Erfolg im Mathe-Abi - Freiburger Verlag

Gruber I Neumann
Erfolg im
Mathe-Abi
Niedersachsen
Schwerpunkt 2010
grundlegendes Anforderungsniveau

Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Vorwort ......................................................................................................................................... 7
Die thematischen Schwerpunkte für das Abitur 2010 ............................................................... 10
Analysis
1 Schwerpunktaufgaben Basiswissen .................................................................................. 19
2 Funktionenschar 1 – GTR ................................................................................................. 22
3 Funktionenschar 2 – GTR ................................................................................................. 23
4 Funktionenschar 3 – GTR ................................................................................................. 24
5 Sonnenblume – GTR......................................................................................................... 25
6 Medikament – GTR .......................................................................................................... 26
7 Infusion – GTR ................................................................................................................. 27
8 Abitur Niedersachsen 2006 Aufgabe 1A – GTR .............................................................. 28
9 Abitur Niedersachsen 2006 Aufgabe 1B – GTR .............................................................. 29
10 Funktionenschar 1 – CAS ................................................................................................. 30
11 Funktionenschar 2 – CAS ................................................................................................. 31
12 Abitur Niedersachsen 2006 Aufgabe 1A – CAS .............................................................. 32
13 Abitur Niedersachsen 2006 Aufgabe 1B – CAS .............................................................. 33
Analytische Geometrie / Lineare Algebra
14 Farbherstellung – GTR/CAS ............................................................................................ 36
15 Fischfarm – GTR/CAS ..................................................................................................... 37
16 Konservenfabrik – GTR/CAS........................................................................................... 38
17 Fertighäuser – GTR/CAS .................................................................................................. 39
Stochastik
18 Schwerpunktaufgaben Basiswissen .................................................................................. 41
19 Werbekampagne – GTR/CAS ........................................................................................... 45
20 Mobiltelefone – GTR/CAS ............................................................................................... 46
21 Raucher – GTR/CAS ........................................................................................................ 47
22 Überraschungseier – GTR/CAS ....................................................................................... 48
Tipps .......................................................................................................................................... 49
Lösungen ................................................................................................................................... 71
Binomialverteilungstabellen ................................................................................................. 149
Stichwortverzeichnis .............................................................................................................. 155

Vorwort
Erfolg von Anfang an
Vorwort
Dieses Übungsbuch ist speziell auf die Anforderungen des Mathematik-Abiturs 2010 für das
grundlegende Anforderungsnivau (gA) in Niedersachsen abgestimmt.
Es deckt das Schwerpunktwissen für das Abitur 2010 in den Bereichen Analysis, Analytische
Geometrie/ Lineare Algebra und Stochastik ab. Grundlegende Aufgaben fördern das Grundwissen
und die Grundkompetenzen, vom einfachen Rechnen und Formeln anwenden bis zum Verstehen
von gedanklichen Zusammenhängen. Original-Abituraufgaben zu den Schwerpunkten fördern
das Denken bei Anwendungsaufgaben und die Vernetzung des Gelernten.
Der blaue Tippteil
Hat man keine Idee, wie man eine Aufgabe angehen soll, hilft der blaue Tippteil in der Mitte des
Buches weiter: Zu jeder Aufgabe gibt es dort Tipps, die helfen, einen Ansatz zu finden, ohne die
Lösung vorwegzunehmen.
Wie arbeitet man mit diesem Buch?
Am Anfang jedes Bereichs finden Sie grundlegende Aufgaben zu den Schwerpunktthemen für
das Jahr 2010. Es folgen Aufgaben, die in Anspruch und Umfang den Aufgaben im Abitur entsprechen
und Original-Abituraufgaben, die für den Schwerpunkt 2010 passend sind.
Im Block 2 (Geometrie und Stochastik) gibt es unterschiedliche Aufgabenlängen, je nachdem,
welcher Block im Abitur gewählt wird. (Block 2A: Schwerpunkt Stochastik, Block 2B Schwerpunkt
Analytische Geometrie.)
Es gibt drei Aufgabentypen in diesem Buch:
• Aufgaben für den GTR. Diese können Sie auch mit dem CAS lösen, teilweise vereinfachen
sich dabei Lösungsschritte.
• Aufgaben für GTR und CAS. Bei diesen Aufgaben spielt es keine Rolle, ob Sie einen GTR
oder ein CAS verwenden (vor allem in der Geometrie und Stochastik).
• Aufgaben für CAS. Diese Aufgaben lassen sich mit dem GTR nur teilweise lösen.
Allen Schülern, die sich auf das Abitur vorbereiten, wünschen wir viel Erfolg.
Helmut Gruber, Robert Neumann
7

