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Bedeutung+Winkelsumme 1Winkelsumme 2Kapitel 4: Dreieckslehre4.1 Bedeutung der DreieckeDurch Triangulation lassen sich Vielecke in Dreiecke zerlegen( n Eck in n-2 Dreiecke)⇒ Beweis von Sätzen mittels Sätzen über Dreiecke(z.B. Winkelsumme, Flächeninhalt, Kongruenz)4.2 Winkelsumme im DreieckDie Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°.Herleitung bzw. experimentelle Begründung in der Schule:Durch ParkettierungexperimentellDurchPunktspiegelungDurch Winkel anParallelenSatz 4.1Die Winkelsumme im n-Eck beträgt (n-2)⋅180°.n ⋅180° - 360° = (n –2)⋅180°(n –2)⋅180°

Besondere Punkte im Dreieck 2Besondere Punkte im Dreieck 14.3 Besondere Linien und Punkte im DreieckSatz 4.2 (Satz vom Mittendreieck)Verbindet man die Seitenmitten eines Dreiecks, so liegen dieSeiten des entstehenden Dreiecks parallel zu Seiten desAusgangsdreiecks und sind halb so lang.Beweis trivial mit Hilfe der Strahlensätze (⇒ Übungen)Beweis ohne Strahlensätze (Schule):Ausgangsdreieck ABC,Mittendreieck A‘B‘C‘.Spiegle das Mittendreieck A‘B‘C‘ anseinen Seitenmitten Ma‘, Mb‘, Mc‘ .⇒ ∆ ABC.Bei Punktspiegelung gilt:Bildstrecke || Originalstrecke.Hinweis: Eigentlich wird so nur bewiesen, dass man, ausgehend von ∆ A‘B‘C‘ ein Dreieck ∆ABCerhält, dessen Mittendreieck ∆ A‘B‘C‘ ist. Es wäre zu zeigen, dass man - ausgehend von ∆ABC unddessen Mittendreieck ∆A‘B‘C‘ - durch diese Spiegelung wieder zu ∆ABC gelangt.AB'Ma'C'Mc'Mb'CA'BSatz 4.3 (Besondere Linien im Dreieck)In einem Dreieck schneiden sicha) die Mittelsenkrechten im Umkreismittelpunkt U;Dreieck spitzwinklig: U innerhalb des DreiecksDreieck rechtwinklig: U auf der längsten DreiecksseiteDreieck stumpfwinklig: U außerhalb des Dreiecksb) die Winkelhalbierenden im Inkreismittelpunkt;c) die Seitenhalbierenden im Schwerpunkt S;dieser teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1;d) die Höhen im Höhenschnittpunkt.

UmkreismittelpunktInkreismittelpunktUmkreismittelpunktWo liegen die Mittelpunkte aller Kreise, die durch A und B gehen?Wo liegen die Mittelpunkte aller Kreise, die durch B und C gehen?CMittelsenkrechtevon ABbaMaMittelsenkrechtevon BCAMccBDer Mittelpunkt des Kreises, der durch alle Eckpunkte geht, ist der Schnittpunktder Mittelsenkrechten.InkreismittelpunktWo liegen die Mittelpunkte aller Kreise, die die Seiten b und c berühren?Wo liegen die Mittelpunkte aller Kreise, die die Seiten a und c berühren?WinkelhalbierendeWinkelhalbierendeCbaAcDer Mittelpunkt des Kreises, der alle Seiten berührt, ist der Schnittpunkt derWinkelhalbierenden.B

HöhenschnittpunktSchwerpunktHöhenschnittpunktCMittelsenkrechteA‘C‘A‘B‘Die Mittelsenkrechtenvon Dreieck A’B’C’gehen durch einenPunkt ⇒AbhacHhh bcaBMittelsenkrechteB‘C‘Die Höhen vonDreieck ABC gehendurch einen PunktC‘MittelsenkrechteB‘A‘CSchwerpunktCM as bM aAM bs aM cBs aSM bM cS sbAZeichne zu s a Parallelen durch C, M b , M c und B.Bs a und s b sind zwei Seitenhalbierende.Diese haben alle den gleichen Abstand, sie teilendaher die Seitenhalbierende s b im Verhältnis 2:1CCM bs cM as cM aSsbM bs aM cSs bAM cZeichne zur Seitenhalbierenden s c Parallelendurch A, M b , M a und B.Auch diese haben alle den gleichen Abstand undteilen die Seitenhalbierende s b im Verhältnis 2:1.BADamit müssen alle dreiSeitenhalbierenden durch dengleichen Punkt S auf s b verlaufen..B

