Erfolg im Mathe-Abi
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Gruber I Neumann<br />
<strong>Erfolg</strong> <strong>im</strong><br />
<strong>Mathe</strong>-<strong>Abi</strong><br />
Prüfungsaufgaben<br />
Nordrhein-Westfalen<br />
Übungsbuch für den Leistungskurs<br />
mit Tipps und Lösungen<br />
für den wissenschaftlichen<br />
Taschenrechner und den GTR<br />
plus zusätzliche Aufgaben für CAS
Vorwort<br />
Vorwort<br />
Dieses Übungsbuch ist speziell auf die Anforderungen des zentralen <strong>Mathe</strong>matik-<strong>Abi</strong>turs <strong>im</strong> Leistungskurs<br />
in Nordrhein-Westfalen abgest<strong>im</strong>mt und enthält Übaufgaben auf Prüfungsniveau aus<br />
allen Gebieten (Analysis, Geometrie und Stochastik).<br />
Die Aufgaben sind für Taschenrechner mit und ohne Grafikfähigkeit. Sie sind so gestellt, dass die<br />
Verwendung eines grafikfähigen Taschenrchners keine Vorteile mit sich bringt.<br />
Der blaue Tippteil<br />
Hat man keine Idee, wie man eine Aufgabe angehen soll, hilft der blaue Tippteil in der Mitte des<br />
Buches weiter: Zu jeder Aufgabe gibt es dort Tipps, die helfen, einen Ansatz zu finden, ohne die<br />
Lösung vorwegzunehmen.<br />
Wie arbeitet man mit diesem Buch?<br />
Am Anfang befinden sich die Aufgaben aus den drei Themenbereichen.<br />
Die Aufgaben sind in der Regel in ihrer Schwierigkeit gestaffelt. In der Mitte des Buches befindet<br />
sich der blaue Tippteil mit Denk- und Lösungshilfen. Die Lösungen mit ausführlichem<br />
Lösungsweg bilden den dritten Teil des Übungsbuchs. Hier findet man die notwendigen Formeln,<br />
Rechenverfahren und Denkschritte sowie sinnvolle alternative Lösungswege.<br />
In der Linearen Algebra / Analytischen Geometrie gibt es zwei Schwerpunkte: Abbildungsmatrizen<br />
(Schwerpunkt 1) und Übergangsmatrizen (Schwerpunkt 2).<br />
Allen Schülerinnen und Schülern, die sich auf das <strong>Abi</strong>tur vorbereiten, wünschen wir viel <strong>Erfolg</strong>.<br />
Helmut Gruber, Gregor Kowalski und Robert Neumann
Inhaltsverzeichnis<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Analysis<br />
1 Ganzrationale Funktion – Windeln ..................................................................................... 8<br />
2 Gebrochenrationale Funktion – Mineraldünger ................................................................. 9<br />
3 Gebrochenrationale Funktion – Heizkosten ..................................................................... 10<br />
4 Gebrochenrationale Funktion – Bakterienkultur .............................................................. 11<br />
5 Exponentialfunktion – Funktionenschar .......................................................................... 12<br />
6 Exponentialfunktion – Schädlinge ................................................................................... 13<br />
7 Exponentialfunktion – Medikament ................................................................................. 14<br />
8 Logarithmusfunktion – Schale .......................................................................................... 16<br />