Das Rechnen mit GTR und CAS
Vorwort
Mit Hilfe des grafikfähigen Taschenrechners (GTR) und des Computeralgebrasystems (CAS)
können komplexere Aufgaben relativ schnell gelöst werden.
Allerdings ist die Eingabe oft komplizierter, als bei einem herkömmlichen Taschenrechner, der
Rechner «verzeiht» formale Eingabefehler nicht und liefert Fehlermeldungen die verwirren können.
Auch gibt es Aufgaben, die das CAS zu überfordern scheinen, obwohl es sich um lösbare
Fragestellungen handelt. Aus diesen Gründen haben wir bei den Lösungen Eingabetipps für komplexere
Fragestellungen eingefügt. Da es eine Vielzahl von Modellen der verschiedenen Hersteller
gibt, haben wir uns auf die wesentlichen Tipps beschränkt und auf Screenshots verzichtet.
Hier noch einmal die wichtigsten Dinge im Überblick:
Das Minuszeichen
Es gibt auf den Taschenrechnertastaturen zwei Minuszeichen. Das eine ist das «normale» Minuszeichen,
dass bei den anderen Rechenoperationen steht. Das zweite Minus ist das «Vorzeichen-
Minus», es ist meist kürzer dargestellt und von einer Klammer umgeben: (-). Dieses Zeichen wird
dann verwendet, wenn eine negative Zahl eingegeben wird.
Die Tastenbelegungen
Viele Tasten sind bei den Geräten mehrfach belegt. In den Tipps werden die Tastenbezeichnungen
in eckigen Klammern angegeben. Beispiel: [sin] für die Sinus-Taste. Handelt es sich um
eine Zweitbelegung der Taste, ist dies hochgestellt vor der eckigen Klammer vermerkt, z.B.
2nd [MATRX] (bei TI-Geräten) oder S [Trace] (bei Casio-Geräten).
Gleichungssysteme
Bei den verschiedenen Geräten gibt es unterschiedliche Arten, ein lineares Gleichungssystem zu
lösen. Die neueren Geräte akzeptieren eine Eingabeform, bei der die Gleichungen untereinander
eingegeben werden können. Das ist übersichtlicher als die bisherige Eingabe, bei der die Gleichungen
mit «and» verknüpft werden.
Bei den grafikfähigen Taschenrechnern werden Gleichungssysteme in der Regel mit Hilfe von
Matrizen gelöst, indem der rref-Befehl verwendet wird.
Eine Besonderheit ist bei den GTR-Geräten von CASIO zu beachten: Diese bieten eine Gleichungslösefunktion
für lineare Gleichungssysteme. Diese unterscheidet aber nicht, ob es sich
um ein Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen oder ein unlösbares Gleichungssystem
handelt. Daher sollten Gleichungssysteme auch hier mit Hilfe einer Matrix und des rref-Befehls
gelöst werden.
9

