Inhaltsverzeichnis - School-Scout

Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Vorwort 7
1 Ganzrationale Funktion – Fluss 9
NRW Abitur 2007
2 Ganzrationale Funktion – Radsportler 13
NRW Abitur 2008
3 Ganzrationale Funktion – Windeln 21
4 Ganzrationale Funktion – Straßenkreuzung 26
Baden-Württemberg Abitur 2003
5 Ganzrationale Funktion – Küstenlinie 32
Hessen Musteraufgabe
6 Ganzrationale Funktion – Straßenlaterne 37
7 Gebrochenrationale Funktion – Funktionenschar 41
NRW Abitur 2007
8 Gebrochenrationale Funktion – Mineraldünger 45
9 Gebrochenrationale Funktion – Heizkosten 48
10 Gebrochenrationale Funktion – Bakterienkultur 52
11 Exponentialfunktion – rechtwinkliger Schnitt 56
NRW Abitur 2008
12 Exponentialfunktion – Funktionenschar 61
Niedersachsen Abitur 2006
13 Exponentialfunktion – Grenzwert 66
Hessen Abitur 2007
14 Exponentialfunktion – Ventile 69
15 Exponentialfunktion – Kettenlinie 73
Hessen Abitur 2008
16 Exponentialfunktion – Pharmaunternehmen 79
NRW Abitur 2008
17 Exponentialfunktion – Sauerstoffproduktion 85
NRW Abitur 2007
5

Inhaltsverzeichnis
18 Exponentialfunktion – Medikament 91
Baden-Württemberg Abitur 2006
19 Exponentialfunktion – Schädlinge 95
Hessen Musteraufgabe
20 Logarithmusfunktion – Schale 101
21 Logarithmusfunktion – Rotweinkaraffe 105
Hessen Musteraufgabe
22 Logarithmussfunktion – Schadstoffmessung 109
23 Logarithmusfunktion – Atemstoßtest 114
Hessen Abitur 2007
24 Trigonometrische Funktion – Sonnenschein 117
25 Trigonometrische Funktion –Luftvolumen der Lunge 120
KMK Musteraufgabe
Stichwortverzeichnis 125
6

Vorwort
Vorwort
In diesem Aufgabenbuch finden Sie 25 Aufgaben für Prüfungsvorbereitungsklassen. Die Aufgaben
sind nach Funktionenklassen sortiert und bieten eine breite Auswahl an Aufgabentypen und Schwie-
rigkeitsgeraden.
Am Anfang finden Sie rein mathematische «klassische» Abituraufgaben, anschließend gemischte
Aufgaben und zum Schluss eher anwendungsbezogene Aufgaben. Im Anschluss an die Aufgaben
befindet sich eine ausführliche Lösung, mit der auch Ihre Schüler die Bearbeitung der Aufgabe gut
nachvollziehen kommen.
Teilweise handelt es sich bei den Aufgaben um ehemalige Abituraufgaben aus verschiedenen Bun-
desländern, dies ist im Inhaltsverzeichnis angegeben.
Wir hoffen, dass dieses Buch Ihnen bei der Abiturvorbereitung für Ihre Schüler hilft.
Helmut Gruber, Robert Neumann
7

20 Logarithmusfunktion – Schale
Für jede Zahl t > 0 ist eine Funktionenschar ft (x) gegeben durch
ft (x) = ln � x 2 +t � ; x ∈ IR
20. Logarithmusfunktion – Schale
a) Untersuchen Sie den Graphen von ft(x) auf Symmetrie, Nullstellen, Extrem- und Wendepunk-
te (auf die hinreichende Bedingung für Wendepunkte kann verzichtet werden).
Skizzieren Sie den Graphen zu f4 (x) für −3 � x � 3 (1LE �= 2cm).
Für welche Werte von t liegen die Wendepunkte des Graphen von ft(x) unterhalb der x-Achse?
�√ � � √ �
b) Für 0 < t < 0,5 sind die Punkte At t | ln(2t) , Bt − t | ln(2t) und O(0 | 0) Eckpunkte
eines Dreiecks, das um die y-Achse rotiert.
Für welchen Wert von t wird der Rauminhalt des entstehenden Kegels am größten ? Geben Sie
den größtmöglichen Rauminhalt des Kegels an.
c) Der Graph von f4 (x) und die Gerade y = ln8 umschließen eine Fläche.
Rotiert diese Fläche um die y-Achse, entsteht eine Schale.
Berechnen Sie das Volumen der Schale, wenn einer Längeneinheit 5cm entsprechen.
101