9 Logarithmusfunktion – Rotweinkaraffe ........................................................................... 17<br />
10 Logarithmusfunktion – Atemstoßtest ............................................................................... 18<br />
11 Gebrochenrationale Funktion – Zahnpasta (CAS) ........................................................... 19<br />
12 Gebrochenrationale Funktion – Straßenlaterne (CAS) .................................................... 20<br />
13 Exponentialfunktion – Glockenkurve (CAS) ................................................................... 21<br />
14 Exponentialfunktion – Baumdurchmesser (CAS) ............................................................ 22<br />
Lineare Algebra / Analytische Geometrie<br />
15 Abbildungsmatrix – Planetarium ...................................................................................... 24<br />
16 Abbildungsmatrix – Pyramide .......................................................................................... 26<br />
17 Abbildungsmatrix – Antennenmast .................................................................................. 29<br />
18 Abbildungsmatrix – Tetraeder .......................................................................................... 30<br />
19 Übergangsmatrix – Versandkiste ...................................................................................... 31<br />
20 Übergangsmatrix – Pyramidenstumpf .............................................................................. 32<br />
21 Übergangsmatrix – Haftpflichtversicherung .................................................................... 33<br />
22 Kletterpyramide................................................................................................................. 34<br />
Stochastik<br />
23 Wähleranalyse ................................................................................................................... 35<br />
24 Cornflakes ......................................................................................................................... 36<br />
25 Raucher.............................................................................................................................. 38<br />
26 Osterhasen ......................................................................................................................... 39<br />
27 Glückstetraeder ................................................................................................................. 40<br />
Tipps .......................................................................................................................................... 41<br />
Lösungen ................................................................................................................................... 65<br />
Stichwortverzeichnis .............................................................................................................. 189
1. Ganzrationale Funktion – Windeln<br />
Analysis<br />
1 Ganzrationale Funktion – Windeln<br />
Tipps ab Seite 41, Lösungen ab Seite 65<br />
Gegeben ist die Funktionenschar fa durch<br />
fa(x) = − 1<br />
a 2 x3 + e −a x; x ∈ IR, a > 0<br />
