RechnungDie Prozentrechnung wird von drei Begriffen Damit man diese Rechnung nicht immer wiederw = 19 · 190 e100 = 36,10 e gw = p ·100bestimmt:von vorne ansetzen muss, kann man nunmit Variablen eine allgemeine Lösung erreichen:• Dem Grundwert: 190 e• Dem Prozentsatz 19%• Dem Prozentwert ist in unserm Beispielgesucht:• Grundwert g• Prozentsatz: p%• Prozentwert wDies kann man mit einem Dreisatz lösen:Mit diesen Variablen kann man nun den Dreisatzallgemein durchführen:100% 190 e100% g1% 190 e 1% g10019% 19 · 190 e100= 36,10 egp% p ·100 100In der letzten kann man nun den Prozentwert In der letzten Zeile kann man den Prozentwertentnehmen:entnehmen:In den der Allgemeinen Rechnung haben wir nun eine Beziehung zwischen den dreiGrößen der Prozentrechnung der Prozentrechnung hergestellt. Dieser Zusammenhangwird Grundgleichung der Prozentrechnung genannt:Die Grundgleichung der Prozentrechnung:w = p ·g100c○ 2008–04–12 by Markus Baur using L A TEX Seite: 1

7. Jahrgangsstufe Mathematik– Statistik LehrtextHinweisDie eben hergeleitete Grundgleichung der Prozentrechnung kann man durch umstellenauch in der Literatur üblichen Form darstellen:w = g ·Der Vorteil der Verwendung der Grundgleichung der Prozentrechnung liegt auf der Hand:Man muss nicht für jeden Fall den Dreisatz anwenden, es genügt die gegebenen Größenin die Grundgleichung einsetzt.p100Anwendung der Grundgleichung der Prozentrechnung1. Ein Notebook kostet bei einem Elektrohändler 880 e. Der Händler muss allerdingsnoch die 19% Umsatzsteuer vom Kunden erheben. Berechne, um welchen Betrages sich dabei handelt.• Grundwert: g = 880 e• Prozentsatz: p = 19• Prozentwert w ist gesuchtMan setzt nun die bekannten Größen in die Grundgleichung ein:w = 880 e ·19100w = 167,20 e2. Der Preis für Rohöl hat sich um 0,24 e verteuert. Die Erhöhung des Preises beträgtdamit 15%. Ermittle den ursprünglichen Preis des Rohöls:• Grundwert g ist gesucht.• Prozentsatz: p = 15• Prozentwert: w = 0,24 eMan setzt nun die bekannten Größen in die Grundgleichung ein:0,24 e = g ·15100Damit ist eine Gleichung entstanden, die man nun nach g auflösen muss. Dazumuss man beide Seiten der Gleichung durch 15100 dividieren:0,24 e = g ·15100 | ÷ 15100c○ 2008–04–12 by Markus Baur using L A TEX Seite: 2

7. Jahrgangsstufe Mathematik– Statistik Lehrtext0,24 e ÷ 15100 = g0,24 e · 10015 = g1,60 e = g3. Ein Arbeiter verdient im Monat 1500 e. Bei der Akkordarbeit erhält er einenZuschlag von 27,60 e monatlich. Bestimme den Anteil des Zuschlags am Lohn desArbeiters in %.• Grundwert g = 1500 e• Prozentsatz p ist gesucht• Prozentwert w = 27,60 eMan setz die bekannten Größen in die Grundgleichung ein und erhält:27,60 e = 1500 e ·p100Dadurch entsteht eine Gleichung, die man nun nach p auflöst:27,60 e = 1500 e ·p100 | ÷ 1500 e27,60 e1500 e = p100 | · 100100 · 27,601500 = pp = 1,84%Um die Grundgleichung der Prozentrechnung gewinnbringend anzuwenden geht man inden folgenden Schritten vor:• Notiere dir zunächst, welche Größen gegeben und welche Größegesucht ist.• Setze die gegebenen Größen in die Grundgleichung der Prozentrechnungein. Dadurch entsteht eine Gleichung mit einerVariablen (Unbekannte).• Löse die entstandene Gleichung mit geeigneten Äquivalenzumformungennach dieser Variablen auf.c○ 2008–04–12 by Markus Baur using L A TEX Seite: 3