20. Logarithmusfunktion – Schale
Lösung
Es ist ft (x) = ln � x 2 +t � ; t > 0, x ∈ IR
102
a) Wegen ft(−x) = ln � (−x) 2 +t � = ln � x 2 +t � = ft(x) ist der Graph von ft(x) achsensymme-
trisch zur y-Achse.
Zur Bestimmung der Nullstellen des Graphen von ft muss gelten: ft (x) = 0.
Dies führt zu
ln � x 2 +t � = 0 ⇔ x 2 +t = e 0 = 1 ⇒ x1;2 = ± √ 1 −t ; 0 < t � 1
Für 0 < t � 1 hat der Graph von ft(x) die Nullstellen xt;1 = − √ 1 −t und xt;2 = √ 1 −t.
Um die Extrempunkte zu bestimmen, benötigt man die 1. und 2. Ableitung, die man mit Hilfe
der Ketten- und Quotientenregel erhält:
ft ′ (x) = 1
x2 2x
· 2x =
+t x2 +t
ft ′′ (x) = 2 · � x2 +t � − 2x · 2x
(x2 +t) 2 = 2t − 2x2
(x2 +t) 2
Die notwendige Bedingung ft ′ (x) = 0 führt zu:
Die hinreichende Bedingung ergibt:
ft ′′ (0) =
2x
x2 = 0 ⇒ x = 0
+t
2t − 2 · 02
(02 2t 2
= = > 0 ⇒ Minimum
2
+t) t2 t
Mit ft (0) = ln � 0 2 +t � = lnt erhält man als einzigen Extrempunkt den Tiefpunkt Tt (0 | lnt)
Zur Bestimmung der Wendepunkte führt die notwendige Bedingung ft ′′ (x) = 0 zu:
2t − 2x2 (x2 +t) 2 = 0 ⇒ 2t − 2x2 = 0 ⇒ x1;2 = ± √ t
� √ � ��± √ � �
2 � √ �
Mit ft ± t = ln t +t = ln(2t) erhält man die Wendepunkte Wt;1 − t | ln(2t)
�√ �
und Wt;2 t | ln(2t)
Die Wendepunkte liegen unterhalb der x-Achse, wenn der y-Wert der Wendepunkte kleiner als
Null ist:
ln(2t) < 0 ⇒ 2t < e 0 = 1 ⇔ t < 1
2
Für 0 < t < 1
2 liegen die Wendepunkte unterhalb der x-Achse.

20. Logarithmusfunktion – Schale
b) Das Volumen des Kegels, der bei der Rotation des Dreiecks um die y-Achse entsteht, erhält
man mit der Formel: V = 1
3 · π · r2 · h
�√ � � √ �
Die angegebenen Eckpunkte des Dreiecks sind: At t | ln(2t) , Bt − t | ln(2t) und O(0 | 0)
mit 0 < t < 0,5. Aus t < 0,5 folgt ln(2t) < 0. Damit ergibt sich für r und h: r = √ t und
h = 0 − ln(2t) = −ln(2t), für das Volumen erhält man damit:
V(t) = 1
3 · π · �√ t �2 1
· (−ln(2t)) = − · π ·t · ln(2t)
3
Um das Maximum von V(t) zu bestimmen, benötigt man die 1. und 2. Ableitung von V(t), die
man mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel erhält:
V ′ (t) = − 1
�
· π · 1 · ln(2t) +t ·
3 1
· 2
2t
V ′′ (t) = − 1 1 1 π
· π · · 2 = −π · = −
3 2t 3 t 3t
�
= − π
· (ln(2t) + 1)
3
Die notwendige Bedingung V ′ (t) = 0 führt zu − π 3 · (ln(2t) + 1) = 0 bzw.
Wegen V ′′ � �
1 π
2e = − 3 · 1 1
2e
ln(2t) + 1 = 0 ⇔ 2t = e −1 ⇒ t = 1
≈ 0,184
2e
= − 2πe
3
< 0 handelt es sich um ein lokales Maximum.
Bei der Betrachtung der Randwerte von V(t), benutzt man die Tatsache, dass t schneller gegen
Null geht, als lnt gegen minus Unendlich geht:
und
lim V(t) = lim
t→0 + t→0 +
�
− 1
· π ·t · ln(2t)
3
�
= 0
lim V(t) = lim
t→0,5− t→0,5− �
− 1
�
· π ·t · ln(2t) = 0
3
also handelt es sich bei t = 1
2e um ein absolutes Maximum.
Mit
hat der Kegel für t = 1
2e
� �
1
V = −
2e
1
�
1
· π · · ln 2 ·
3 2e 1
�
=
2e
π
≈ 0,193
6e
das größtmögliche Volumen; es beträgt etwa 0,193VE.
c) Das Volumen V der Schale erhält man, indem man die Formel V = π ·
� y2
y1
x 2 dy für Rotation
um die y-Achse verwendet, wobei x = ¯f4(y) die Umkehrfunktion von y = f4(x) ist; die Inte-
103

20. Logarithmusfunktion – Schale
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grationsgrenzen sind y1 = ln4 (y-Wert des Tiefpunkts) und y2 = ln8.
y = f4(x) = ln � x 2 + 4 � führt zu e y = x 2 + 4 bzw. x 2 = e y − 4.
Damit ergibt sich:
� ln8
V = π · (e
ln4
y �
− 4)dy = π · e y �ln8 − 4y
ln4
= π · � e ln8 − 4 · ln8 − � e ln 4 − 4 · ln4 �� = π · (8 − 4 · ln8 − 4 + 4 · ln4) ≈ 3,856VE
Da eine Längeneinheit 5cm ist, ergibt eine Volumeneinheit 5cm · 5cm · 5cm = 125cm 3 .
Somit beträgt das Volumen der Schale etwa 3,856 · 125cm 3 = 482cm 3 .