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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Vorwort 7
1 Ganzrationale Funktion – Funktionenschar 1 9
2 Ganzrationale Funktion – Funktionenschar 2 14
3 Ganzrationale Funktion – Werkseisenbahn 19
Nordrhein-Westfalen Abitur 2007
4 Ganzrationale Funktion – Verkehrszählung 24
Baden-Württemberg Abitur 2006
5 Gebrochenrationale Funktion – Kegel 28
Baden-Württemberg Abitur 2008
6 Gebrochenrationale Funktion – Taylorfunktion 1 32
Niedersachsen Abitur 2008
7 Gebrochenrationale Funktion – Taylorfunktion 2 36
Niedersachsen Abitur 2008
8 Gebrochenrationale Funktion – Kurvenschar 41
Baden-Württemberg Abitur 2007
9 Gebrochenrationale Funktion – Flaschenproduktion 45
Hessen Abitur 2008
10 Exponentialfunktion – Kurvenuntersuchung 50
Hessen Abitur 2007
11 Exponentialfunktion – Epidemie 55
Baden-Württemberg Abitur 2009
12 Exponentialfunktion – Abkühlung 59
13 Exponentialfunktion – Pharmaunternehmen 63
Niedersachsen Abitur 2006
14 Exponentialfunktion – Fischteich 67
Niedersachsen Abitur 2006
15 Exponentialfunktion – Algenpest 71
Nordrhein-Westfalen Abitur 2007
16 Wurzelfunktion – Cocktailglas 75
Hessen Abitur 2007
5

Inhaltsverzeichnis
17 Trigonometrische Funktion – Näherungskurve 79
18 Trigonometrische Funktion – Funktionenschar 83
Niedersachsen Abitur 2007
19 Trigonometrische Funktion – Nordseehafen 89
Niedersachsen Abitur 2007
Stichwortverzeichnis 93
6

Vorwort
Vorwort
In diesem Aufgabenbuch finden Sie 18 Aufgaben für Prüfungsvorbereitungsklassen. Die Aufgaben
sind nach Funktionenklassen sortiert und bieten eine breite Auswahl an Aufgabentypen und Schwie-
rigkeitsgeraden.
Am Anfang finden Sie rein mathematische «klassische» Aufgaben, anschließend gemischte Aufga-
ben und zum Schluss eher anwendungsbezogene Aufgaben. Im Anschluss an die Aufgaben befindet
sich eine ausführliche Lösung, mit der auch Ihre Schüler die Bearbeitung der Aufgabe gut nachvoll-
ziehen können.
Da es Aufgaben für Computeralgebrasysteme erst seit relativ kurzer Zeit gibt, ist das Ausmaß, in
dem das Gerät zum Lösen der Aufgaben eingesetzt wird, zum Teil recht unterschiedlich.
Bei komplexen Eingaben sind Eingabehinweise für die Geräte von Casio und Texas Instruments
angegeben.
Bei Aufgaben, bei denen es sich um ehemalige Abituraufgaben aus verschiedenen Bundesländern
handelt, ist dies im Inhaltsverzeichnis angegeben.
Wir hoffen, dass dieses Buch Ihnen bei der Abiturvorbereitung Ihrer Schüler hilft.
Helmut Gruber, Robert Neumann
7

17 Trigonometrische Funktion – Näherungskurve
Gegeben ist die Funktion f durch f (x) = (x + 1) · sin(x); x ∈ IR.
17. Trigonometrische Funktion – Näherungskurve
a) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f für −4π � x � 4π und beschreiben Sie seinen
Verlauf.
Berechnen Sie alle Nullstellen von f (x) exakt. Berechnen Sie die Stellen mit waagerechter
Tangente im Bereich −π � x � π.
b) Stellen Sie die Gleichung der Tangente t(x) an den Graphen von f im Ursprung auf.
Bestimmen Sie alle Stellen, an denen die Tangente t(x) den Graphen der Funktion f (x) schnei-
det.
Berechnen Sie den exakten Abstand der Tangente t(x) vom Graphen von f (x) an der Stelle
x = − 3
2 π.
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt, der von der x-Achse und dem Graphen der Funktion f (x)
für −π � x � 0 eingeschlossen wird.
d) Stellen Sie die Gleichung der Parabel auf, die an den Stellen x = −π und x = −1 die gleichen
Funktionswerte wie f (x) und an der Stelle x = −π die gleiche Steigung wie der Graph von f
hat.
Vergleichen Sie den Graphen der Parabel mit dem Graphen von f (x).
79

