Die allgemeine Fibonacci-Folge - Hans & Meta Walser

Hans WalserDie allgemeine Fibonacci-Folge

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-FolgeiiInhalt1 Die Rekursion .........................................................................................................12 Heuristischer Hintergrund .......................................................................................13 Formel von Binet ....................................................................................................14 Übersicht.................................................................................................................25 Sonderfälle..............................................................................................................36 Beispiele .................................................................................................................36.1 Die gewöhnliche Fibonacci-Folge ....................................................................36.2 Nullfolge..........................................................................................................46.3 Kreis als Grenzkurve ........................................................................................56.4 Regelmäßige Kreisteilung.................................................................................66.5 Logarithmische Spirale als Grenzkurve ............................................................76.6 Kreisring ..........................................................................................................86.7 Zyklische Folge................................................................................................96.8 Divergenz....................................................................................................... 107 Zyklische Fibonacci-Folgen .................................................................................. 117.1 Reelle Rekursion ............................................................................................ 117.1.1 Beispiel m = 5.......................................................................................... 127.1.2 Beispiel m = 3.......................................................................................... 157.1.3 Beispiel m = 4.......................................................................................... 167.1.4 Beispiel m = 6.......................................................................................... 177.1.5 Beispiel m = 8.......................................................................................... 197.1.6 Sinus statt Kosinus................................................................................... 217.2 Rein imaginärer Faktor p................................................................................ 227.2.1 Beispiel m = 2.......................................................................................... 237.2.2 Beispiel m = 3.......................................................................................... 237.2.3 Beispiel m = 4.......................................................................................... 247.2.4 Beispiel m = 5.......................................................................................... 25last modified: 7. Oktober 2007Hans WalserMathematisches Institut, Rheinsprung 21, 4051 Baselwww.math.unibas.ch/~walserhwalser@bluewin.ch

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 11 Die RekursionWir studieren Folgen mit der Rekursiona n+2 = 2 pa n+1 + qa n , p,q Der Faktor 2 beim ersten Summanden hat nur ästhetische Gründe. Weiter definierenwir:2 Heuristischer HintergrundAus der Folge a n 1 = p + ( p 2 + q) 1 2 2 = p ( p 2 + q) 1 2{ } bilden wir die Quotientenfolge:Für diese Folge { c n } gilt die Rekursion:c n = a n+1a nc n+1 = 2 p + q c nFalls diese Folge { c n } einen Grenzwert hat, gilt: = 2 p + q 2 2 p q = 0Es gilt dann (Satz von Vieta):( ) 1 2 1,2 = p ± p 2 + q2 p = 1 + 2q = 1 23 Formel von BinetFür die Folge { a n } mit Startwerten a 0 und a 1 gilt explizit die Formel von Binet:a n =1na 1 1 a 0 22( ) 1 +n( ( a0 1 a 1 ) 2 )Dies kann induktiv bewiesen werden:Für n = 0 und n = 1 erhalten wir a 0 beziehungsweise a 1 .Um die Rekursion a n+2 = 2 pa n+1 + qa n zu prüfen, setzen wir die Formel von Binetlinks und rechts ein.Linke Seite:

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 2( )( )a n+2 =1n+2a 1 1 a 0 22( ) 1 +n+2( a0 1 a 1 ) 2=1 1 2a 1 1n+2 a0 1 n+2 2 + a 0 1 2n+2 a1 2n+2Für die rechte Seite verwenden wir zusätzlich die Beziehungen 2 p = 1 + 2 undq = 1 2 und erhalten:( )( )n+1( 1 + 2 ) ( a 1 a 0 2 ) 1 +n+1( a0 1 a 1 ) 22 pa n+1 + qa n =1 1 2 n 1 2 ( a 1 a 0 2 ) 1 +n( a0 1 a1 ) 2 n+2a 1 1 a0 n+2 1 2 + a 0 2 n+11 2 n+1 a1 1 2=1+a 1 1 n+1 1 2 a 0 n+1 21 2 +n+2 a0 1 2 n+2a1 2 2 a 1 n+1 1 2 + a 0 n+1 21 2 a0 2 n+11 2 +n+1a1 1 2 =1 n+2a 1 1 1 a0 n+2 n+21 2 + a 0 1 2 n+2 a1 2 2( )Die beiden Seiten stimmen überein, die Rekursion ist erfüllt.Die Folge { a n } ist also die Summe zweier geometrischer Folgen mit den Basen 1 und 2 . Für das Konvergenzverhalten sind die Beträge 1 und 2 entscheidend.Die Funktionat1t()= a 1 1 a 0 22( ) 1 +t( ( a0 1 a 1 ) 2 ), t liefert eine Interpolation der Folge { a n }; der zugehörige Funktionsgraf in der GaußschenEbene setzt sich aus logarithmischen Spiralen zusammen.4 ÜbersichtFür 1 2 gilt folgende Übersicht: 2 < 1 2 = 1 2 > 1 1 < 1NullfolgeKreis alsGrenzkurveLogarithmischeSpirale alsGrenzkurve 1 = 1Kreis alsGrenzkurveBegrenzungdurch KreisringdivergentLogarithmische 1 > 1Spirale alsGrenzkurvedivergentdivergent

