Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Die Menge C := {f I + K(L 2 ()) : f ∈ C()} bildet also eine Unteralgebra im Zentrum von A/K(L 2 ()), die offenbardas Einselement I + K(L 2 ()) enthält. Wir zeigen, dass C eine abgeschlossene und symmetrische Unteralgebra ist undbestimmen ihren Raum der maximalen Ideale. Dazu benötigen wir:Lemma 4.2.7. Für alle a ∈ L ∞ ((T)) und alle K ∈ K(L 2 ()) ist‖aI‖ L(L 2 ()) ≤ ‖aI + K‖ L(L 2 ()) .Beweis. Nach übergang zur Matrixdarstellung haben wir zu zeigen:‖L(a)‖ ≤ ‖L(a) + K‖∀K ∈ K(l 2 ()).Sei U : (x k ) k∈ → (y k ) k∈ mit y k := x k−1 der Verschiebungsoperator auf l 2 () und für n ∈ seiU n :=U n falls n ≥ 0(U ∗ ) −n falls n < 0.Dann gilt U n → 0 schwach für n → ∞ und demzufolge KU n → 0 stark für jeden kompakten Operator K. Hieraus folgtdie starke Konvergenz von U −n KU n gegen 0: U−n KU n x ≤U−n · KUn x → 0.Da außerdem U −n L(a)U n = L(a), haben wir starke Konvergenz von U −n (L(a) + K)U nSteinhaus ist also‖L(a)‖ ≤ lim inf U−n (L(a) + K)U n ≤ ‖L(a) + K‖ .gegen L(a). Nach Banach-Nun ist offenbar π : C( → A/K(L 2 ())), f → f I + K(L 2 ()) ein ∗ -Homomorphismus. Also ist C = Im π symmetrischund abgeschlossen (Satz 3.2.6), und π ist injektiv, denn aus Lemma 4.2.7 folgt f∞= f I = f I + K(L 2 ()) .Wieder nach Satz 3.2.6(ii) ist π also ein isometrischer Isomorphismus von C() auf C. Damit ist klar, dass M(C) ∼ = ,und dass das dem Punkt t ∈ zugehörige maximale Ideal von C gerade { f I + K(L 2 ()) : f (t) = 0} ist.Wir können also mit Allan/Douglas lokalisieren. Für x ∈ sei I x das kleinste abgeschlossene Ideal von A/K(L 2 ()),welches das maximale Ideal {f I + K(L 2 ()) : f ∈ C(), f (x) = 0} von C enthält. Die Algebra (A/K(L 2 ()))/I x kürzenwir mit A x und den kanonischen Homomorphismus A → A x , A → (A+ K(L 2 ())) + I x mit π x ab. Nach Allan/Douglasist also ein Operator A ∈ A genau dann Fredholmsch, wenn für jedes x ∈ die Nebenklasse π x (A) in der “lokalenAlgebra” A x invertierbar ist.Wir sehen uns die lokalen Algebren A x genauer an. Ist wieder χ x die im vorigen Abschnitt eingeführte Funktion, sohaben wir für jedes a ∈ PC:π x (aI) = a(x + 0)π x (χ x I) + a(x − 0)(π x (I) − π x (χ x I)).Da A von allen Multiplikationsoperatoren aI mit a ∈ PC und von P erzeugt wird, wird die lokale Algebra gerade vonden Elementen π x (χ x I), π x (P) und vom Einselement π x (I) erzeugt.C ∗ -Algebren die durch zwei selbstadjungierte Elemente erzeugt werden, kann man i.a. nicht beschreiben. Wir habenhier jedoch den glücklichen Umstand, dass die Algebra A x durch zwei Projektoren erzeugt wird, nämlich durch π x (χ x I)und durch π x (P). Und solche Algebren kann man beschreiben. Uns genügt hier folgendes Resultat:Satz 4.2.8. Sei B eine C ∗ -Algebra mit Eins e, und p, q seien Projektoren in A so, dass die kleinste abgeschlosseneUnteralgebra von B, welche e, p, q enthält, mit B zusammenfällt. Sei noch σ(pqp) = [0, 1]. Dann ist B isometrischisomorph zur C ∗ -Algebra aller stetigen Funktionen [0, 1] → 2×2 , deren Werte an den Stellen 0, 1 Diagonalmatrizensind. Der Isomorphismus kann so gewählt werden, dass er die Elemente e, p bzw. q in folgende Funktionen überführt:ê : x → 1 00 1; ˆp : x → 1 00 0bzw. ˆq : x →x x(1 − x)x(1 − x) 1 − x.72