Der Millikan-Versuch

Der Millikan-VersuchSchematischer Versuchsaufbau:ÖltröpfchenZerstäuberÖlObere Kondensatorplattemit Durchlassöffnung fürgeladene ÖltröpfchenDunkelfeldmethode(Lichtquelle istnicht auf dasMikroskopLichtquelleUntere KondensatorplatteMikroskopZwischen den Kondensatorplattenkann eine elektrische Spannung Uangelegt werden.Durchführung:--- Wird noch ergänzt! ---Schwebefall:Im Schwebefall herrscht ein Gleichgewicht zwischen der nach unten wirkenden Schwerkraftund der nach oben gerichteten elektrischen Kraft: Fel= FG.UUSomit gilt q ⋅ E = m ⋅ g . Mit E = und m = ρ ⋅ V folgt: q ⋅ = ρ ⋅ V ⋅ g . Mit dem Radiusdd4 3eines Öltröpfchens V = ⋅ π ⋅ r ergibt sich für die Ladung q eines Öltröpfchens:34 3ρ ⋅ π r ⋅ g ⋅ d33ρ ⋅ V ⋅ g ⋅ d 3 4 π ⋅ r ⋅ρ ⋅ g ⋅ d4 π ⋅ r ⋅ ρ ⋅ g ⋅ dq = = = ⋅q = ⋅U U 3 U3 UDie Ladung q kann somit aus den Messwerten ermittelt werden. Problematisch istallerdings, dass der Radius r des Öltröpfchens auf Grund der Dunkelfeldmethode nur sehrungenau bestimmt werden kann, denn im Mikroskop sieht man nicht das Öltröpfchen direkt,sondern nur ein Beugungsscheibchen des Öltröpfchens. Dieses Problem kann mit Hilfe derweiter unten aufgeführten Gleichfeldmethode gelöst werden.

Eine weitere Schwierigkeit besteht in der genauen Festlegung der Spannung zwischen denKondensatorplatten, bei der ein Öltröpfchen schwebt, denn die Brown'scheMolekularbewegung führt zu einer Zitterbewegung des Öltröpfchens.Bewegung eines Öltröpfchens im feldfreien Kondensator (U = 0):Der Radius eines Öltröpfchens kann ermittelt werden, wenn ein Öltröpfchen im feldfreienKondensator fällt. Dabei steigt die Geschwindigkeit des Tröpfchens nur für eine kurze Zeit,denn auf Grund der Luftreibung stellt sich relativ schnell ein Gleichgewicht zwischen derSchwerkraft und der Luftreibungskraft ein, sodass das Öltröpfchen dann mit konstanterGeschwindigkeit sinkt.Für die Luftreibung kann hier in guter Näherung der geschwindigkeitsproportionale Ansatznach Stokes verwendet werden. Die Reibungskraft ist dann FR= 6 ⋅ π ⋅ η⋅ r ⋅ v , wobei η hierfür die Viskosität der Luft steht und r für den Radius des Tröpfchens und v für dieGeschwindigkeit des Tröpfchens.Man erhält im Fall des Sinkens mit konstanter Geschwindigkeit somit folgendesKräftegleichgewicht: FR = FG.Daraus folgt mit FR= 6 ⋅ π ⋅ η⋅ r ⋅ v und FG6 ⋅ π ⋅ η⋅ r ⋅ v = m ⋅ g . Mit m = ρ ⋅ V ergibt sich:Nach weiterer Rechung folgt:nach dem Radius des Öltröpfchens aufgelöst:= m ⋅ g die folgende Beziehung:4⋅ π ⋅ η⋅ ⋅ = ρ ⋅ ⋅ = ρ ⋅ ⋅ ⋅ π ⋅ .336 r v V g r g29 ⋅ η⋅ v = 2 ⋅ ρ ⋅ r ⋅ g . In einem letzten Schritt wird nun nochr =9 ⋅ η⋅ v.2 ⋅ ρ ⋅ gAnmerkung:Bei der Darstellung des Kräftegleichgewichts wurde eine Kraft ignoriert: die Auftriebskraft,die das Öltröpfchen in der Luft erfährt. Um diesen Umstand zu berücksichtigen wird für dieDichte des Öls oftmals ein um die Dichte der Luft verminderten Wert angenommen:ρ = ρ − ρ .Öl*ÖlLuftGleichfeldmethode:Bei der Gleichfeldmethode wird die Kondensatorspannung vom Betrag her konstant gehalten,aber nach einer gewissen Zeit umgepolt, sodass ein Öltröpfchen erst mit konstanterGeschwindigkeit vsin ksinkt, anschließend mit konstanter Geschwindigkeit vsteigsteigt.Zunächst werden die Kräftebilanzen für den Sink- und für den Steigfall aufgestellt.Sinkfall: FR = FG + Fel6 ⋅ π ⋅ η⋅ r ⋅ vsin k= m ⋅ g + q ⋅ Em ⋅ g + q ⋅ Evsin k=6 ⋅ π ⋅ η⋅ r(1)