Thematische Schwerpunkte
Die thematischen Schwerpunkte für das Abitur 2010
Analysis
• Scharen von ganzrationalen Funktionen
• Ortslinien
• Exponentialfunktionen mit Anwendungsbezug
Geometrie
Grundlage für die Abiturprüfung 2010 ist der Inhaltsstrang «Anwendung von Matrizen bei mehrstufigen
Prozessen (A3)» der EPA Mathematik. Die Prüflinge sollem im Bereich der Lineare
Algebra die Matrizen als zweckmäßiges Hilfsmittel zur Beschreibung und Bearbeitung von Prozessen
kennen und anwenden können.
Weiterhin sollen sie nachweisen, dass sie über eine sichere mathematische Orientierung im Anschauungsraum
verfügen und die Verfahren der Vektorgeometrie zur Analyse und Synthese der
Lagebeziehungen von Objekten im Raum beherrschen. Dabei genügt für die algebraische Untersuchung
und Beschreibung der Objekte Gerade und Ebene die Beherrschung der jeweiligen
Gleichung in Parameterform.
• Rechnen mit Matrizen
• Beschreibung von Prozessen mithilfe von Matrizen
• Darstellung und Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum.
Vertiefungen für Unterricht auf grundlegendem Anforderungsniveau:
• Matrizen im Anwendungsbezug: Materialverflechtung (Verflechtungsdiagramme, Verflechtungsmatrizen).
Stochastik
10
• Bedingte Wahrscheinlichkeiten (Berechnung mithilfe von Baumdiagrammen, Vierfeldertafeln
oder der Formel von Bayes)
• Vertrauensintervalle für nicht bekannte Wahrscheinlichkeiten

Eingeben von Matrizen
Analytische Geometrie/ Lineare Algebra
Im Abitur 2010 liegt der Schwerpunkt bei der Rechnung mit Matrizen. Alle grafikfähigen Taschenrechner
und CAS-Systeme können mit Matrizen rechnen, allerdings gibt es bei der Eingabe
und bei der Rechnung kleine Unterschiede. Hier noch einmal die wichtigsten Eingabetipps:
Eingeben von Matrizen in das CAS
TI: GTR:
In das Matrizenmenü gelangt man über 2nd [MATRX]. Die Eingabe und Bearbeitung erfolgt
über EDIT.
CAS:
Am besten gibt man die Matrix auch direkt ein, dabei wird die Matrix zeilenweise eingegeben,
die einzelnen Zeilen werden dabei durch ein Semikolon getrennt.
Beispiel:
Um die Matrix mat1 =
�
2 1
3 2
�
einzugeben, tippt man [ 2, 1; 3, 2 ] [sto ◮] mat1
Alternativ benutzt man das Data/Matrix-Menü. Im ersten Menü wählt man «new», um eine
neue Matrix anzulegen.
Im zweiten Menü wählt man bei «Type» Matrix aus, bei «Variable» z.B. mat1 oder einen
anderen geeigneten Namen. Anschließend können die Anzahl der Zeilen und Spalten
festgelegt werden.
Tinspire:
Casio: GTR
Entweder benutzt man den Katalog der mathematischen Vorlagen oder gibt die Matrix in
eckigen Klammern ein.
[ 2, 1; 3, 2 ] ctrl [sto ◮] A
Im Menü wird RUN·MAT ausgewählt. Die Eingabe einer Matrix erfolgt, indem man mit [F1]
das MAT-Menü auswählt.
Zum Rechnen mit Matrizen wählt man [OPTN] und dann MAT. Um zum rref-Befehlt zu
gelangen muss man im Menü mit [F6] nach rechts scrollen.
ClassPad
Um eine Matrix einzugegen, benutzt man am besten das 2D-Menü.
Mit der Taste wird eine Matrix eingefügt (für 3 × 3-Matrizen mehrmals tippen).
Weitere Spalten können über eingefügt werden, weitere Zeilen über .
Rechenregeln zum Rechnen mit Matrizen finden Sie bei den Tipps auf Seite 61.
35

