Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

1.3 EinselementIn einer Banachalgebra mit Eins e lässt sich bequemer arbeiten, wenn ‖e‖ = 1. Wir zeigen, dass dies immer erreichtwerden kann.Satz 1.3.1. Ist A eine Banachalgebra mit Eins e, so existiert auf A eine zu ‖˙‖ äquivalente Norm ‖˙‖ 0 mit‖e‖ 0 = 1 und ‖ab‖ 0 ≤ ‖a‖ 0 ‖b‖ 0 .Beweis. Jedem a ∈ A ordnen wir den Operator L a : A → A, b → ab der Linksmultiplikation mit a zu und setzen‖a‖ 0 := La = sup{‖ab‖ : ‖b‖ ≤ 1} ≤ ‖a‖ .Aus ‖a‖ 0 = 0 folgt, L a = 0 und damit wegen L a e = a, dass a = 0. Damit ist klar, dass ‖˙‖ 0 eine Norm auf A wird.Außerdem gilt ‖e‖ 0 = 1 (da L e die identische Abbildung ist) und‖ab‖ 0 = Lab = La L b ≤ La Lb = ‖a‖0 ‖b‖ 0 .Schließlich folgt die Äquivalenz der Normen ‖˙‖ und ‖˙‖ 0 aus‖a‖ = La e ≤ La ‖e‖ = ‖a‖0 ‖e‖ ≤ ‖a‖ ‖e‖ .Von nun an nehmen wir für Banachalgebren mit Eins immer ‖e‖ = 1 an. Hat eine Banachalgebra kein Einselement,so lässt sie sich in eine größere Banachalgebra mit Einselement einbetten:Satz 1.3.2. Sei A eine Banachalgebra, und à sei der lineare Raum A × , versehen mit der Norm ‖(a, λ)‖ := ‖a‖ + |λ|und dem Produkt(a, λ) · (b, µ) := (ab + λb + µa, λµ).Dann ist à Banachalgebra mit Eins (0, 1), die Menge à 0 aller Paare mit (a, 0) mit a ∈ A ist eine abgeschlosseneUnteralgebra von Ã, und die Algebren A und à 0 sind isometrisch isomorph.Beweis. Einfaches Nachrechnen (↗ Übung) zeigt, dass à Banachalgebra mit Eins (0, 1) ist und à 0 eine abgeschlosseneUnteralgebra (sogar ein Ideal) von à ist. Beispielsweise folgt die Submultiplikativität der Norm aus (a, λ)(b, µ) = ab + λb + µa, λµ = ab + λb + µa + λµ ≤ ‖a‖ ‖b‖ + |λ| ‖b‖ + |λ| ‖a‖ + |λ| µ = (‖a‖ + |λ|)(‖b‖ + |λ|) = ‖(a, λ)‖ (b, µ) .Schließlich überprüft man schnell, dassW : A → à 0 , a → (a, 0)ein Homomorphismus und wegen ‖a‖ = ‖(a, 0)‖ sogar eine Isometrie ist.Wesentlich mehr Mühe macht es, eine C ∗ -Algebra mit einem Einselement zu versehen.Satz 1.3.3. Sei A eine C ∗ -Algebra(i) Für den Operator L a : A → A, b → ab der Linksmultiplikation mit a gilt: La = ‖a‖Hat insbesondere A ein Einselement e, so ist ‖e‖ = 1.(ii) Hat A kein Einselement, so ist die in Satz 1.3.2 eingeführte Algebra à eine C ∗ -Algebra bezüglich der Involution(a, λ) ∗ := (a ∗ , λ) und der Norm‖(a, λ)‖ := L(a,λ) , (1.3.7)wobei L (a,λ) : A → A, b → ab + λb der entsprechende Multiplikationsoperator ist. Die Algebra à 0 ist ein abgeschlossenesIdeal in Ã, welches zu A isometrisch isomorph ist.8