AB 16: Analysis I - Vollständige Funktionsuntersuchung Bk Datum ...

AB 16: Analysis I - Vollständige Funktionsuntersuchung Bk Datum:Zur Untersuchung von Funktionen mithilfe der Differentialrechung empfehle ich folgende Reihenfolge der einzelnen4Schritte (am Beispiel der Polynomfunktion f (x) = 2x + 7x³ + 5x²)THEORIE1. Ableitungen:Von f werden die ersten drei Ableitungen f ′ , f ′ undf ′ ′ bestimmt2. Symmetrie des Graphen:f ( −x)= f (x) f(x) hat nur gerade Exponenten Symmetrie zur y-Achsef ( −x)= −f (x) f(x) hat nur ungerade Exponenten Symmetrie zum Ursprung3. Nullstellen und ihre Vielfachheit:Nullstellen sind Lösungen der Gleichung f (x).Gegebenenfalls müsst ihr eine oder mehrere Lösungenraten und dann weitere durch Polynomdivision berechnen.Ansonsten hilft die p-q-Formel …Ist x 0 eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit keinVZWIst x 0 eine Nullstelle mit ungerader Vielfachheit VZW4. Verhalten von f für x → ±∞ :Man klammert den Term mit dem größten Exponentenaus. Dieser bestimmt allein das Verhalten für x → ±∞5. Monotonie und Extremwerte:Die notwendige Bedingung f ′(x)= 0 wird nach x aufgelöst.Die Lösungen x E werden mit den hinreichenden Kriteriengetestet.a) f ′(xE ) = 0 ∧ f ′′ (x E ) < 0 relatives Maximumb) f ′(xE ) = 0 ∧ f ′′ (x E ) > 0 relatives Minimumc) f ′(x) = 0 ∧ f ′′ (x ) 0 keine Aussage möglichE E = im Fall c) ist das VZW-Kriterium notwendig:a) VZW von f ′ bei x E von + nach - rel. Maximumb) VZW von f ′ bei x E von - nach + rel. Minimumc) kein VZW von f ′ bei x E Sattelpunkt bei x E4f (x) = 2x + 7x³ + 5x²Ableitungen:f ′(x)= 8x³ + 21x² + 10xf ′(x) = 24x² + 42x + 10f ′′′(x) = 48x + 42BEISPIELSymmetrie:f (x) hat gerade und ungerade Exponenten. Der Graph besitztalso weder eine Symmetrie zum Ursprung noch eine zury-Achse.Nullstellen: f (x) = 0⇔ 2x4 + 7x³ + 5x² = 0⇔ x ² ⋅ (2x² + 7x + 5) = 0⇔ x ² = 0 ∨ 2x² + 7x + 5 = 0Also sind x 1 = 0, x 2 = -1 und x 3 = - 2,5 Nullstellen0 ist doppelte Nullstelle kein VZW-1 und -2,5 sind jeweils einfache Nullstellen VZW N 1 (0/0); N 2 (-1/0); N 3 (-2,5/0)Verhalten von f für x → ±∞ :44 7 52x + 7x³ + 5x² = x ⋅ (2 + + )x x²(Für x → +∞ oder x → −∞ geht der Term in der Klammergegen 2, d.h. für betragsgroße x ist nur der Term 2x 4entscheidend.)Wenn x → +∞ , dann f (x) → +∞ .Wenn x → −∞ , dann f (x) → +∞ .Notwendige Bedingung für Extremstelle: f ′(x)= 0⇔ 8 x³ + 21x² + 10x = 0⇔ x ⋅ (8x² + 21x + 10) = 0Also sind x 4 = 0, x 5 = -0,625 und x 6 =-2 mögliche Kandidatenfür ExtremstellenHinreichende Bedingung:f ′(0)= 0 ∧ f ′′(0)= 10 > 0 f(0) = 0 ist rel. Minimumf ′(−0,625)= 0 ∧ f ′′(−0,625)= −6,875< 0f(-0,625) = 0,55 ist rel. Maximumf ′(−2)= 0 ∧ f ′′(−2)= 22 > 0 f(-2) = -4 ist rel. Minimum Extrema: T 1 (0/0); T 2 (-2/-4); H 1 (-0,625/0,55)