14. Farbherstellung – GTR/ CAS
Aufgaben auf Prüfungsniveau und ehemalige Abituraufgaben
14 Farbherstellung – GTR/ CAS
Tipps ab Seite 62, Lösungen ab Seite 121
36
a) Eine Firma benötigt für die Produktion von drei verschiedenen Farbtönen F1, F2 und F3 die
Grundfarben G1, G2 und G3. Angegeben ist jeweils die benötigte Menge an Grundfarben
pro Kilogramm des jeweiligen Farbtons.
Grundfarbe Farbton
F1 F2 F3
G1 0,8 0,7 0,6
G2 0,1 0,1 0,1
G3 0,1 0,2 0,3
Zeichnen Sie ein Verflechtungsdiagramm.
Bestimmen Sie die Matrix des Produktionsprozesses.
Welcher Bedarf an Grundfarben ergibt sich bei der Herstellung von 200kg F1, 300kg F2
und 400kg F3?
b) Die Ebene E geht durch die Punkte A(1,5 | 0 | 0), B(0 | 3 | 0) und C(0 | 0 | 6).
Untersuchen Sie, ob die Gerade
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−4 −2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g: �x = ⎝ 2 ⎠ +t · ⎝ 3 ⎠ ; t ∈ IR
3 2
parallel zur Ebene E verläuft.
c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D so, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm
ist.

Tipps Rechnen mit Matrizen
Analytische Geometrie/ Lineare Algebra
Rechnen mit Matrizen
Addition/Subtraktion
Die Summe/Differenz von zwei Matrizen wird berechnet, indem man jeweils die Elemente der
beiden Matrizen mit gleichen Indices addiert/subtrahiert:
� � � � �
�
a11 a12
a21 a22
+
b11 b12
b21 b22
=
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
Es können also nur Matrizen mit gleicher Zeilen- und Spaltenanzahl miteinander addiert bzw.
voneinander subtrahiert werden.
Skalare Multiplikation
Eine Matrix wird mit einem Skalar (einer Zahl) multipliziert, indem jedes Elemente der Matrix
mit dem Skalar multipliziert wird:
� � �
�
s ·
a11 a12
=
s · a11
s · a21
s · a12
s · a22
a21 a22
Matrizenmultiplikation
Folgende Eigenschaften sind zu beachten:
1. Bei der Multiplikation von Matrizen kommt es auf die Reihenfolge an: In der Regel gilt
A · B �= B · A (d. h. die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ).
2. Das Produkt A · B kann nur berechnet werden, wenn die Spaltenanzahl von A gleich der
Zeilenanzahl von B ist.
3. Die Ergebnismatrix hat die Zeilenanzahl der ersten Matrix und die Spaltenanzahl der zweiten
Matrix. Siehe auch das Beispiel der Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor auf
der nächsten Seite.
Die eigentliche Multiplikation
Um das jeweilige Element der Ergebnismatrix zu berechnen, werden die Zeilen der ersten Matrix
jeweils skalar mit den Spalten der zweiten Matrix multipliziert. Zur Berechnung empfiehlt sich
das sogenannte «Falksche Schema»; dazu wird die zweite Matrix oberhalb der Ergebnismatrix
plaziert, dies erleichtert das Rechnen.
Beispiel:
A =
�
a11 a12
a21 a22
�
=
�
1 2
3 4
gesucht ist das Produkt A · B = C
Falksches Schema:
�
, B =
�
b11 b12
b21 b22
�
=
�
5 6
7 8
�
, C =
�
c11 c12
c21 c22
�
61

