Die allgemeine Fibonacci-Folge - Hans & Meta Walser

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 2( )( )a n+2 =1n+2a 1 1 a 0 22( ) 1 +n+2( a0 1 a 1 ) 2=1 1 2a 1 1n+2 a0 1 n+2 2 + a 0 1 2n+2 a1 2n+2Für die rechte Seite verwenden wir zusätzlich die Beziehungen 2 p = 1 + 2 undq = 1 2 und erhalten:( )( )n+1( 1 + 2 ) ( a 1 a 0 2 ) 1 +n+1( a0 1 a 1 ) 22 pa n+1 + qa n =1 1 2 n 1 2 ( a 1 a 0 2 ) 1 +n( a0 1 a1 ) 2 n+2a 1 1 a0 n+2 1 2 + a 0 2 n+11 2 n+1 a1 1 2=1+a 1 1 n+1 1 2 a 0 n+1 21 2 +n+2 a0 1 2 n+2a1 2 2 a 1 n+1 1 2 + a 0 n+1 21 2 a0 2 n+11 2 +n+1a1 1 2 =1 n+2a 1 1 1 a0 n+2 n+21 2 + a 0 1 2 n+2 a1 2 2( )Die beiden Seiten stimmen überein, die Rekursion ist erfüllt.Die Folge { a n } ist also die Summe zweier geometrischer Folgen mit den Basen 1 und 2 . Für das Konvergenzverhalten sind die Beträge 1 und 2 entscheidend.Die Funktionat1t()= a 1 1 a 0 22( ) 1 +t( ( a0 1 a 1 ) 2 ), t liefert eine Interpolation der Folge { a n }; der zugehörige Funktionsgraf in der GaußschenEbene setzt sich aus logarithmischen Spiralen zusammen.4 ÜbersichtFür 1 2 gilt folgende Übersicht: 2 < 1 2 = 1 2 > 1 1 < 1NullfolgeKreis alsGrenzkurveLogarithmischeSpirale alsGrenzkurve 1 = 1Kreis alsGrenzkurveBegrenzungdurch KreisringdivergentLogarithmische 1 > 1Spirale alsGrenzkurvedivergentdivergent