a) Untersuchen Sie die Graphen der Funktionenschar auf Symmetrie, Schnittpunkte mit der<br />
x-Achse, Extrem- und Wendepunkte, Asymptoten sowie das Verhalten für x → ±∞.<br />
b) Skizzieren Sie für a = 1 den Graphen von fa.<br />
Eine Firma stellt Babywindeln her. Diese bestehen aus übereinandergelegten Schichten, deren<br />
Materialdichte alle 0,1mm linear zun<strong>im</strong>mt. Durch die Funktion fa wird der Vorgang der Flüssig-<br />
keitsaufnahme in Abhängigkeit von der Materialkonstanten a <strong>im</strong> Intervall I = [xE; xN ], x > 0 in<br />
guter Näherung beschrieben (dabei ist xE Extremstelle und xN Nullstelle von fa) .<br />
Es gilt für die Längeneinheiten auf den Koordinatenachsen:<br />
x-Achse: Anzahl der Schichten<br />
y-Achse: Saugfähigkeit innerhalb einer Schicht in ml pro Flächeneinheit.<br />
8<br />
c) Für welchen Wert der Materialkonstanten a existieren die meisten Schichten?<br />
d) Für welchen Wert der Materialkonstanten a kann <strong>im</strong> Intervall I die meiste Flüssigkeitsmen-<br />
ge pro Flächeneinheit aufgenommen werden?
Tipps 2. Gebrochenrationale Funktion – Mineraldünger<br />
Tipps<br />
Analysis<br />
1 Ganzrationale Funktion – Windeln<br />
a) Bei der Untersuchung des Graphen von fa auf Symmetrie beachten Sie, dass es sich um<br />
eine ganzrationale Funktion handelt, die nur ungerade Exponenten besitzt; setzen Sie (−x)<br />
in fa(x) ein. Gilt fa(−x) = − fa(x), ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Um die<br />
Schnittpunkte mit der x-Achse zu best<strong>im</strong>men, berechnen Sie die Lösungen von fa(x) = 0.<br />
Zur Best<strong>im</strong>mung der Extrem- und Wendepunkte leiten Sie die Funktion fa dre<strong>im</strong>al ab und<br />
setzen die erste bzw. zweite Ableitung gleich Null. Prüfen Sie jeweils auch die hinreichende<br />
Bedingung. Best<strong>im</strong>men Sie die Grenzwerte, falls möglich, von fa(x) für x → ±∞.<br />
b) Benutzen Sie die charakteristischen Punkte aus Aufgabenteil a), um den Graphen zu skizzieren.<br />
Insbesondere die Symmetrie kann bei der Zeichnung hilfreich sein.<br />
c) Best<strong>im</strong>men Sie die Grenzen des Intervalls I; beachten Sie, dass x > 0 ist. Damit die Anzahl<br />
der Schichten <strong>im</strong> Intervall I möglichst groß ist, muss der Abstand zwischen der positiven<br />
Extremstelle und der positiven Nullstelle möglichst groß sein. Stellen Sie eine Funktion<br />
D(a), die von a abhängt, auf und best<strong>im</strong>men Sie deren Max<strong>im</strong>um mit Hilfe der 1. und 2.<br />
Ableitung von D(a).<br />
d) Die meiste Flüssigkeit kann aufgenommen werden, wenn der Flächeninhalt F(a) der Fläche<br />
zwischen dem Graphen von fa und der x-Achse <strong>im</strong> Intervall I möglichst groß ist. Berechnen<br />
Sie F(a) mit Hilfe eines Integrals in Abhängigkeit von a und best<strong>im</strong>men Sie das Max<strong>im</strong>um<br />
von F(a) mit Hilfe der 1. und 2. Ableitung vo F(a).<br />
2 Gebrochenrationale Funktion – Mineraldünger<br />
a) Stellen Sie mit Hilfe der gegebenen Daten drei Gleichungen mit drei Unbekannten auf und<br />
lösen Sie das Gleichungssystem.<br />
