Erfolg im Mathe-Abi - School-Scout
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Gruber I Neumann<br />
<strong>Erfolg</strong> <strong>im</strong><br />
<strong>Mathe</strong>-<strong>Abi</strong><br />
Prüfungsaufgaben<br />
Nordrhein-Westfalen<br />
Übungsbuch für den Grundkurs<br />
mit Tipps und Lösungen<br />
für den wissenschaftlichen<br />
Taschenrechner und den GTR<br />
plus zusätzliche Aufgaben für CAS
Vorwort<br />
<strong>Erfolg</strong> von Anfang an<br />
Vorwort<br />
Dieses Übungsbuch ist speziell auf die Anforderungen des zentralen <strong>Mathe</strong>matik-<strong>Abi</strong>turs <strong>im</strong><br />
Grundkurs abgest<strong>im</strong>mt und enthält Übaufgaben auf Prüfungsniveau aus allen Gebieten.<br />
Der blaue Tippteil<br />
Hat man keine Idee, wie man eine Aufgabe angehen soll, hilft der blaue Tippteil in der Mitte des<br />
Buches weiter: Zu jeder Aufgabe gibt es dort Tipps, die helfen, einen Ansatz zu finden, ohne die<br />
Lösung vorwegzunehmen.<br />
Wie arbeitet man mit diesem Buch?<br />
Am Anfang befinden sich die Aufgaben aus den drei Themenbereichen.<br />
Die Aufgaben sind in der Regel in ihrer Schwierigkeit gestaffelt. In der Mitte des Buches befindet<br />
sich der blaue Tippteil mit Denk- und Lösungshilfen. Die Lösungen mit ausführlichem<br />
Lösungsweg bilden den dritten Teil des Übungsbuchs. Hier findet man die notwendigen Formeln,<br />
Rechenverfahren und Denkschritte sowie sinnvolle alternative Lösungswege.<br />
Allen Schülerinnen und Schülern, die sich auf das <strong>Abi</strong>tur vorbereiten, wünschen wir viel <strong>Erfolg</strong>.<br />
Helmut Gruber, Gregor Kowalski und Robert Neumann
Inhaltsverzeichnis<br />
Analysis<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
1 Ganzrationale Funktion – Mountainbike .......................................................................... 15<br />
2 Ganzrationale Funktion – Sw<strong>im</strong>mingpool........................................................................ 16<br />
3 Ganzrationale Funktion – Kurve 4. Grades ...................................................................... 17<br />
4 Ganzrationale Funktion – Rotationskörper ...................................................................... 18<br />
5 Ganzrationale Funktion – Kugelstoßen ............................................................................ 19<br />
6 Exponentialfunktion – Sonnenblume ............................................................................... 20<br />
7 Exponentialfunktion – Jod ................................................................................................ 21<br />
8 Exponentialfunktion – Bakterien ...................................................................................... 22<br />
9 Exponentialfunktion – Infusion ........................................................................................ 23<br />
10 Exponentialfunktion – Ventile .......................................................................................... 24<br />
11 Exponentialfunktion – Feinstaub ...................................................................................... 25<br />
12 Ganzrationale Funktion – Küstenlinie (CAS) .................................................................. 26<br />
13 Exponentialfunktion – Medikament (CAS) ..................................................................... 27<br />
14 Exponentialfunktion – Tannensetzling (CAS) ................................................................. 28<br />
15 Exponentialfunktion – Fischteich (CAS) ......................................................................... 29<br />
16 Exponentialfunktion – Abkühlung (CAS) ........................................................................ 30<br />
17 Exponentialfunktion – Pharmaunternehmen (CAS) ........................................................ 31<br />
Lineare Algebra / Geometrie<br />
18 Abbildungsmatrix – Turm ................................................................................................. 33<br />
19 Abbildungsmatrix – Würfel .............................................................................................. 34<br />
20 Abbildungsmatrix – Turmdach ......................................................................................... 35<br />
21 Abbildungsmatrix – Würfelstumpf ................................................................................... 36<br />
22 Abbildungsmatrix – Solarzellen ....................................................................................... 37<br />
23 Abbildungsmatrix – Gleichungssystem ............................................................................ 38<br />
