Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Wir werden diese Matrixdarstellung benutzen, um auf bequeme Weise Resultate über singuläre Integrale aus Aussagenüber Toeplitz- oder Hankeloperatoren herzuleiten. Die meisten der folgenden Resultate gelten aber auch für singuläreIntegraloperatoren über wesentlich komplizierteren Kurven als der Einheitskreislinie, die etwa Ecken, Endpunkteoder überschneidungen aufweisen können. Eine komplette übersicht über die Kurven Γ und die Gewichtsfunktionenα, für die S im Raum L p (Γ, α)(1 < p < ∞) mit der Norm f p∫= Γ f (s) p|α(s)| p ds beschränkt ist, sowie eineFredholmtheorie in diesem allgemeinen Fall finden Sie in Böttcher/Karlovich: Carleson Curves, Muckenhoupt weights,Toeplitz operators, Birkhäuser 1997. Wir werden uns die Resultate nun für den Raum L 2 () ansehen.Wir bezeichnen mit A die kleinste abgeschlossene Unteralgebra von L(L 2 ()), die alle Operatoren aP+bQ mit a, b ∈ PCenthält. Dann liegen insbesondere alle Multiplikationsoperatoren aI (= aP + aQ) sowie die Projektoren P (= 1P + 0Q)und Q in A. Daraus folgt, dass mit jedem Operator aP + bQ auch dessen Adjungierter (aP + bQ) ∗ = PāI +Q¯bI wiederin A liegt. A ist also eine C ∗ -Algebra.Lemma 4.2.5. A enthält das Ideal K(L 2 ()) der kompakten Operatoren.Beweis. Ein Operator K ∈ K(L 2 ()) ist genau dann kompakt, wenn seine Matrixdarstellung einen kompakten Operatorauf l 2 () liefert. Es genügt daher, wenn wir folgendes zeigen:Jeder kompakte Operator K ∈ l 2 () liegt in der kleinsten abgeschlossenen Unteralgebra von L(l 2 ()),die alle Laurentoperatoren L(c) mit stetiger Erzeugerfunktion und die beiden Projektoren aus (4.2.10),⎛⎞ ⎛⎞. .. . .. 0101p :=01, q :=1010⎜1 ⎟ ⎜0 ⎟⎝⎠ ⎝⎠. .. . ..enthält.Dies kann in völliger Analogie zu Satz 2.4.4 gezeigt werden. An die Stelle der dort benutzten Projektoren treten dabeidie ProjektorenP n : l 2 () → l 2 (), (x n ) n∈ → (. . . , 0, 0, x −n , x −n+1 , . . . , x n−1 , 0, 0, . . .).Die Ausführungen der Details dieses Beweises ist HA.Wir können also die Faktoralgebra A/K(L 2 ()) bilden. Diese ist invers abgeschlossen in der CalkinalgebraL(L 2 ())/K(L 2 ()) und wir haben daher:Ein Operator A ∈ A ist genau dann Fredholmsch, wenn seine Nebenklasse A+ K(L 2 ()) in A/K(L 2 ())invertierbar ist.Die Invertierbarkeit von A+ K(L 2 ()) kann wieder mit Hilfe des lokalen Prinzips von Allan/Douglas studiert werden.Grundlage dafür istLemma 4.2.6. Für jedes f ∈ C() liegt die Nebenklasse f I + K(L 2 ()) im Zentrum von A/K(L 2 ()).Beweis. Die Algebra A wird erzeugt von de Multiplikationsoperatoren aI mit a ∈ PC und vom singulären Projektor P.Offenbar kommutiert f I mit jedem der Operatoren aI. Es verbleibt daher zu zeigen, dass f P − f P I für jedes f ∈ C()kompakt ist. Wegenf P − P f I = (P + Q)f P − P f (P + Q) = Q f P − P f Qgenügt es zu zeigen, dass jeder der Operatoren Q f P, P f Q kompakt ist. Die Matrixdarstellung des Operators P f Q ist⎛⎞0 0fP f Q ↔3 f 2 f 1⎜ . .. ⎟ ,⎝ f3 f 2 0 ⎠ 0 0was wir mit Hilfe der im Beweis von Lemma 2.4.1 eingeführten Isometrie J auch schreiben können als.H(f ) 0Nach Satz 2.4.3 ist der Hankeloperator H(f ) und folglich auch der Operator Q f P kompakt. Analog beweist man dieKompaktheit von P f Q.f 371