b) Skizzieren Sie das Schaubild von f und überlegen Sie, ob f monoton ist (Nachweis mit f ′ ).<br />
Wo liegt dann das «Max<strong>im</strong>um»?<br />
Berechnen Sie den 1,5-fachen Ertrag und setzen sie ihn mit f (x) gleich.<br />
Berechnen Sie die Differenz zwischen f (60) und 980, sowie den Prozentsatz bezüglich<br />
980.<br />
c) Eine ganzrationale Funktion 2. Grades hat den Ansatz: g(x) = rx 2 + sx +t. (Die Parameter<br />
a, b und c wurden schon für die Funktion f verwendet.) Stellen Sie drei Gleichungen auf<br />
und lösen Sie das Gleichungssystem.<br />
Das Max<strong>im</strong>um von g(x) erhalten Sie mit Hilfe der 1. und 2. Ableitung von g(x).<br />
d) Überlegen Sie sich, wie sich der Gewinn zusammensetzt, stellen Sie eine Gewinnfunktion<br />
G(x) auf und best<strong>im</strong>men Sie das Max<strong>im</strong>um von G(x) mit Hilfe der 1. und 2. Ableitung von<br />
G(x).<br />
41
Lösungen 1. Ganzrationale Funktion – Windeln<br />
Lösungen<br />
Analysis<br />
1 Ganzrationale Funktion – Windeln<br />
Es ist fa(x) = − 1<br />
a 2 x 3 + e −a x; x ∈ IR, a > 0<br />
a) Da es sich um eine ganzrationale Funktion handelt, die nur ungerade Potenzen von x und<br />
keine Konstante enthält, ist der Graph der Funktion fa punktsymmetrisch zum Ursprung.<br />
Alternativ kann man die Symmetrie wie folgt nachweisen:<br />
fa (−x) = − 1<br />
a 2 (−x)3 + e −a (−x) = 1<br />
a 2 x3 − e −a x = −<br />
�<br />
− 1<br />
a 2 x3 + e −a x<br />
Wegen fa (−x) = − fa (x) ist der Graph von fa punktsymmetrisch zum Ursprung.<br />
�<br />
= − fa (x)<br />
Um die Schnittpunkte mit der x-Achse zu best<strong>im</strong>men, setzt man den Funktionsterm von fa<br />
gleich Null:<br />
fa(x) = 0 führt zu − 1<br />
a2 x3 + e−a �<br />
x = 0 ⇔ x − 1<br />
a2 x2 + e−a �<br />
= 0 mit den Lösungen x1 = 0<br />
und x2; 3 = ± √ a 2 e −a = ±a √ e −a .<br />
Damit sind die Schnittpunkte mit der x-Achse:<br />
�<br />
Na,1 (0 | 0), Na,2 −a √ e−a � �<br />
| 0 und Na,3 a √ e−a �<br />
| 0 .<br />
Zur Best<strong>im</strong>mung der Extrem- und Wendepunkte benötigt man die ersten drei Ableitungen<br />
von fa:<br />
fa ′ (x) = − 3<br />
a 2 x2 + e −a<br />
fa ′′ (x) = − 6<br />
x<br />
a2 fa ′′′ (x) = − 6<br />
a2 Für die Extrempunkte gilt als notwendige Bedingung fa ′ (x) = 0:<br />
− 3<br />
a2 x2 + e −a �<br />
= 0 ⇔ x1;2 = ± a2 · e−a<br />
�<br />
e−a = ±a<br />
3 3<br />
Die zugehörigen y-Werte sind<br />
� � �<br />
e−a f a = −<br />
3<br />
1<br />
a2 � � �3 e−a a + e<br />
3<br />
−a<br />
� � � �� �3 e−a e−a a = −a ·<br />
+ e<br />
3<br />
3<br />
−a �<br />
e−a · a<br />
3<br />
�<br />
⎛<br />
e−a = a ⎝e<br />
3<br />
−a �� � ⎞<br />
2 � �<br />
e−a − ⎠<br />
e−a = a e<br />
3<br />
3<br />
−a − e−a<br />
� �<br />
e−a 2<br />
= a ·<br />
3 3 3 e−a<br />
= 2<br />
3 ae−a<br />
�<br />
e−a 2<br />
=<br />
3 3 a<br />
�<br />
e−3a 3<br />
65
1. Ganzrationale Funktion – Windeln Lösungen<br />
66<br />
und wegen der Punktsymmetrie des Graphen von fa zum Ursprung:<br />
f<br />
�<br />
−a<br />
� �<br />
e−a 3<br />
= − 2<br />
3 a<br />
�<br />
e−3a 3<br />
Für die hinreichende Bedingung setzt man die beiden errechneten x-Werte in fa ′′ (x) ein:<br />
und<br />
fa ′′<br />
fa ′′<br />