24 Übergangsmatrix – Pyramide ........................................................................................... 39<br />
25 Übergangsmatrix – Zelt .................................................................................................... 40<br />
26 Übergangsmatrix – Geradenschar..................................................................................... 41<br />
27 Abbildungsmatrix – Würfel (CAS) .................................................................................. 42<br />
28 Abbildungsmatrix – Geraden (CAS) ................................................................................ 43<br />
29 Übergangsmatrix – Ebenen (CAS) ................................................................................... 44
Inhaltsverzeichnis<br />
Stochastik<br />
30 Handys............................................................................................................................... 45<br />
31 Glücksspiel 1 ..................................................................................................................... 46<br />
32 Überraschungseier............................................................................................................. 47<br />
33 Glücksspiel 2 ..................................................................................................................... 48<br />
34 Wahlbeteiligung ................................................................................................................ 49<br />
35 Bundesbürger (CAS) ......................................................................................................... 51<br />
Tipps .......................................................................................................................................... 53<br />
Lösungen ................................................................................................................................... 79<br />
Tabellen (Stochastik) .............................................................................................................. 181<br />
Stichwortverzeichnis .............................................................................................................. 187
Analysis<br />
1 Ganzrationale Funktion – Mountainbike<br />
Tipps ab Seite 53, Lösungen ab Seite 79<br />
1. Ganzrationale Funktion – Mountainbike<br />
Eine kleine Firma stellt Mountainbikes her. Bei einer Monatsproduktion von x Mountainbikes<br />
entstehen Fixkosten in Höhe von 5000 Euro und variable Kosten V(x) (in Euro), die durch fol-<br />
gende Tabelle modellhaft gegeben sind:<br />
x 0 2 6 10<br />
V(x) 0 306 954 1650<br />
a) Best<strong>im</strong>men Sie die Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion 2. Grades V(x) sowie<br />
der monatlichen Herstellungskosten H in Abhängigkeit von x.<br />
Skizzieren Sie den Graphen von H für 0 � x � 200 in ein geeignetes Koordinatensystem.<br />
Bei welcher Produktionszahl sind die variablen Kosten fünfmal so hoch wie die Fixkosten?<br />
b) Alle monatlich produzierten Mountainbikes werden zu einem Preis von 450 Euro pro Stück<br />
an einen Händler verkauft.<br />
Geben Sie den monatlichen Gewinn G in Abhängigkeit von x an und skizzieren Sie den<br />
Graphen der Gewinnfuktion in das vorhandene Koordinatensystem.<br />
Bei welchen Produktionszahlen macht die Firma Gewinn?<br />
Wie hoch ist der max<strong>im</strong>ale Gewinn pro Monat?<br />
c) Durch große Konkurrenz auf dem Markt muss die Firma den Preis pro Mountainbike sen-<br />
ken.<br />
Um wie viel Prozent vom ursprünglich erzielten Preis ist dies höchstens möglich, wenn<br />
pro Monat 90 Mountainbikes produziert werden und der Gewinn mindestens 2000 Euro<br />
betragen soll?<br />
15
Tipps 2. Ganzrationale Funktion – Sw<strong>im</strong>mingpool<br />
Tipps<br />
Analysis<br />
1 Ganzrationale Funktion – Mountainbike<br />
a) Verwenden Sie für die variablen Kosten V den Ansatz V(x) = ax 2 + bx + c, setzen Sie die<br />
gegebenen Daten ein und lösen Sie das entstandene Gleichungssystem.<br />
Die Herstellungskosten setzen sich aus den Fixkosten und den variablen Kosten zusammen.<br />
Setzen Sie V(x) = 5 · 5000 und lösen Sie die Gleichung.<br />
b) Berechnen Sie den Verkaufserlös und ermitteln Sie den Gewinn durch Subtraktion der Her-<br />
stellungskosten vom Erlös.<br />
Best<strong>im</strong>men Sie die Nullstellen der Gewinnfunktion und überlegen Sie, für welche x-Werte<br />
die Gewinnfunktion positiv ist.<br />
Den max<strong>im</strong>alen Gewinn erhalten Sie mit Hilfe der 1. Ableitung der Gewinnfunktion.<br />
c) Berechnen Sie die Herstellungskosten für 90 Mountainbikes und den Erlös für diese in Ab-<br />