17. Trigonometrische Funktion – Näherungskurve
Lösung
Es ist f (x) = (x + 1) · sin(x); x ∈ IR
80
a) Anhand des Graphen kann man erkennen, dass alle Nullstellen bis auf eine den gleichen Ab-
stand π voneinander haben. Diese «zusätzliche» Nullstelle befindet sich zwischen −π und 0
bei x = −1.
Je größer der Betrag der x-Koordinate, desto größer ist der Betrag der y-Koordinate der Ex-
trempunkte.
Zur Berechnung der Nullstellen setzt man f (x) gleich Null:
(x + 1) · sin(x) = 0 führt zu x + 1 = 0 ⇒ x1 = −1 oder sin(x) = 0 ⇒ x = k · π ; k ∈ Z.
Für die Stellen mit waagerechter Tangente bildet man die 1. Ableitung von f mit Hilfe der
Produktregel oder dem CAS:
f ′ (x) = sin(x) + (x + 1) · cos(x)
Setzt man f ′ (x) = 0, so erhält man: sin(x) + (x + 1) · cos(x) = 0 mit den Lösungen:
x1 ≈ −2,25, x2 ≈ −0,48 und x3 ≈ 1,90 (CAS).
b) Für die Tangentengleichung durch den Ursprung benötigt man die Steigung m, die mit Hilfe
der 1. Ableitung von f berechnet wird: m = f ′ (0) = sin(0) + (0 + 1) · cos(0) = 1.
Somit lautet die Gleichung der Tangente: t(x) = 1 · x bzw. t(x) = x.
Die Schnittstellen von Graph und Tangente erhält man durch Gleichsetzen der Funktionsglei-
chungen:

f (x) = t(x) führt zu (x + 1) · sin(x) = x mit den Lösungen:
x1 = 0, x2 ≈ 2,36 , x3 ≈ 7,36 und x4 ≈ 8,32 (CAS).
17. Trigonometrische Funktion – Näherungskurve
Um den Abstand von Graph und Tangente an der Stelle x = − 3
2π zu berechnen, bestimmt man
die Differenz der y-Werte. Es ist:
und
Somit gilt:
f
�
− 3
2 π
� �
= − 3
π + 1
2
f
�
�
t − 3
2 π
�
= − 3
2 π
�
· sin − 3
2 π
� �
= − 3
π + 1
2
�
− 3
2 π
� �
−t − 3
2 π
� �
= − 3
π + 1
2
�
�
�
− − 3
2 π
�
= 1
· 1 = − 3
π + 1
2
Der Abstand des Graphen zur Tangente an der Stelle x = − 3
2π beträgt 1LE.
c) Zur Berechnung des Flächeninhalts zwischen x-Achse und dem Graphen im Intervall [−π ; 0]
muss man zwei Teilflächen berechnen, da zwischen x1 = −π und x3 = 0 noch die Nullstelle
x2 = −1 liegt. Eine Teilfläche liegt oberhalb, die andere unterhalb der x-Achse (siehe Zeich-
nung) . Somit gilt:
� � x2
x3
A = f (x)dx +
=
x1
� −1
−π
x2
� �
0 − f (x) dx
�
�
(x + 1) · sin(x) dx +
≈ 0,16 + 1,30 = 1,46
Der Flächeninhalt beträgt also ca. 1,46FE.
� 0
−1
�
�
−(x + 1) · sin(x) dx
d) Als Ansatz für die Parabel verwendet man die allgemeine Parabelgleichung:
p(x) = ax 2 + bx + c. Die 1. Ableitung ist: p ′ (x) = 2ax + b.
Es gilt:
f (−π) = (−π + 1) · sin(−π) = 0 = p(−π)
f (−1) = (−1 + 1) · sin(−1) = 0 = p(−1)
f ′ (−π) = sin(−π) + (−π + 1) · cos(−π) = π − 1 = p ′ (−π)
Damit erhält man folgende Bedingungen: p(−π) = 0, p(−1) = 0 und p ′ (−π) = π − 1
Bestimmen der Parameter mit dem CAS
TI: a · x 2 + b · x + c → p(x)
2 · a · x + b → p1(x)
solve (p(−π) = 0 and p(−1) = 0 and p1(−π) = π − 1,{a, b, c})
Beim TInspire kann man das Gleichungssystem auch wie folgt eingeben:
⎛⎧
⎞
⎪⎨ p(−π) = 0
⎜
⎟
solve⎝
p(−1) = 0 a, b, c⎠
⎪⎩
p1(−π) = π − 1
81

17. Trigonometrische Funktion – Näherungskurve
82
Casio: Define p(x) = ax 2 + bx + c
Define p1(x) = 2ax 2 + bx
Man benutzt das 2D-Menü zum Lösen des Gleichungssystems (mehrmals tippen, um drei
Zeilen zu erhalten):
⎧
⎪⎨
⎪⎩
p(−π) = 0
p(−1) = 0
p1(−π) = π − 1
�
�
�
�
�
�
�
a, b, c
Mit dem CAS erhält man als Lösung: a = −1, b = −π − 1 und c = −π.
Somit hat die Parabel die Gleichung: p(x) = −x 2 + (−π − 1)x − π.
Die Parabel und der Graph von f stimmen im Intervall −π � x � −1 ungefähr überein, an-
sonsten überhaupt nicht.