�<br />
�<br />
−a<br />
a<br />
� �<br />
e−a 3<br />
� �<br />
e−a 3<br />
= − 6<br />
a2 � �<br />
e−a −a<br />
3<br />
= − 6<br />
a2 � �<br />
e−a a<br />
3<br />
Damit sind die beiden Extrempunkte:<br />
Ta<br />
�<br />
−a<br />
� e −a<br />
3 | − 2 3 a<br />
� e −3a<br />
3<br />
�<br />
�<br />
�<br />
= 6<br />
�<br />
e−a > 0 ⇒ Tiefpunkt<br />
a 3<br />
= − 6<br />
�<br />
e−a < 0 ⇒ Hochpunkt<br />
a 3<br />
und Ha<br />
� �<br />
e−a a 3 | 2 3a � �<br />
e−3a 3<br />
Zur Best<strong>im</strong>mung der Wendepunkte führt die notwendige Bedingung fa ′′ (x) = 0 zu<br />
− 6<br />
a 2 x = 0 ⇒ x = 0<br />
Mit fa(0) = − 1<br />
a 2 · 0 3 + e −a · 0 = 0 und fa ′′′ (0) = − 6<br />
a 2 �= 0 hat der Graph von fa den<br />
Wendepunkt W(0 | 0).<br />
Be<strong>im</strong> Betrachen des Verhaltens für x → +∞ stellt man fest, dass der erste Summand − 1<br />
a 2 x 3<br />
wegen der dritten Potenz schneller gegen −∞ geht, als e −a x gegen ∞.<br />
Daher gilt fa (x) → −∞ für x → ∞ und fa (x) → ∞ für x → −∞.<br />
Alternativ schreibt man:<br />
l<strong>im</strong><br />
x→±∞ fa<br />
1<br />
(x) = l<strong>im</strong> −<br />
x→±∞ a2 x3 + e −a = ∓∞<br />
Somit besitzt der Graph von fa keine Asymptoten. Da es keine Definitionlücken und Pole<br />
gibt, liegen auch keine senkrechte Asymptoten vor.<br />
b) Um den Graphen von f1 zeichnen zu können, überlegt man sich die Lage der Schnittpunkte<br />
mit der x-Achse und die Lage der Extrem- und Wendepunkte des Graphen von fa für a = 1.<br />
Dazu setzt man a = 1 in die bereits berechneten Punkte ein:<br />
�<br />
N1,1 (0 | 0), N1,2 − √ e−1 �<br />
�√ �<br />
| 0 ≈ (−0,61 | 0) und N1,3 e−1 | 0 ≈ (0,61 | 0)<br />
Die Extrempunkte sind<br />
T1<br />
�<br />
−<br />
�<br />
e−1 3<br />
| − 2<br />
3<br />
� e −3<br />
3<br />
�<br />
��<br />
e−1 ≈ (−0,35 | −0,086) und H 3<br />
Der Wendepunkt hat die Koordinaten W(0 | 0).<br />
Mit Hilfe dieser Punkte kann man den Graphen von f1(x) skizzieren:<br />
| 2<br />
3<br />
� �<br />
e−3 3 ≈ (0,35 | 0,086)
Lösungen 1. Ganzrationale Funktion – Windeln<br />
c) Für x > 0 erhält man <strong>im</strong> Intervall I = [xE; xN ] den Wert von a, für den die meisten Schichten<br />
existieren, indem man das Max<strong>im</strong>um der Strecke xExN berechnet:<br />
�<br />
e−a Mit xE = a 3 und xN = a √ e−a ergibt sich die Streckenmax<strong>im</strong>umsfunktion D(a), die<br />
von a abhängt:<br />
D(a) = xN − xE = a √ e−a �<br />
e−a − a 3<br />
Um das Max<strong>im</strong>um von D(a) zu best<strong>im</strong>men, muss die erste Ableitung von D(a) gleich Null<br />
gesetzt werden. Zum Ableiten wird D(a) zuerst umgeformt:<br />
D(a) = a � 1 � � 1 �<br />
−a<br />
e−a� 2 e 2<br />
1<br />
− a 3 = a e− 2 a − 1 1<br />
√ e− 2<br />
3 a�<br />
��<br />
= a 1 − 1<br />
�<br />
1<br />
√ e− 2<br />
3<br />
a�<br />
�<br />
= 1 − 1<br />
�<br />
1<br />
√ a · e− 2<br />
3<br />
a<br />
Mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel erhält man:<br />
D ′ (a) =<br />
�<br />
1 − 1<br />
√ 3<br />
�<br />
1 −<br />
· e 2 a +<br />
D ′′ �<br />
(a) = 1 − 1<br />
� ��<br />
√ · −<br />
3<br />
1<br />
2<br />
�<br />
= 1 − 1<br />
� �<br />
√ ·<br />
3<br />
