Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Lemma 1.2.4. Der Kern eines stetigen Homomorphismus ist abgeschlossenes Ideal, und jedes abgeschlossene Ideal istder Kern eines stetigen Homomorphismus.Für C ∗ -Algebren A und abgeschlossene Ideale J von A entsteht die Frage, ob man A/J wieder zu einer C ∗ -Algebramachen kann. Diese werden wir erst später beantworten.Beispiel 1.2.5. Für jeden Banachraum X ist die Menge K(X ) der linearen kompakten Operatoren auf X ein abgeschlossenesIdeal von L(X ). Falls X unendlichdimensional ist, ist dieses Ideal nicht trivial. Im Falle eines separablen unendlichdimensionalenHilbertraums (wie l 2 ) kan man sogar zeigen, dass K(H) das einzige nichttriviale abgeschlossene Idealvon L(H) ist (während es sehr viele nichtabgeschlossene Ideale gibt wie z.B. das Ideal der Hilbert-Schmidt-Operatorenoder das der Operatoren mit endlichdimensionalem Bild). Für jeden unendlich-dimensionalen Banachraum X heißtL(X )/K(X ) die Calkinalgebra von X .Beispiel 1.2.6. Sei X ein kompakter Hausdorff-Raum. Unser Ziel ist es, alle abgeschlossenen Ideale von C(X ) zubeschreiben. Man überlegt sich sofort, dass für jede kompakte Teilmenge K von X die MengeJ(K) := {f ∈ C(X ) : f | K = 0} (1.2.5)ein abgeschlossenes Ideal von C(X ) bildet. Bemerkenswerterweise gilt auch die Umkehrung:Satz 1.2.7. Sei X kompakter Hausdorff-Raum und J abgeschlossenes Ideal von C(X ). Dann gibt es eine kompakte MengeK ⊆ X , so dassJ(K) := {f ∈ C(X ) : f | K = 0} (1.2.6)Beweis. Wir zeigen, dass die Menge K := ⋂ f ∈J f (−1) (0) den Bedingungen des Satzes genügt. Als Durchschnitt kompakterMengen ist K wieder kompakt und die Inklusion J ⊆ {f ∈ C(X ) : f | K = 0} ist offensichtlich. Für den Beweisder umgekehrten Inklusion sei f ∈ C(X ) eine Funktion, die auf K verschwindet. Wir müssen zeigen, dass f ∈ J.Sei ɛ > 0. Dann gibt es eine offene Umgebung U K von K so, dass f (x) < ɛ für alle x ∈ UK . Weiter wählen wirfür jeden Punkt x ∈ X \ K eine Funktion g x ∈ J mit g x (x) = 1. Diese Funktion können wir als reellwertig undnichtnegativ annehmen (nötigenfalls ersetzen wir sie durch die Funktion g x g x ). Sei U x := {y ∈ X : g x (y) > 1 }. Die2offenen Mengen U x , x ∈ X \ K, überdecken zusammen mit der offenen Menge U K den Kompakt X . Es gibt folglich eineendliche Überdeckung durch solche Mengen, etwaX = U K ∪ U x1 ∪ · · · ∪ U xkSei 1 = f K + f 1 + · · · + f n eine Zerlegung der Eins bzgl. dieser Überdeckung, d.h. f K und alle f i sind nichtnegativestetige Funktionen mit supp f K ⊂ U K sowie supp f i ⊆ U xi für alle i. Auf der Abschließung U xi von U xi ist g xi ≥ 1 . Die 2Einschränkung von g xi auf U xi ist also invertierbar, und die inverse Funktion ist wieder stetig auf U xi . Nach einemSatz von Uryson kann (g xi | Uxi) −1 zu einer auf ganz X stetigen Funktion h i fortgesetzt werden. Mit dieser giltf i = f i g xi h i (i = 1, . . . , n)(punktweise nachrechnen!), und wegen g xi ∈ J folgt f i ∈ J für alle i. Nun ist wegen f = f · 1 = f f K + f f 1 + · · · + f f nklar, dass f − f f1 − · · · − f f n∞= f fK∞≤ f |UK ∞ < ɛ.Die Funktion f kann also beliebig genau durch Funktionen aus J approximiert werden. Da J abgeschlossen ist folgtf ∈ J und damit die Behauptung.Wir haben also eine Bijektion zwischen den abgschlossenen Teilmengen von X und den abgeschlossenen Idealen vonC(X ).7