zur Vektorrechnung im dreidimensionalen Raum R³ - Bkonzepte.de

Vektorrechnung im dreidimensionalen Raum R³6. Jetzt sollten wir auch in der Lage sein, die eingangsgestellte Motivationsaufgabe zu lösen.Sie sehen den Verlauf einer Seilbahn von oben betrachtet.Vom Punkt [ 0 | -900 ] bis zum Punkt [ 0 | 450 ] steigt dieSeilbahn gleichmäßig von 300m auf 1800m an.a) Wie lang ist die Strecke der Seilbahn?b) Welche Höhe hat die Seilbahn bei Überschreiten derroten Linie (y = -300) erreicht?c) Die Baukosten unterhalb der roten Linie betragen90.000 € für 100m Länge und oberhalb der roten Liniesteigen, die Kosten auf 110.000 € pro 100m.Welche Baukosten entstehen für die Seilbahn?d) Welcher Winkel wird zwischen dem Seil amPunkt [ -450 | 0 ] gemessen?www.bkonzepte.deI. Böhm Seite 7 22.01.2007

Vektorrechnung im dreidimensionalen Raum R³Lagebeziehungen von Geraden im dreidimensionalen RaumBereits im zweidimensionalen Raum R² wurde die Lagebeziehungen von Geraden untersucht.Dabei gab es Geraden, die aufeinander Lagen, Geraden die zueinander parallel verlaufen oderzwei Geraden hatten einen Schnittpunkt.Im dreidimensionalen Raum schneiden sich die wenigsten Geraden, auch wenn sie nichtparallel sind. So wie eine Brücke die Straße über den Fluss führt, oder die Autobahn und dasZuggleis sich kreuzen ohne sich zu schneiden, so laufen auch die meisten geraden im R³einfach aneinander vorbei. Man sagt: Die Geraden sind windschief.Kollineare Geraden im R³7. Gegeben sind die zwei Geraden g und h mitg :x= 7 1 02,5 s 0 h:5x= 7 53,5 2 0t 0Bestimmen Sie die Lage der beiden Geraden zu einander!Beide Geraden sind kollinear, denn der Vektor2 00 istein Vielfaches des Vektors1 00 .Bestätigung durch die Berechnung des Schnittwinkels der Vektoren:∣2⋅100∣cos α==1 α=0 °2 2 00⋅1 2 00Es muss noch untersucht werden, ob die beiden Geraden g und h identisch oder echt parallelsind.Wenn beide Geraden identisch sind, dann müssen sie auch alle Ortsvektoren gemeinsamhaben.Durch Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen erhält man ein Gleichungssystem mit dreiGleichungen und zwei Unbekannten: 7 1 0 7 2,5 s⋅ 0 = 55 3,5 2 0 0 2 0 1 0t⋅ 0 −2,5 =t⋅ 0 −s⋅ 01,50=2t−1s−2,5=0−01,5=0−0Da das Gleichungssystem nicht lösbar ist, handelt es sich um echt parallele Geraden.www.bkonzepte.deI. Böhm Seite 8 22.01.2007

Vektorrechnung im dreidimensionalen Raum R³8. Gegeben sind die zwei Geraden g und h mitg :x= 7 02,5 s 2,55 −1,5x= 7h: 53,5 0t −53Bestimmen Sie die Lage der beiden Geraden zu einander!Die beiden Geraden sind kollinear, weil der Vektorist.0−5 ein3Bestätigung durch die Berechnung des Schnittwinkels der Vektoren:∣0−5⋅2,5−3⋅1,5∣cos α=0−5 2 3 2 ⋅02,5 2 −1,5 =17 =1 α=0°2 17Vielfaches des Vektors02,5−1,5Es muss noch untersucht werden, ob die beiden Geraden g und h identisch oder echt parallelsind.Durch Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen erhält man ein Gleichungssystem mit dreiGleichungen und zwei Unbekannten:−1,5 7= 53,5 0 t⋅ −53x= 7 2,55 s⋅ 0 2,50=0−0−2,5=−5t−2,5s∣⋅ 3 51,5= 3t 1,5s−1,5= −3t−1,5s0=0−0Alle Gleichungen lassen sich durch jedes t und jedes s erfüllen. → Die Geraden sind identisch!www.bkonzepte.deI. Böhm Seite 9 22.01.2007