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 35 Sonderfälle• Für 1 = 1, 2 < 1 ergibt sich ein Kreis als Grenzkurve. Dieser Kreis hat den Ursprungals Zentrum und den Radius r 1 = a 1a 0 2 1 2. Falls zusätzlich 1 = e 2is 1 ,s 1 = m 1, ggT mn 1 ,n 11( )= 1 , streben die Folgenglieder gegen die Ecken eines regelmäßigenn 1 -Eckes . Für 1 < 1, 2 = 1 ergibt sich analog ein Kreis als Grenzkurve.Dieser Kreis hat den Radius r 2 = a 0 1 a 1 1 2. Falls zusätzlich 2 = e 2is 2 ,s 2 = m 2, ggT mn 2 ,n 22( )= 1, streben die Folgenglieder gegen die Ecken einesregelmäßigen n 2 -Eckes .• Für 1 = 1 und 2 = 1 sind die Folgenglieder durch einen Kreisring beschränkt.Dieser hat den Außenradius r außen = r 1 + r 2 und den Innenradius r innen = r 1 r 2 .• Für 1 = e 2is 1, s 1 = m 1, ggT mn 1 ,n 11( )= 1 2 = e 2is 2 , s 2 = m 2, ggT mn 2 ,n 22( )= 1erhalten wir eine zyklische Folge mit der Zyklenlänge z = kgV( n 1 ,n 2 ).• Falls 1 und 2 beide reell und positiv sind, ergibt sich für den Funktionsgrafenvon at () in der Gaußschen Ebene eine Gerade.• Für 1 = 2 , also für p 2 + q = 0 versagt die Formel von Binet (Division durchNull).6 BeispieleDie Beispiele werden in der Gaußschen Ebene illustriert. Die Startwerte sind grün eingetragen,die weiteren Folgenglieder rot, der Funktionsgraf von a() t blau.6.1 Die gewöhnliche Fibonacci-FolgeMit der Rekursiona n+2 = a n+1 + a nerhalten wir 1 = 1+ 5 1.618 (Goldener Schnitt), 22 = 1 52Startwerte a 0 = 0 und a 1 = 1:a[0] = 0a[1] = 1a[2] = 1a[3] = 2a[4] = 3a[5] = 50.618 und für die

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 5gilt 1 = 910 , 2 = 910 i ; es ist 1 = 2 = 9 < 1. Wir haben daher eine Nullfolge. Mit10den Startwerten a 0 = 1 und a 1 = 1 + i erhalten wir:2a[0] = 1.0a[1] = 0.5 + 1.0*Ia[2] = - 0.45 + 0.54*Ia[3] = - 0.081 - 0.324*Ia[4] = 0.6561a[5] = 0.32805 + 0.6561*Ia[6] = - 0.295245 + 0.354294*Ia[7] = - 0.0531441 - 0.2125764*Ia[8] = 0.43046721a[9] = 0.215233605 + 0.43046721*Ia[10] = - 0.1937102445 + 0.2324522934*Ia[11] = - 0.03486784401 - 0.139471376*Ia[12] = 0.2824295365a[13] = 0.1412147682 + 0.2824295365*Ia[14] = - 0.1270932914 + 0.1525119497*Ia[15] = - 0.02287679245 - 0.09150716982*Ia[16] = 0.1853020189a[17] = 0.09265100944 + 0.1853020189*Ia[18] = - 0.0833859085 + 0.1000630902*Ia[19] = - 0.01500946353 - 0.06003785412*Ia[20] = 0.1215766546y11xNullfolgeWir sehen, dass in diesem Beispiel jedes vierte Folgenglied reell ist.6.3 Kreis als GrenzkurveFür die Rekursiona n+2 = ( 3 2 + 4 5 i )a n+1 + ( 27 )a n50 1825 i