14. Farbherstellung – GTR/ CAS Tipps
beziehungsweise:
Also ist:
�
1 2
3 4
�
·
�
5 6
7 8
�
=
�
19 22
43 50
Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor
Ein Vektor wird als 2 × 1 bzw. 3 × 1-Matrix aufgefasst; entsprechend gelten die gleichen Regeln
wie bei der Multiplikation von Matrizen. Das Ergebnis der Multiplikation einer Matrix mit einem
Vektor ist ein Vektor.
Matrix A ist eine 2 × 2 Matrix,�x ist eine 2 × 1 Matrix, das Ergebnis ist also eine 2 × 1 Matrix:
A ·�x =
�
a11 a12
a21 a22
� � � �
Beispiel: A =
1
3
2
4
5
und�x =
6
� � �
:
� �
A ·�x =
1
3
2
4
·
5
6
=
14 Farbherstellung – GTR/ CAS
62
�
·
�
x1
x2
�
�
=
�
a11 · x1 + a12 · x2
a21 · x1 + a22 · x2
� �
1 · 5 + 2 · 6
=
3 · 5 + 4 · 6
a) Überlegen Sie, was der Outputvektor ist, legen Sie Variablen fest und stellen Sie Gleichungen
für den Inputvektor, der den Bedarf an Grundfarben beschreibt, auf. Anschließend
schreiben Sie das Gleichungssystem zu einer Matrix um und berechnen den gesuchten Inpukvektor
durch Multiplikation der Matrix mit den Outputvektor.
b) Stellen Sie zuerst eine Gleichung der Ebene E durch die drei Punkte A, B und C auf.
Berechnen Sie dann die gegenseitige Lage der Geraden g und der Ebene E. Dazu setzen Sie
die beiden zugehörigen Terme gleich und lösen das so entstandene Gleichungssystem.
c) Skizzieren Sie die Problemstellung und stellen Sie eine geeignete Vektorkette auf.
17
39
�
�

Lösungen 14. Farbherstellung – GTR/ CAS
Analytische Geometrie/ Lineare Algebra
14 Farbherstellung – GTR/ CAS
a) Aus der Tabelle ergibt sich das folgende Verflechtungsdiagramm:
Grundfarbe Farbton
F1 F2 F3
G1 0,8 0,7 0,6
G2 0,1 0,1 0,1
G3 0,1 0,2 0,3
Zur Erstellung der Matrix des Produktionsprozesses bestimmt man zuerst die Input- und
Outputvektoren. Die Eingangswerte x1, x2 und x3 sind die Mengen an Farbtönen F1, F2
und F3, die Ausgangswerte y1, y2 und y3 sind die Mengen an Grundfarben G1, G2, und G3.
Somit gilt:
y1 = 0,8 · x1 + 0,7 · x2 + 0,6 · x3
y2 = 0,1 · x1 + 0,1 · x2 + 0,1 · x3
y3 = 0,1 · x1 + 0,2 · x2 + 0,3 · x3
⎛
⎜
⇒ Die Matrix hat die Form: ⎝
0,8 0,7 0,6
0,1 0,1 0,1
0,1 0,2 0,3
Der Bedarf an Grundfarben G1, G2, und G3 ist der «Inputvektor». Um ihn zu bestimmen,
multipliziert man die Matrix mit dem Outputvektor:
⎛
⎜
⎝
y1
y2
y3
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ = ⎝
0,8 0,7 0,6
0,1 0,1 0,1
0,1 0,2 0,3
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ · ⎝
200
300
400
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ = ⎝
610
90
200
Es werden also 610 kg von G1, 90 kg von G2 und 200 kg von G3 benötigt.
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−4 −2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
b) Um zu untersuchen, ob die Gerade g: �x = ⎝ 2 ⎠ +t ⎝ 3 ⎠ ; t ∈ IR parallel zur Ebene
3 2
durch die Punkte A(1,5 | 0 | 0), B(0 | 3 | 0) und C(0 | 0 | 6) verläuft, stellt man zuerst eine
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
121

14. Farbherstellung – GTR/ CAS Lösungen
122
Parametergleichung von E auf:
�x = −→
OA + r · −→
AB + s · −→ AC mit r, s ∈ IR
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1,5 −1,5 −1,5
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
�x = ⎝ 0 ⎠ + r · ⎝ 3 ⎠ + s · ⎝ 0 ⎠
0
0
6
Zur Bestimmung eines möglichen Schnittpunkts werden die Terme von g und E gleichgesetzt:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1,5 −1,5 −1,5 −4 −2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 0 ⎠ + r · ⎝ 3 ⎠ + s · ⎝ 0 ⎠ = ⎝ 2 ⎠ +t · ⎝ 3 ⎠
0
0
6 3 2
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
−1,5r − 1,5s + 2t = −5,5
3r − 3t = 2
6s − 2t = 3
Löst man dieses Gleichungssystem mit dem Gaußschen Lösungsverfahren von Hand oder
mit dem GTR/ CAS, ergibt sich ein Widerspruch, d.h. es gibt keine Lösung. Das bedeutet,
dass sich Gerade und Ebene nicht schneiden, die Gerade liegt also parallel zur Ebene.