− 1<br />
2<br />
�<br />
1 − 1<br />
√ 3<br />
�<br />
a ·<br />
�<br />
− 1<br />
�<br />
1 −<br />
· e 2 a �<br />
+ 1 − 1<br />
1 1<br />
+ a −<br />
4 2<br />
�<br />
1 −<br />
e 2 a =<br />
�<br />
1 −<br />
· e 2 a =<br />
2<br />
2 a<br />
��<br />
− 1<br />
2<br />
�<br />
1 − 1<br />
√<br />
3<br />
�<br />
1 − 1<br />
� �<br />
√ · 1 −<br />
3<br />
1<br />
�<br />
1 −<br />
· e 2 a<br />
�<br />
� �<br />
a<br />
� 1 −<br />
· − 1 e 2<br />
4 a<br />
2 a<br />
�<br />
1 −<br />
e 2 a<br />
67
1. Ganzrationale Funktion – Windeln Lösungen<br />
68<br />
Die notwendige Bedingung D ′ (a) = 0 führt zu<br />
�<br />
1 − 1 � �<br />
√ · 1 −<br />
3<br />
1<br />
2 a<br />
�<br />
e − 1 2 a = 0 ⇒ 1 − 1<br />
a = 0 ⇒ a = 2<br />
2<br />
Wegen D ′′ �<br />
(2) = 1 − 1 �<br />
√ ·<br />
3<br />
� 2<br />
4 − 1�e− 1 2 ·2 = − e−1<br />
�<br />
2 1 − 1<br />
�<br />
√ ≈ −0,077 < 0 handelt es sich<br />
3<br />
um ein Max<strong>im</strong>um.<br />
Damit ist die Länge der Strecke xExN für a = 2 max<strong>im</strong>al, d.h. für a = 2 existieren die<br />
meisten Schichten.<br />
d) Um zu best<strong>im</strong>men, für welchen Wert von a die meiste Flüssigkeitsmenge pro Flächeneinheit<br />
aufgenommen werden kann, berechnet man zuerst den Flächeninhalt F(a) der Fläche<br />
zwischen dem Graphen von fa und der x-Achse <strong>im</strong> Intervall I, welcher der aufgenommenen<br />
Flüssigkeitsmenge pro Flächeneinheit entspricht:<br />
� xN<br />
F(a) = fa (x)dx =<br />
xE<br />
� xN<br />
xE<br />
= − 1<br />
4a2 �<br />
a √ e−a �4 + 1<br />
�<br />
e−a a<br />
2 √ e−a �2 �<br />
− 1<br />
a2 x3 + e −a � �<br />
x dx = − 1<br />
4a2 x4 + 1<br />
2 e−a x 2<br />
−<br />
⎛<br />
⎝− 1<br />
4a 2<br />
= − 1<br />
4 a2 e −2a + 1<br />
2 a2 e −2a + 1<br />
36 a2 e −2a − 1<br />
6 a2 e −2a = 1<br />
9 a2 e −2a<br />
� a √ e −a<br />
�<br />
e−a a 3<br />
� � �4 e−a a +<br />
3<br />
1<br />
2 e−a<br />
� � � ⎞<br />
2<br />
e−a a ⎠<br />
3<br />
Zur Berechnung des Max<strong>im</strong>ums von F(a) best<strong>im</strong>mt man mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel<br />
die 1. und 2. Ableitung von F(a):<br />
F ′ (a) = 2<br />
9 a · e−2a + 1<br />
9 a2 · e −2a · (−2) = 2<br />
9 a · e−2a − 2<br />
9 a2 · e −2a �<br />
2 2<br />
= a −<br />
9 9 a2<br />
�<br />
· e −2a<br />
F ′′ �<br />
2 4<br />
(a) = −<br />
9 9 a<br />
�<br />
· e −2a �<br />
2 2<br />
+ a −<br />
9 9 a2<br />
�<br />
· e −2a · (−2)<br />
�<br />
2 4 4 4<br />
= − a − a +<br />
9 9 9 9 a2<br />
�<br />
e −2a<br />
�<br />
4<br />
=<br />
9 a2 − 8<br />
�<br />
2<br />
a + e<br />
9 9<br />
−2a
Lösungen 1. Ganzrationale Funktion – Windeln<br />
Die notwendige Bedingung F ′ (a) = 0 führt zu<br />
�<br />
2 2<br />
a −<br />
9 9 a2<br />
�<br />
e −2a = 0 ⇒ 2 2<br />
a −<br />
9 9 a2 = 0 ⇔ 2<br />
a · (1 − a) = 0<br />
9<br />
mit den Lösungen a1 = 0 und a2 = 1.<br />
Wegen a > 0 und F ′′ (1) = � 4<br />
9 · 12 − 8 9 · 1 + 2 �<br />
9 e−2·1 2 = − 9e−2 ≈ −0,03 < 0 handelt es sich<br />
bei a2 = 1 um ein Max<strong>im</strong>um.<br />
Für a = 1 kann also von der Windel die meiste Flüssigkeitsmenge pro Flächeneinheit aufgenommen<br />
werden.<br />
69