Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Einige Worte zum Beweis folgen im nächsten Abschnitt. Man beachte, dass aus σ(pqp) = [0, 1] auch σ(qpq) = [0, 1]folgt. (↗ Übung).Um dieses als 2-Projektoren-Satz von Halmos bekannte Resultat für die Algebra B = A x mit p = π x (P), q = π x (χ x I)ausnutzen zu können, benötigen wir dasSpektrum vonpqp = π x (P)π x (χ x I)π x (P) = π x (Pχ x P). Nun ist die Matrixdarstellungdes Operators Pχ x P gerade, und es ist nicht schwer einzusehen, dass das lokale Spektrum0 00 T(χ x )von Pχ x P im Punkt x genau mit dem bereits bestimmten lokalen Spektrum des Toeplitzoperators T(χ x ) in x übereinstimmt,also mit [0,1]. Damit ist Satz 4.2.8 in unserer Situation anwendbar.Eshat sicheingebürgert, diesen Satz so zu benutzen, dass dem Projektor π x (χ x I) die konstante Funktion t →1 0entspricht. (Nach oben gemachter Bemerkung können wir ja die Rollen von p und q vertauschen.) Der0 0Nebenklasse π x (aP + bQ) mit a, b ∈ PC ordnen wir also die folgende Matrixfunktion zu: Wegenπ x (aP + bQ) = (a(x + 0)π x (χ x ) + a(x − 0)(π x (I) − π x (χ x )))π x (P)+ (b(x + 0)π x (χ x ) + (b(x − 0)(π x (I) − π x (χ x )))(π x (I) − π x (P))ist das die Funktiont →+= 1 00 0a(x + 0)+ a(x − 0)t t(1 − t)0 00 1 t(1 − t) 1 − t 1 00 0b(x + 0)+ b(x − 0)1 − t −t(1 − t)0 00 1 − t(1 − t) t a(x + 0)t + b(x + 0)(1− t) (a(x + 0) − b(x + 0)) t(1 − t).(a(x − 0) − b(x − 0)) t(1 − t) a(x − 0)(1 − t) + b(x − 0)t(4.2.11)Die lokale Nebenklasse π x (aP + bQ) ist genau dann invertierbar, wenn die Funktion 4.2.11 für jedes t ∈ [0, 1] invertierbarist, und nach dem lokalen Prinzip ist aP + bQ genau dann Fredholmsch, wenn für jedes x ∈ die Funktion 4.2.11in jedem Punkt t ∈ [0, 1] invertierbar ist4.3 Banachalgebren mit polynomialer IdentitätDer Beweis des Halmos’schen 2-Projektoren-Satzes und einer Reihe weiterer Resultate beruht auf einer Verallgemeinerungder Gelfandtheorie für kommutative Banachalgebren, welche auf einer anderen Idee als die lokalen Prinzipienberuht. Eine kommutative Algebra ist offensichtlich dadurch ausgezeichnet, dass das Polynom P(x, y) := x y − y x inzwei nichtkommutierenden Variablen x, y zu 0 wird, wenn man für x und y beliebige Elemente der Algebra einsetzt.Allgemein nennt man eine Algebra A eine Algebra mit polynomialer Identitüt (oder kurz PI-Algebra), wenn es einPolynom P(x 1 , . . . , x n ) in n nicht kommutierenden Variablen x 1 , . . . , x n gibt, so dassP(a 1 , . . . , a n ) = 0 ∀ a 1 , . . . , a n ∈ A.Als besonders nützlich haben sich die sogenannten Standardpolynome F n erwiesen, die durch∑F n (x 1 , . . . , x n ) := sgn σx σ(1) · · · x σ(n)σ∈S ndefiniert sind. Hier ist S n die Menge der Permutationen der Menge {1, 2, . . . , n} und sgn σ das Vorzeichen der Permutationσ. Erfüllt eine Algebra A das Standardpolynom F n , so heiüt sie auch F n -Algebra.Offenbar ist F(x 1 , x 2 ) = x 1 x 2 − x 2 x 1 . Die F 2 -Algebren sind also gerade die kommutativen Algebren.Satz 4.3.1 (Amitsur/Levitzki). Die Algebra n×n ist eine F 2n -Algebra, jedoch keine F 2k -Algebra für k < n.Der Beweis ist nicht ganz einfach, siehe z.B. N.Krupnik: Banachalgebras with symbol and singular integral operators,Birkhüuser. An einem einfachen Beweis würe ich sehr interessiert.Dieses Resultat legt bereits nahe, dass für PI-Algebren Darstellungen als Matrixalgebren wichtig sein könnten. Tatsächlichhat man für F 2n -Banachalgebren die folgende Verallgemeinerung der Gelfandtheorie für kommutative Banachalgebren:73