Vektorrechnung im dreidimensionalen Raum R³Schneidende Geraden9. Gegeben sind die zwei Geraden g und h mitg :x= 7 02,5 s⋅ 2,55 −1,5x= 7h : 53,5 1 0t⋅ 0Bestimmen Sie die Lage der beiden Geraden zu einander!Beide Geraden sind nicht kollinear, 0denn der Vektor 2,5 ist kein Vielfaches des Vektors−1,5 1 00 .Bestätigung durch die Berechnung des Schnittwinkels der Vektoren:∣00−0∣cos α== 0 =0 α=90°02,5 2 −1,5 2 ⋅10 2 0 2 2,92Die Geraden g und h sind orthogonal.Es ist noch zu untersuchen, wo die beiden Geraden g und h ihren Schnittpunkt S haben.Durch Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen erhält man ein Gleichungssystem mit dreiGleichungen und zwei Unbekannten:x= 7 0 2,5 s⋅ 2,55 −1,5 0= 53,5 1 0t⋅ 07=t−0 t=7−2,5=0−2,5s s=11,5=01,5ss=1S= 7 0 2,5 1⋅ 2,55 −1,5 7= 53,5Der Schnittpunkt der beiden Geraden liegt bei S[ 7 | 5 | 3,5 ]. Nehmen wir erst einmal nebenbei zur Kenntnis, dass die beiden sich schneidendenGeraden eine Ebene aufspannen. Im gegebenen Fall eine Dachfläche des stilisiertenHauses.www.bkonzepte.deI. Böhm Seite 10 22.01.2007

Vektorrechnung im dreidimensionalen Raum R³Windschiefe Geraden10. Gegeben sind die zwei Geraden g und h mitg :x= 72,55 s⋅ 02,5−1,5x= 7h : 50 1 0t⋅ 0Bestimmen Sie die Lage der beiden Geraden zu einander!denn der Vektor Lösung:Beide Geraden sind nicht kollinear,02,5 ist kein Vielfaches des Vektors−1,5 1 00 .Bestätigung durch die Berechnung des Schnittwinkels der Vektoren:∣00−0∣cos α== 0 =0 α=90°02,5 2 −1,5 2 ⋅10 2 0 2 2,92Die Geraden g und h sind orthogonal.Es ist noch zu untersuchen, wo die beiden Geraden g und h ihren Schnittpunkt S haben.Durch Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen erhält man ein Gleichungssystem mit dreiGleichungen und zwei Unbekannten:x= 7 0 2,5 s⋅ 2,55 −1,5 7 0 1 0= 5 t⋅ 00=t−0 t=0−2,5=0−2,5s s=15=01,5ss=3 3 3Es gibt zwei verschiedene Lösungen für s. Dieser Widerspruch zeigt an, dass die Geradenkeinen Schnittpunkt haben. Sie verlaufen windschief.www.bkonzepte.deI. Böhm Seite 11 22.01.2007

Vektorrechnung im dreidimensionalen Raum R³Zusammenfassung Zwei Geraden g und h werden auf ihre Lagebeziehungen zueinander untersucht, indemermittelt wird, ob ihre Richtungsvektoren kollinear sind oder nicht. Dies kann auch mitder Berechnung des Schnittwinkels zwischen den Richtungsvektoren geschehen.Sind die Richtungsvektoren kollinear, der Schnittwinkel also 0°,- dann liegt Identität vor, wenn die Vektorgleichung lösbar ist oder- es liegt echte Parallelität vor, wenn die Vektorgleichung nicht lösbar ist.Sind die Richtungsvektoren der Geraden g und h nicht kollinear,- dann schneiden sich die Geraden, wenn die Vektorgleichung lösbar ist oder- die Vektorgleichung ist nicht lösbar und die Geraden sind windschief.Übungen zu Lagebeziehungen von Geraden11. Gegeben sind die Geraden g und h. Untersuchen Sie ihre Lage zueinander undberechnen Sie die eventuellen Schnittpunkte!a) g :x= −2 1 34 s⋅ 2 ; h :6x= 1 1b) g :x= −24 −0,5s⋅ 16−1 1,5t⋅ 34,5−0,5x= 1; h: −2 11t⋅ − 29c) g :x= −2 0 14 s⋅ 1 ; h:6x= 1 1−1 1 1t⋅ 1d) g :x= 2 34 s⋅ 2−1 ; h:4x= 3−59 t⋅ 9−1221Schnittwinkel von GeradenDer Schnittwinkel α von Geraden bestimmt sich durch die Schnittwinkel ihrerRichtungsvektoren a und b :g :x=os· a ; h :x=pt · b ; s , t∈R∣a · b∣cos=∣a∣·∣b∣12. Bestimmen Sie die Schnittwinkel der Geraden aus der vorangegangenen Aufgabe!www.bkonzepte.deI. Böhm Seite 12 22.01.2007

