Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Satz 4.3.2. Sei A eine Banachalgebra mit Eins e, die das Standardpolynom F 2n erfüllt.(i) Dann ist für jedes maximale Ideal I von A die Faktoralgebra A/I isomorph zu l×l mit einem l ≤ n, und(ii) ein Element a ∈ A ist genau dann invertierbar, wenn für jedes maximale Ideal I die Matrix f I (a) := ϕ I (a)π I (a)invertierbar ist, wobei π I : A → A/I der kanonische Homomorphismus und ϕ I : A/I → l×l ein nach a)existierender Homomorphismus ist.Den Beweis findet man im zitierten Buch von N.Krupnik. Für uns ist dieser Satz besonders aus folgendem Grundinteressant:Satz 4.3.3. Sei A eine Banachalgebra, die durch zwei Idempotente p und q (d.h. p 2 = p und q 2 = q) und durch dasEinselement erzeugt wird. Dann ist A eine F 4 -Algebra.Dies kann man durch direktes Nachrechnen überprüfen. Satz 4.3.2 ist also prinzipiell anwendbar und es gelingt indiesem Fall, die Homomorphismen f I : A → l×l mit l = 1 oder l = 2 komplett zu beschreiben:Satz 4.3.4. Sei A eine Banachalgebra, die durch zwei Idempotente p, q und durch das Einselement e erzeugt wird. Danngilt:(i) Für jedes x ∈ σ(pqp + (e − p)(e − q)(e − p)) \ {0, 1} lässt sich die Abbildung F x : {e, p, q} → 2×2F x (e) = 1 0, F0 1 x (p) = 1 0, F0 0 x (q) = x(1 − x),xx(1 − x) 1 − xwobei x(1 − x) irgendeine Zahl ist, deren Quadrat gleich x(1 − x) ist, zu einem stetigen Algebrahomomorphismusvon A in 2×2 fortsetzen.(ii) Für jedes m ∈ σ(p+2q)∩{0, 1, 2, 3} lässt sich die Abbildung G m : {e, p, q} → 1×1 , G 0 (e) = 1, G 0 (p) = G 0 (q) = 0,G 1 (e) = G 1 (p) = 1, G 1 (q) = 0, G 2 (e) = G 2 (q) = 1, G 2 (p) = 0, G 3 (e) = G 3 (p) = G 3 (q) = 1 zu einem stetigenAlgebrahomomorphismus von A in 1×1 fortsetzen.(iii) Ein Element a ∈ A ist genau dann invertierbar, wenn die Matrizen F x (a) für allex ∈ σ(pqp + (e − p)(e − q)(e − p)) \ {0, 1} invertierbar und die Zahlen G m (a) für alle m ∈ σ(p + 2q) ∩ {0, 1, 2, 3}ungleich 0 sind.74