AB 16: Analysis I - Vollständige Funktionsuntersuchung Bk Datum ...

THEORIEMonotonie:Ist f′ < 0 f ist ↓ in dem entsprechenden IntervallIst f′ > 0 f ist ↑ in dem entsprechenden Intervall6. Krümmung und Wendepunkte:Die notwendige Bedingung f ′ (x) = 0 wird nach x aufgelöst.Die Lösungen x W werden mit den hinreichenden Kriteriengetestet.a) f ′ (x W ) = 0 ∧ f ′′′ (x W ) < 0 l-r-Wendepunktb) f ′ (x W ) = 0 ∧ f ′′′ (x W ) > 0 r-l-Wendepunktc) f ′ (x ) = 0 ∧ f ′′′ (x ) 0 keine Aussage mögl.W W = im Fall c) ist das VZW-Kriterium notwendig:a) VZW von f ′ bei x W von + nach - l-r-Wendepunktb) VZW von f ′ bei x W von - nach + r-l-Wendepunktc) kein VZW von f′ bei x W keine Wendestelle bei x WKrümmung:Ist f ′ < 0 f ist rechtsgekrümmt in dem entsprechendenIntervallIst f ′ > 0 f ist linksgekrümmt in dem entsprechendenIntervallBEISPIELMonotonieintervalle:Macht man sich die Eigenschaften der Nullstellen von f′zunutze, genügt, es an einer Stelle das Vorzeichen von f′ zuberechnen, z.B.: f ′(1)= 39 > 0Da alle Nullstellen von f′ einfach sind, liegt überall VZWvor. Also istf ↑ in [-2; -0,625] und [0; ∞ [;f ↓ in ]- ∞ ; -2] und [-0,625; 0]Notwendige Bedingung für Wendestelle: f ′(x) = 0⇔ 24 x² + 42x + 10 = 0Mit p-q-Formel erhält man, dassx 7 =7 1− +8 24201 ≈ −0,28undx 8 =7 1− −8 24201 ≈ −1,47mögliche Kandidaten fürWendestellen sind.Hinreichende Bedingung für Wendepunkte:f ′ (x 7 ) = 0 ∧ f ′′′ (x 7 ) ≈ 28,56 ≠ 0 x 7 ist Wendestelle′ (x ) = 0 ∧ f ′′′ (x ) ≈ −28,560 x 8 ist Wendestellef 8 8≠ Wendepunkte: W 1 (-0,28/0,25); W 2 (-1,47/-2,09)Krümmungsintervalle:Macht man sich die Eigenschaften der Nullstellen von f ′zunutze, genügt es, an einer Stelle das Vorzeichen von f ′ zuberechnen, z.B.: f ′(0) = 10 > 0Da alle Nullstellen von f ′ einfach sind, liegt überall VZWvor. Also istf rechtsgekrümmt in [-1,47; 0,28]f linksgekrümmt in ]- ∞ ; -1,47] und [-0,28; ∞ [;7. Skizze des Graphen:Gegebenenfalls ist es notwendig, mithilfe einer Wertetabelleweitere Funktionswerte zu berechnen, z.B. denSchnittpunkt von Graph und y-Achse.Nach Wahl des Koordinatensystems mit geeigneten Einteilungender Achsen (Einheiten müssen nicht in beideRichtungen gleich sein!) werden die ermittelten eingerahmtenPunkte aus 3., 5. und 6. in das Koordinatensystemeingetragen. In der Skizze müssen die charakteristischenEigenschaften der Funktion zu erkennen sein.Das heißt insbesondere, dass der Graph weder Ecken,Knicke, Sprünge etc. hat – denn dort wäre die Funktiondann ja gar nicht differenzierbar!Achtet beim Skizzieren darauf, dass ihr den Graph möglichstin einem Zug mit einem gespitzten Bleistift zeichnet,d.h. dass nicht zwei Linien nebeneinander verlaufen!