Steigfall: Fel = FG + FRq ⋅ E = m ⋅ g + 6 ⋅ π ⋅ η⋅ r ⋅ v steigq ⋅ E − m ⋅ gvsteig=6 ⋅ π ⋅ η⋅ r(2)Somit liegt ein Gleichungssystem vor, das nach der Ladung q aufgelöst werden soll. Zudemist es wichtig, dass der schlecht zu messende Radius r nach Möglichkeit eliminiert werdenkann.Wenn man zunächst beide Gleichungen sowohl addiert als auch voneinander subtrahiert,erhält man folgende Gleichungen.(1) (2) :+ v v ( mg qE qE mg)(1) (2) :sin k1 2qE+steig= + + − =6 ⋅ π ⋅ η⋅ r 6 ⋅ π ⋅ η⋅ r− v v ( mg qE qE mg)sin k1 2mg−steig= + − + =6 ⋅ π ⋅ η⋅ r 6 ⋅ π ⋅ η⋅ r(3)(4)4In Gleichung (4) wird nun die Masse m durch m V r3⎛ 4 3 ⎞2 ⋅ r g22mg⎜ ⋅ π ⋅ ⋅ ρ⎟⋅34 ⋅ r ⋅ρ ⋅ g(5) => vsin k− vsteig= =⎝ ⎠=6 ⋅ π ⋅ η⋅ r 6 ⋅ π ⋅ η⋅ r 9 ⋅ η3= ⋅ρ = ⋅ π ⋅ ⋅ρ ersetzt.Da in Gleichung (5) der Radius r quadratisch im Zähler auftritt, quadriert man Gleichung (3)und multipliziert diese mit Gleichung (5):(5)(3) => ( v v )2 22 4q E+ =36 ⋅ π ⋅ η ⋅ rsin k steig 2 2 2(6)(6) ( 5 ) :2⋅ ( v v ) ( v v )sin k steig sin k steig 2 2 22 2 24q E 4 ⋅ r ⋅ ρ ⋅ g+ − = ⋅36 ⋅ π ⋅ η ⋅ r 9 ⋅ η2( v v ) ( v v )+ − =2 24 ⋅ q ⋅ E ⋅ ρ ⋅ gsin k steig sin k steig 2 3Nun wird nur noch nach q aufgelöst:q2=2( sin k steig ) ( sin k steig )v + v v − v ⋅81⋅ π ⋅ η39πη 124 ⋅ E ⋅ ρ ⋅ g2 3( sin k steig ) ( sin k steig )q = ⋅ ⋅ ⋅ v + v v − v2 ρ ⋅ g EDie elektrische Feldstärke kann durch E81⋅ π ⋅ η= U / d ersetzt werden:39πη d( sin k steig ) ( sin k steig )q = ⋅ ⋅ ⋅ v + v v − v2 ρ ⋅ g UDie Größen auf der rechten Seite derGleichung können alle relativ einfachgemessen werden. Der Radius r tauchtwie gewünscht nicht mehr auf.