Vektorrechnung im dreidimensionalen Raum R³Abstand eines Punktes von einer Geraden13. Eine Gerade g verläuft durch die Punkte A[-2|4|1] und B[4|6|-1].Berechnen Sie die Entfernung e, des Punktes P[-1|11|0] zu der Geraden g!Lösungsweg über Orthogonalität Gehört ein Punkt P nicht zurGeraden g, dann gibt es eineeinzige Normale (Orthogonale,Senkrechte) zu g durch P. DieseNormale schneidet die Gerade g imFußpunkt F.Man nennt PF den Abstand edes Punktes P von der Geraden g.gAxAayxFFegPF =−OPOAt ·aPF=OAt · a−OP0PxPF = −241 t · 6 2PF= 6t−12t−7−2t1−2 −1− 110PF und der Geradenvektor a sind orthogonal.PF ⊥a PF ·a=0 6 2−2· 6t−12t−7 =0 6t−1· 62t−7·2−2·−2t1=0=44t−22=0 t=0,5−2t1=PF 6·0,5−12·0,5−7−2·0,51 2 = −6 ; e=∣ PF∣=2 2 −6 2 0 2 =40≈6,32=e0www.bkonzepte.deI. Böhm Seite 13 22.01.2007

Vektorrechnung im dreidimensionalen Raum R³Spurpunkte Die Schnittpunkte einer Geraden mit denKoordinatenebenen heißen Spurpunkte.14. Berechnen Sie die Spurpunkte der Geradenx= 2 1 02 t⋅ −12Bestimmung des Spurpunktes auf der x-y-Ebene:Gesucht wird also jener Punkt, bei dem z = 0 ist.x= 2 2 −1 y s1 0 =x st⋅2 0Mit diesem Wissen berechnen wir t:12t=0t=−0,5Mit t = -0,5 berechnen wir jetzt die x- und y- Koordinaten des Spurpunktes.Einsetzen ergibt: x s=20,5⋅0=2y s=2−0,5⋅−1=2,5Der Schnittpunkt mit der x-y-Ebene liegt bei P xy[ 2 | 2,5 | 0 ].Bestimmung des Spurpunktes auf der x-z-Ebene:Gesucht wird also jener Punkt, bei dem y = 0 ist.x= 2 1 0 =x s2 t⋅ −1 0s2 – t = 0 → t = 2 → x s=22⋅0=2 ; z s=12⋅2=52 zDer Schnittpunkt mit der x-z-Ebene liegt bei P xz[ 2 | 0 | 5 ].Bestimmung des Spurpunktes auf der y-z-Ebene:Gesucht wird also jener Punkt, bei dem x = 0 ist.x= 2 1 0 = 02 t⋅ −1 yss 2 + 0 = 0 Diese Gleichung lässt sich nicht nach t auflösen.2 zEs gibt keinen Schnittpunkt mit der y-z-Ebene, die Gerade verläuft parallel zu ihr.15. Gegeben sind die Geraden g und h mit g :x= −2 1 1 r⋅ 1 unda) Berechnen Sie die Spurpunkte der Geraden g und h!h: x= −117b) Berechnen Sie Schnittpunkt und Schnittwinkel der beiden Geraden! −1s⋅ 4235www.bkonzepte.deI. Böhm Seite 15 22.01.2007

Vektorrechnung im dreidimensionalen Raum R³Schattenwurfs E’, F’, G’, H’16. In einem kartesischen Koordinatensystembestimmen die Eckpunkte A, B, C, D und E, F, G,H eine Garage mit rechteckiger Grundfläche undPultdach. Drei Kanten liegen auf denKoordinatenachsen; der Boden ist Teil derx-y-Ebene.Es ist A[ 5 | 0 | 0 ], B[ 5 | 3 | 0 ], E[ 5 | 0 | 2,5 ]und H[ 0 | 0 | 4 ].a) Bestimmen Sie die Koordinaten derEckpunkte C, D, F, G!b) Eine Lampe L befindet sich 1m über demMittelpunkt der Kante EH .Wenn die Lampe L eingeschaltet wird, wirftdie Garage einen Schatten auf die x-y-Ebene.Bestimmen Sie die Eckpunkte des17. Eine Plane, die zwischen Säulen gespannt ist, solleine waagerechte Fläche vor dem Lichteinfall derLampe L, die 5m über dem Mittelpunkt derBefestigng C und D angebracht ist, schützen.A[6|4|7], B[0|4|7], C[0|0|3], D[0|4|3].a) Berechnen Sie die Punkte A’, B’ , C’ und D’, alsEckpunkte des Schattens.b) Berechnen Sie die Größe der Schattenfläche!www.bkonzepte.deI. Böhm Seite 16 22.01.2007