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 7y11 2xRegelmäßige Kreisteilung als GrenzpunkteFür den Kreisradius erhalten wir in unserem Beispiel r 1 = a 1a 0 2 1 2 0.7293731937 .Wegen 1 = e 3 8 2i streben die Folgenglieder gegen die Eckpunkte eines regelmäßigenAchteckes.6.5 Logarithmische Spirale als GrenzkurveFür 1 = 810 + 710 i und 2 = 1 i ergibt sich die Rekursion:2a n+2 = 4+6i a5 n+1 + 78i20 a nEs ist 1 > 1 und 2 < 1 . Wir erhalten eine Folge, welche sich in einer logarithmischenSpirale annähert.Mit den Startwerten a 0 = 4 und a 1 = 1+ i erhalten wir für a 2 bis a 25 :

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 8y654321−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 1 2 3 4 5−2−3−4−5−6−7x6.6 KreisringFür 1 = 3 5 + 4 5 i und 2 = 5Logarithmische Spirale als Grenzkurve13 + 1213i ergibt sich die Rekursion:a n+2 = 64+112i65a n+1 + 3356i a65 nEs ist 1 = 1 und 2 = 1. Wir erhalten eine Folge, welche sich in einem Kreisringbewegt.Mit den Startwerten a 0 = 2 und a 1 = 1+ 3 2 i erhalten wir für a 2 bis a 500 :

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 101/2*I)*3^(1/2)*ga[9] = - (3/2 - 3/2*I)*f - (1/2 + 3/2*I)*g - (1/2 -1/2*I)*3^(1/2)*f - (1/2 + 1\/2*I)*3^(1/2)*ga[10] = (1/2 - 1/2*I)*g - (3/2 + 1/2*I)*f - (1/2 +1/2*I)*3^(1/2)*f + (1/2 - 1/\2*I)*3^(1/2)*ga[11] = (1/2 - I)*f + 1/2*I*g - 1/2*I*3^(1/2)*f +1/2*3^(1/2)*ga[12] = fa[13] = gEs ist also a 12 = a 0 und a 12 = a 1 .Mit den Startwerten a 0 = 2 und a 1 = 1+ i erhalten wir:y4321−4 −3 −2 −1 1 2 3 4x−1−2−3Zyklische FolgeDer Funktionsgraf ist eine Überlagerung von zwei Kreisbewegungen.6.8 DivergenzFür 1 = 6 5 e 1 4 2i und 1 = e 1 6 2i ergibt sich die Rekursion:( ) ia n+2 = 1 2 + 6 5 + 3 2( ) a n a n+1 + 3 35 3 5 iWegen 1 = 6 5 divergiert die Folge. Mit den Startwerten a 0 = 2 und a 1 = 1+ i erhaltenwir für a 2 bis a 17 :

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 11y2015105−25 −20 −15 −10 −5 5 10 15x−5−10−15Divergente Folge7 Zyklische Fibonacci-FolgenWir diskutieren einige spezielle zyklische Fibonacci-Folgen, also Folgen mit: 1 = e 2is 1, s 1 = m 1, ggT mn 1 ,n 11( )= 1Die Zyklenlänge ist dann z = kgV( n 1 ,n 2 ). 2 = e 2is 2 , s 2 = m 2, ggT mn 2 ,n 22( )= 17.1 Reelle RekursionFür m , m 3, sei = 2 . Die Rekursionma n+2 = 2cos( )a n+1 a nist reell und führt zu einer zyklischen Folge der Länge m.Wegen p = cos ( ) und q = 1 ist: 1 = p + ( p 2 + q) 12 = cos( )+ cos 2 ( ) 1= cos( )+ sin 2 ( ) = cos( )+ isin( )= e i 2 = p ( p 2 + q) 12 = cos( ) cos 2 ( ) 1= cos( ) sin 2 ( ) = cos( ) isin( )= e i