Euler-GeradeKongruenzsätze 1Euler-GeradeUmkreismittelpunkt U, Schwerpunkt S und Höhen-Schnittpunkt Hliegen auf einer Geraden. Diese heißt Euler-Gerade.CEs ist | SH | = 2⋅| US | .FbMbHSFaUMa∆ ABC geht durch Streckung mitZentrum S und Streckfaktor ½ in∆ M aM bM cüber.Die Höhen von ∆ ABC gehen dabeiin die Höhen ∆ M aM bM cüber.A Fc Mc BDiese sind die Mittelsenkrechtenvon ∆ ABC.Damit geht H durch Streckung mitZentrum S und Streckfaktor -½ in Uüber .4.4 KongruenzsätzeDie „Kongruenzsätze“ haben wir zu Beginn als „Axiome“ in derfolgenden Form vorausgesetzt:Stimmen zwei Dreiecke in• den drei Seiten (sss),oder• den zwei an eine Seite anliegenden Winkeln (wsw),oder• zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws),oder• zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüber liegenden Winkel (Ssw),überein, dann stimmen sie in allen Maßen überein.

Kongruenzsätze 2Ähnliche Figuren 1Wir haben in den vorangehenden Kapiteln gezeigt:Je zwei in allen Bestimmungsstücken übereinstimmenden Dreieckekönnen durch genau eine Kongruenzabbildung aufeinander abgebildetwerden.Damit wird der Sachverhalt als richtiger Kongruenzsatz formuliert:Stimmen zwei Dreiecke in• den drei Seiten (sss),oder• den zwei an eine Seite anliegenden Winkeln (wsw),oder• zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws),oder• zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüber liegenden Winkel (Ssw),überein, dann können sie durch eine Kongruenzabbildung aufeinanderabgebildet werden.4.5 Ähnliche Figuren und ÄhnlichkeitssätzeDefinition 4.1Zwei Figuren heißen ähnlich, wenn sie• in den Längenverhältnissen aller einander entsprechenden Linien und• in allen einander entsprechenden Winkelnübereinstimmen.Bemerkung:Wir werden später (nach der Behandlung von zentrischen Streckungen)Ähnlichkeit mit Hilfe von Ähnlichkeitsabbildungen exakter definieren.

Ähnliche Figuren 2Ähnliche Figuren 3Bemerkung:Wir betrachten auch Figuren, die nicht nur durch Strecken begrenzt werden. DieGleichheit von Längenverhältnissen gilt dann nicht nur für Längen von Streckensondern auch für die Längen nicht geradliniger Linien (z.B. Kreisbögen usw.)Beispiel: Kreissektorenaαbk⋅aαk⋅bUm die Ähnlichkeit von Dreiecken nachzuweisen benutzt man häufig dieÄhnlichkeitssätze für Dreiecke.Man gewinnt sie unmittelbar aus den entsprechenden Kongruenzsätzen fürDreiecke.Ähnlichkeitssatzentsprechender KongruenzsatzZwei Dreiecke sind zueinanderähnlich, wenn sie übereinstimmen inZwei Dreiecke sind kongruent, wennsie übereinstimmen inden Verhältnissen der drei Seitenoderzwei Winkelnoderden Verhältnissen von zwei Seitenund dem eingeschlossenen Winkeloderden Verhältnissen von zwei Seitenund dem der größeren Seitegegenüber liegenden Winkelden drei Seiten (sss)odereiner Seite und den anliegendenWinkeln (wsw)oderzwei Seiten und demeingeschlossenen Winkel (sws)oderzwei Seiten und dem der größerenSeite gegenüber liegenden Winkel(Ssw)

Geometrische Orte 1Geometrische Orte 24.6 Geometrische OrteGegeben: Dreieck ABC. Die Seite AB wird festgehalten.C wird so bewegt, dassC• der Flächeninhalt,• der Umfang,• der Winkel γAunverändert bleibt.BAuf welcher Linie läuft C? An welchem Ort befindet sich C?Man nennt diese Kurven (Punktmengen) den „geometrischen Ort derPunkte mit einer gewissen Eigenschaft“.AufgabeDefinieren Sie die folgenden Kurven jeweils als „geometrischenOrt“:Der Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r.Die Mittelsenkrechte der Strecke AB.Die Winkelhalbierende des Winkels ∠h f, h gh f, h gals Schenkel.mit den HalbgeradenDie Seitenhalbierende s czur Seite c im Dreieck ABC.Welche Definition einer Ellipse als Ortslinie ergibt sich aus der2. Eigenschaft der Beispiele der vorangehenden Seite?