Lösungen 14. Farbherstellung – GTR/ CAS
Lösen des Gleichungssystems mit GTR und CAS
TI: GTR:
Das Gleichungssystem wird mit Hilfe einer Matrix gelöst:
⎛
⎜
rref⎝
-1.5
3
-1.5
0
2
-3
-5.5
2
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎠ = ⎝
1
0
0
1
-1
-
0
0 6 -2 3
1 3 0
⎞
⎟
⎠
0 0 0 1
Da in der dritten Zeile der Lösungsmatrix ein Widerspruch steht, gibt es keine Lösung.
CAS:
solve (-1.5r − 1.5s + 2t = -5.5 and 3r − 3t = 2 and 6s − 2t = 3,{r, s, t})
Dies führt (je nach Einstellung) zu einem Ergebnis wie r = 7.5 · 10 13 , s = 2.5 · 10 13 und
t = 7.5 · 10 13
Beim TInspire kann man das Gleichungssystem auch wie folgt eingeben:
⎛⎧
⎞
⎪⎨ -1.5r − 1.5s + 2t = -5,5
⎜
⎟
solve ⎝ 3r − 3t = 2
r, s, t⎠
⎪⎩
6s − 2t = 3
Auch dies führt zu einem Ergebnis wie z.B. r = 7.5 · 10 13 , 2.5 · 10 13 und t = 7.5 · 10 13 , das
als Lösung eher unwahrscheinlich scheint, sich aber nicht ohne weiteres als ein unlösbares
Gleichungssystem interpretieren läßt.
Bessere Ergebnisse erhält man, indem man das Gleichungssystem als Matrix schreibt und den
rref-Befehl benutzt:
⎛
−1.5 −1.5 2 −5.5
⎜
rref⎝
3 0 −3 2
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎠ = ⎝
1
0
0
1
−1
−.33
0
0
⎞
⎟
⎠
0 6 −2 3 0 0 0 1
Casio: GTR:
In der letzten Zeile steht ein Widerspruch, also ist das Gleichungssystem nicht lösbar.
Das Gleichungssystem wird mit Hilfe einer Matrix gelöst:
⎛
⎜
rref⎝
-1.5
3
-1.5
0
2
-3
-5.5
2
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎠ = ⎝
1
0
0
1
-1
-
0
0 6 -2 3
1 3 0
⎞
⎟
⎠
0 0 0 1
Da in der dritten Zeile der Lösungsmatrix ein Widerspruch steht, gibt es keine Lösung.
CAS:solve ({-1.5x − 1.5y + 2z = -5.5, 3x − 3z = 2, 6y − 2z = 3},{x, y, z})
Oder man benutzt das 2D-Menü zum Lösen des Gleichungssystems (mehrmals tippen, um
drei Zeilen zu erhalten):
⎧
�
⎪⎨ -1.5x − 1.5y + 2z = -5.5 �
�
�
3x − 3z = 2
�
⎪⎩
�
6y − 2z = 3
�
x,y,z
Man erhält: «No Solution» als Ergebnis.
123

14. Farbherstellung – GTR/ CAS Lösungen
124
c) Um die Koordinaten von D zu bestimmen, hilft eine Skizze:
Die Koordinaten des Punktes D erhält man mit Hilfe einer Vektorkette:
−→
OD = −→
OA + −→ BC
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1,5 0
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= ⎝ 0 ⎠ + ⎝ −3 ⎠
0 6
⎛ ⎞
1,5
⎜ ⎟
= ⎝ −3 ⎠
6
Der Punkt D hat die Koordinaten D(1,5 | −3 | 6).