hängigkeit vom neuen Preis p; da der Gewinn mindestens 2000 Euro betragen soll, ist eine<br />
Ungleichung aufzustellen und nach p aufzulösen.<br />
Best<strong>im</strong>men Sie die Differenz vom neuen Preis p zum ursprünglichen Preis sowie die pro-<br />
zentuale Abweichung.<br />
2 Ganzrationale Funktion – Sw<strong>im</strong>mingpool<br />
a) Wenn Wasser weder zu- noch abläuft, müssen Sie die Zulaufrate Null setzen.<br />
Die Zeitpunkte max<strong>im</strong>alen Zu- bzw. Abflusses erhalten Sie durch Berechnung der Hoch-<br />
bzw. Tiefpunkte des Graphen der Zulaufratenfunktion und Betrachtung der Werte am je-<br />
weiligen Intervallrand.<br />
b) Den Wasserstand nach 3 Stunden erhalten Sie, indem Sie eine Funktion w(t) aufstellen,<br />
die die Wassermenge zum Zeitpunkt t angibt. Diese erhalten Sie als Stammfunktion von f<br />
unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung (Wassermenge zu Beginn). Alternativ kön-<br />
nen Sie auch die Wassermenge, die zu Beginn <strong>im</strong> Pool ist, best<strong>im</strong>men und die zugeflossene<br />
Wassermenge durch Integration berechnen und dazu addieren.<br />
Die Höhe des Wasserstands am Ende des gesamten Vorgangs erhalten Sie, indem Sie die<br />
vorhandene Wassermenge durch die Grundfläche des Pools teilen.<br />
Die max<strong>im</strong>ale Wassermenge kann sich jeweils nur am Ende einer Zuflussphase <strong>im</strong> Pool<br />
befinden.<br />
53
Lösungen 1. Ganzrationale Funktion – Mountainbike<br />
Lösungen<br />
Analysis<br />
1 Ganzrationale Funktion – Mountainbike<br />
a) Da die variablen Kosten V durch eine ganzrationale Funktion 2. Grades beschrieben werden<br />
sollen, gilt für V der Ansatz: V(x) = ax 2 + bx + c.<br />
Aus den gegebenen Daten erhält man folgende Gleichungen:<br />
bzw.<br />
Dies führt zu:<br />
I V(0) = 0<br />
II V(2) = 306<br />
III V(6) = 954<br />
I a · 0 2 + b · 0 + c = 0<br />
II a · 2 2 + b · 2 + c = 306<br />
III a · 6 2 + b · 6 + c = 954<br />
I c = 0<br />
II 4a + 2b = 306<br />
III 36a + 6b = 954<br />
Multipliziert man Gleichung II mit 3 und subtrahiert davon Gleichung III, so ergibt sich:<br />
−24a = −36 ⇒ a = 1,5. Setzt man a = 1,5 in Gleichung II ein, so erhält man:<br />
4 · 1,5 + 2b = 306 ⇒ b = 150. Außerdem ist auch V(10) = 100a + 10b = 1650 erfüllt.<br />
Somit werden die variablen Kosten V beschrieben durch: V(x) = 1,5x 2 + 150x.<br />
Die monatlichen Herstellungskosten H setzen sich aus den Fixkosten und den variablen<br />
Kosten V zusammen:<br />
H(x) = 5000 + V(x)<br />
= 1,5x 2 + 150x + 5000.<br />
Wenn die variablen Kosten V(x) fünfmal so hoch wie die Fixkosten (5000 e) sein sollen,<br />
muss gelten:<br />
V(x) = 25000 bzw. 1,5x 2 + 150x = 25000 ⇒ x1 ≈ 88,44 und x2 ≈ −188,44.<br />
Bei einer Produktion von 88 Mountainbikes sind die variablen Kosten fünfmal so hoch wie<br />
die Fixkosten.<br />
79
1. Ganzrationale Funktion – Mountainbike Lösungen<br />
80<br />
b) Den monatlichen Gewinn G erhält man, indem man die Herstellungskosten H vom Erlös<br />
E subtrahiert. Da ein Mountainbike für 450 e an den Händler verkauft wird, gilt für den<br />
Erlös E bei x produzierten Mountainbikes:<br />
E(x) = 450 · x<br />
G(x) = E(x) − H(x) = 450x − (1,5x 2 + 150x + 5000)= −1,5x 2 + 300x − 5000.<br />
Die Firma macht Gewinn, wenn G(x) positiv ist, d.h. die Produktionszahlen zwischen den<br />
Nullstellen von G liegen, da der Graph von G eine nach unten offene Parabel ist.<br />
G(x) = 0 führt zu −1,5x 2 + 300x − 5000 = 0 ⇒ x1 ≈ 18,4 und x2 ≈ 181,6.<br />
Die Firma macht Gewinn, wenn mehr als 18 und weniger als 182 Mountainbikes hergestellt<br />
werden.<br />
Den max<strong>im</strong>alen Gewinn erhält man durch Berechnung des Max<strong>im</strong>ums von G durch Nullsetzen<br />
der 1. Ableitung:<br />
G ′ (x) = −3x + 300 = 0 ⇒ x = 100.<br />
Da G ′ bei x = 100 das Vorzeichen von + nach − wechselt, handelt es sich um ein Max<strong>im</strong>um.<br />
Setzt man x = 100 in G(x) ein, so erhält man:<br />
G(100) = −1,5 · 100 2 + 300 · 100 − 5000 = 10000.<br />
Bei einer Produktion von 100 Mountainbikes pro Monat beträgt der max<strong>im</strong>ale Gewinn<br />
10000 e.<br />
c) Wenn pro Monat 90 Mountainbikes produziert werden, betragen die Herstellungskosten<br />
H(90) = 1,5 · 90 2 + 150 · 90 + 5000 = 30 650.<br />
Ist p der Preis für ein Mountainbike, so beträgt der Erlös E = 90 · p.<br />
Da der Gewinn mindestens 2000 e betragen soll, muss gelten:<br />
90p − 30 650 � 2000 ⇒ p � 362,78.<br />
Der Preis für ein Mountainbike kann also höchstens um 450 − 362,78 = 87,22 e gesenkt<br />
werden.<br />
Da 87,22<br />
450<br />
≈ 0,194 = 19,4 %, also kann der ursprünglich erzielte Preis um höchstens 19,4 %<br />
gesenkt werden.