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 12Die Bedingung für eine zyklische Folge ist erfüllt, die Zyklenlänge ist m. Der Funktionsgrafsetzt sich aus zwei Kreisbewegungen entgegengesetzt gleicher Frequenz zusammenund ist daher eine Ellipse. Lange und kurze Halbachsen dieser Ellipse sind:Lange Halbachse = r 1 + r 2 = a 1a 0 2 1 2+ a 0 1 a 1 1 2Kurze Halbachse = r 1 r 2 = a 1a 0 2 1 2 a 0 1 a 1 1 27.1.1 Beispiel m = 5Mit der Rekursiona n+2 = 2cos( 25 )a n+1 a n = 1+ 5 a2 n+1 a nund beliebigen Startwerten a 0 = f und a 1 = g erhalten wir:a[0] = fa[1] = ga[2] = 1/2*g*(5^(1/2) - 1) - fa[3] = -1/2*(5^(1/2) - 1)*(f + g)a[4] = 1/2*5^(1/2)*f - g - 1/2*fa[5] = fa[6] = gBei reellen Startwerten sind alle Folgenglieder reell: mit den reellen Startwerten a 0 = 2und a 1 = 1 erhalten wir:a[0] = 2 = 2.0a[1] = 1 = 1.0a[2] = 1/2*5^(1/2) - 5/2 = -1.381966011a[3] = 3/2 - 3/2*5^(1/2) = -1.854101966a[4] = 5^(1/2) - 2 = 0.2360679775a[5] = 2 = 2.0a[6] = 1 = 1.0y1−2 −1 1 2Reelle SituationMit den komplexen Startwerten a 0 = 1 und a 1 = 1+ i ergibt sich:−1x

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 17a[0] = fa[1] = ga[2] = -fa[3] = -ga[4] = fa[5] = gMit komplexen Startwerten, zum Beispiel a 0 = 2 und a 1 = 1+ i , erhalten wir ein Parallelogramm,ein affin verzerrtes Quadrat also.y1−2 −1 1 2x−1Parallelogramm mit Schwerpunkt im Ursprung7.1.4 Beispiel m = 6Wir erhalten die Rekursion:a n+2 = 2cos( 26 )a n+1 a n = a n+1 a nMit beliebigen Startwerten a 0 = f und a 1 = g ergibt sich:a[0] = fa[1] = ga[2] = g - fa[3] = -fa[4] = -ga[5] = f - ga[6] = fa[7] = gMit komplexen Startwerten, zum Beispiel a 0 = 3 2i und a 1 = 2 + i , erhalten wir einaffin reguläres Sechseck.

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 18y321−3 −2 −1 1 2 3x−1−2−3Affin reguläres SechseckAuch dieses Beispiel kann geometrisch sehr einfach illustriert werden: Wir bilden dasDreieck 0a n a n+1 mit einer Punktspiegelung an 1 2 a n+1 ab. Die „neue“ Ecke ist danna n+2 .a n+20a n+1Geometrische RekursionEs ergibt sich eine Schließungsfigur.a n

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 19a 20a 3a 4a 5a 1a 0Schließungsfigur7.1.5 Beispiel m = 8Wir erhalten die Rekursion:a n+2 = 2cos( 28 )a n+1 a n = 2 a n+1 a nMit beliebigen Startwerten a 0 = f und a 1 = g ergibt sich:a[0] = fa[1] = ga[2] = 2^(1/2)*g - fa[3] = g - 2^(1/2)*fa[4] = -fa[5] = -ga[6] = f - 2^(1/2)*ga[7] = 2^(1/2)*f - ga[8] = fa[9] = gMit komplexen Startwerten, zum Beispiel a 0 = 2 und a 1 = 1+ i , erhalten wir ein affinreguläres Achteck.