Winkelsätze 1Winkelsätze 24.7 Winkelsätze: UmfangwinkelsatzSatz 4.5a) Die Umfangswinkel ( Peripherie-Winkel ) auf einem Kreisbogen sindalle gleich groß (und ½ so groß wie der zugehörendeMittelpunktswinkel)b) Die Scheitel C aller Dreiecke ABC mit gleichem Winkel π bei C übereiner Strecke AB liegen auf einem Kreisbogen, der durch A und Bverläuft.Kurz:Der geometrische Ort aller Punkte C, für die die Strecke AB unterdem gleichen Winkel π erscheint, ist ein Kreisbogen durch diePunkte A und B.Sonderfall: Satz des Thalesc) Der Winkel zwischen der Sehne AB und der Tangente in B(Sehnen-Tangenten-Winkel) ist ebenso groß wie derPeripheriewinkel π (und ½ so groß wie der zugehörendeMittelpunktswinkel).4.7 Winkelsätze: Umfangwinkelsatzzu (a): CUmfangswinkel = π = α + βMittelpunktswinkel = λAααπγβλδλ/2βπB2α+γ = 180°2β+δ = 180°λ = 360°- γ - δ= 360°- (180°-2α) - (180°-2β)= 2α + 2βUmfangswinkel = 1/2 λkonstant!Andere Lagen des Punktes C?Zu (b)Sei K der Kreis über AB zum Winkel π aus (a).Für Punkte C’ außerhalb des Kreises K ist der Winkel bei C’ kleiner als π,für C’ innerhalb von K größer als π .Begründung?

Flächensätzec_ _c_ _c_ _4.8 Flächensätze: Satzgruppe des PythagorasSatz 4.6Im rechtwinkligen Dreieck• ist ein Kathetenquadrat so groß wie das Rechteck aus Hypotenuseund anliegendem Hypotenusenabschnitt,• ist das Hypotenusenquadrat so groß wie die Summe derKathetenquadrate,• ist das Quadrat über der Höhe so groß wie das Rechteck aus denbeiden Hypotenusenabschnitten .Der klassische Beweis des KathetensatzesDbCaDas Quadrat über der Kathete wird durch Scherung ineine flächengleiches Parallelogramm überführt.Grundseite des Parallelogramms ist DA ,die Höhe istebenso lang wie die Seite AC .DAqbCacBDas Parallelogramm wird um 90° um die Ecke Agedreht.AqcBDas Parallelogramm kann wieder durch Scherung indas flächengleiche Rechteck mit den Seitenlängen qund c überführt werden.AbDqCaBcBeweis Kathetensatz

Der klassische Beweis des Satzes desPythagoras aus dem KathetensatzDer Satz des Pythagoras folgt unmittelbar aus der Anwendung desKathetensatzes auf die beiden Kathetenquadrate.b 2 b 2a 2a 2Beweis PythagorasBeweis des Höhensatzes aus dem Satzdes Pythagorash2=a2−p2h2=b2− q22 2 2 2 22h= a + b − p − q=2 2 2( p + q)− p − q=p2+q2+2 22 pq − p − q= 2 pq2h =pqBeweis Höhensatz

Anwendung des Höhensatzes:Umwandlung eines Rechtecks in einflächengleiches Quadrat mit Zirkel undLineal.AufgabeGegeben ist ein beliebiges Rechteck mit den Seitenlängen a und b.Gesucht ist ein flächengleiches Quadrat.Zur Strecke mit der Länge a+bwird der Thaleskreis K konstruiertund das Lot h in F c errichtet.hcCDer Schnittpunkt von K mit H istdie Ecke C eines rechtwinkligenDreiecks mit der Höhe h c .Es gilt h2c = ab bzw. h c= abbFcaAnwendung Höhensatz