THEORIEMonotonie:Ist f′ < 0 f ist ↓ in dem entsprechenden IntervallIst f′ > 0 f ist ↑ in dem entsprechenden Intervall6. Krümmung und Wendepunkte:Die notwendige Bedingung f ′ (x) = 0 wird nach x aufgelöst.Die Lösungen x W werden mit den hinreichenden Kriteriengetestet.a) f ′ (x W ) = 0 ∧ f ′′′ (x W ) < 0 l-r-Wendepunktb) f ′ (x W ) = 0 ∧ f ′′′ (x W ) > 0 r-l-Wendepunktc) f ′ (x ) = 0 ∧ f ′′′ (x ) 0 keine Aussage mögl.W W = im Fall c) ist das VZW-Kriterium notwendig:a) VZW von f ′ bei x W von + nach - l-r-Wendepunktb) VZW von f ′ bei x W von - nach + r-l-Wendepunktc) kein VZW von f′ bei x W keine Wendestelle bei x WKrümmung:Ist f ′ < 0 f ist rechtsgekrümmt in dem entsprechendenIntervallIst f ′ > 0 f ist linksgekrümmt in dem entsprechendenIntervallBEISPIELMonotonieintervalle:Macht man sich die Eigenschaften der Nullstellen von f′zunutze, genügt, es an einer Stelle das Vorzeichen von f′ zuberechnen, z.B.: f ′(1)= 39 > 0Da alle Nullstellen von f′ einfach sind, liegt überall VZWvor. Also istf ↑ in [-2; -0,625] und [0; ∞ [;f ↓ in ]- ∞ ; -2] und [-0,625; 0]Notwendige Bedingung für Wendestelle: f ′(x) = 0⇔ 24 x² + 42x + 10 = 0Mit p-q-Formel erhält man, dassx 7 =7 1− +8 24201 ≈ −0,28undx 8 =7 1− −8 24201 ≈ −1,47mögliche Kandidaten fürWendestellen sind.Hinreichende Bedingung für Wendepunkte:f ′ (x 7 ) = 0 ∧ f ′′′ (x 7 ) ≈ 28,56 ≠ 0 x 7 ist Wendestelle′ (x ) = 0 ∧ f ′′′ (x ) ≈ −28,560 x 8 ist Wendestellef 8 8≠ Wendepunkte: W 1 (-0,28/0,25); W 2 (-1,47/-2,09)Krümmungsintervalle:Macht man sich die Eigenschaften der Nullstellen von f ′zunutze, genügt es, an einer Stelle das Vorzeichen von f ′ zuberechnen, z.B.: f ′(0) = 10 > 0Da alle Nullstellen von f ′ einfach sind, liegt überall VZWvor. Also istf rechtsgekrümmt in [-1,47; 0,28]f linksgekrümmt in ]- ∞ ; -1,47] und [-0,28; ∞ [;7. Skizze des Graphen:Gegebenenfalls ist es notwendig, mithilfe einer Wertetabelleweitere Funktionswerte zu berechnen, z.B. denSchnittpunkt von Graph und y-Achse.Nach Wahl des Koordinatensystems mit geeigneten Einteilungender Achsen (Einheiten müssen nicht in beideRichtungen gleich sein!) werden die ermittelten eingerahmtenPunkte aus 3., 5. und 6. in das Koordinatensystemeingetragen. In der Skizze müssen die charakteristischenEigenschaften der Funktion zu erkennen sein.Das heißt insbesondere, dass der Graph weder Ecken,Knicke, Sprünge etc. hat – denn dort wäre die Funktiondann ja gar nicht differenzierbar!Achtet beim Skizzieren darauf, dass ihr den Graph möglichstin einem Zug mit einem gespitzten Bleistift zeichnet,d.h. dass nicht zwei Linien nebeneinander verlaufen!