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 20y1−2 −1 1 2x−1Affin reguläres AchteckDie Rekursion a n+2 = 2 a n+1 a n kann geometrisch nachvollzogen werden: Wir streckena n+1 mit dem Faktor 2 , anschließend ergänzen wir die drei Punkte0, a n , 2a n+1 zum Parallelogramm. Der vierte Parallelogrammpunkt ist dann a n+2 .a n+20a n+12 a n+1a nDies führt zu einer Schließungsfigur.Rekursion

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 21SchließungsfigurDie Figur ist das affine Bild einer regulären Figur.Reguläre Figur7.1.6 Sinus statt KosinusWir ersetzen in der Rekursionsformel den Kosinus durch den Sinus:a n+2 = 2sin( 2m )a n+1 a n

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 22Damit erhalten wir ebenfalls eine zyklische Folge. Die Zyklenlänge ist allerdings nichtmehr m, sondern:z( m4m)=ggT( 4m, m4)Der Grund für diese etwas komplizierte Formel liegt darin, dass wir bei der Berechnungvon 1,2 eine zusätzlichen Faktor i, geometrisch also eine Vierteldrehung, erhalten.Tabelle:m z3 124 15 206 127 288 89 3610 2011 4412 613 5214 2815 6016 1617 6818 3619 7620 5Beispiel m = 10 . Wir haben die Zyklenlänge 20. Für die Startwerte a 0 = 2 unda 1 = 1+ i ergibt sich folgende Figur mit „Überspringungen“.y1−2 −1 1 2x−17.2 Rein imaginärer Faktor pEs sei wieder = 2m. Die RekursionÜberspringungena n+2 = 2i sin( )a n+1 + a n

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 23führt für m 4 zu einer zyklischen Folge.Wegen p = icos ( ) und q = 1 ist: 1 = p + ( p 2 + q) = isin( )+ sin 2 ( )+ 1 = isin( )+ cos( )= e i 2 = p ( p 2 + q) = isin( ) sin 2 ( )+ 1 = isin( ) cos( )= e -iFallunterscheidung: Für m gerade ergibt sich eine Zyklenlänge z = m . Für m ungeradeergibt sich eine Zyklenlänge z = 2m .7.2.1 Beispiel m = 2Wir erhalten die Rekursion a n+2 = a n . Die Folge besteht alternierend aus a 0 und a 1 .7.2.2 Beispiel m = 3Wir erhalten die Rekursion a n+2 = iund a 1 = g ergibt sich:a[0] = fa[1] = ga[2] = f + I*3^(1/2)*ga[3] = I*3^(1/2)*f - 2*ga[4] = - 2*f - I*3^(1/2)*ga[5] = g - I*3^(1/2)*fa[6] = fa[7] = gWir sehen die Zyklenlänge 6.Mit den Startwerten a 0 = 5 + 3i und a 1 = 1 + 2i ergibt sich:y3 a n+1 + a n . Für beliebige Startwerte a 0 = f654321−9−8−7−6−5−4−3−2−1 −1 1 2 3 4 5 6 7 8−2x−3−4−5−6−7−8−9−10m = 3

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 247.2.3 Beispiel m = 4In diesem Fall ist a n+2 = 2i a n+1 + a n . Ferner ist 1 = 2 = i ; die Formel von Binetfunktioniert also nicht (Division durch Null). Für beliebige Startwerte a 0 = f unda 1 = g ergibt sich:a[0] = fa[1] = ga[2] = f + 2*I*ga[3] = 2*I*f - 3*ga[4] = - 3*f - 4*I*ga[5] = 5*g - 4*I*fa[6] = 5*f + 6*I*ga[7] = 6*I*f - 7*ga[8] = - 7*f - 8*I*ga[9] = 9*g - 8*I*fa[10] = 9*f + 10*I*ga[11] = 10*I*f - 11*ga[12] = - 11*f - 12*I*ga[13] = 13*g - 12*I*fa[14] = 13*f + 14*I*ga[15] = 14*I*f - 15*ga[16] = - 15*f - 16*I*ga[17] = 17*g - 16*I*fa[18] = 17*f + 18*I*ga[19] = 18*I*f - 19*ga[20] = - 19*f - 20*I*ga[21] = 21*g - 20*I*fMit den Startwerten a 0 = 5 + 3i und a 1 = 1 + 2i ergibt sich:y4020−40 −20 20 40−20x−40Archimedische Spirale?Der Polygonzug ist annähernd eine eckige archimedische Spirale.

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 257.2.4 Beispiel m = 5Die Zyklenlänge ist 10.y10−10 10x−10Zyklenlänge 10