Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Diese einfache Rechnung hat eine Reihe bemerkenswerter Konsequenzen, wenn man beachtet, dass die Funktionen e nfür n ∈ , eine Orthonormalbasis des Hilbertraums L 2 () bilden, wobei das Skalarprodukt in L 2 () gegeben ist durch f , g :=12π∫2π0f e ix g e ix d x(Diese Tatsache ist im wesentlichen äquivalent dazu, dass die Funktionen sin 2πnt und cos 2πnt (für n > 0) zusammenmit der konstanten Funktion 1 eine Orthonormalbasis von L 2 [0, 1] bilden.)Folgerung 4.2.2. S lässt sich stetig fortsetzten zu einer Isometrie von L 2 () auf sich.Beweis. S ist zunächst erklärt auf dem Teilraum von L 2 (), der alle endlichen SummenRaum gilt mit Lemma 4.2.1:und folglichS k∑a n e n =n=−kk∑a n e n =n=0∑−1n=−k‖Su‖ L 2 = ‖u‖ L 2 für alle u =a n e nk∑a n e nn=−kk∑n=−ka n e n enthält. Auf diesemAuf dem betrachteten Teilraum wirkt S also als Isometrie, und da dieser Teilraum dicht in L 2 () liegt, kann S stetigfortgesetzt werden zu einer Isometrie auf ganz L 2 ().Wir bezeichnen diese Fortsetzung wieder mit S. Aus dem Beweis von Folgerung 4.2.2 ist klar, dass S die Funktion mitder Fourierreihe ∑ ∞n=−∞ a ne n in die Funktion mit der Fourierreihe ∑ ∞n=0 a nz n − ∑ −1n=−∞ überführt.Folgerung 4.2.3.(i) S 2 = I, S ∗ = S.(ii) P := 1 (I + S) und Q := 1 (I − S) sind Orthoprojektoren.2 2Beweis. Dies ist offensichtlich, wenn man sich überlegt, wie S wirkt, oder folgt durch einfaches Nachrechnen.Der Operator A in (4.2.9) lässt sich schreiben als aI + bS. Offenbar ist nunaI + bS = a(P + Q) + b(P − Q) = (a + b)P + (a − b)Q.Mit c := a + b und d := a − b können wir A also auch als cP + dQ schreiben, was für viele überlegungen zweckmäßigist. Z.B. gilt:Folgerung 4.2.4. Seien c, d ∈ . Dann ist cP + dQ genau dann invertierbar, wenn c ≠ 0 und d ≠ 0. In diesem Fall ist(cP + dQ) −1 = 1 c P + 1 d Q.Beweis. ↗ Übung.Wir sehen uns noch die Matrixdarstellung des Operators A = cP + dQ bezüglich der Basis (e n ) n∈ von L 2 () an. DieMatrixdarstellung der Multiplikationsoperatoren C I kennen wir bereits: sie wird gerade durch den LaurentoperatorL(c) beschrieben. Aus Lemma 4.2.1 können wir unmittelbar die Matrixdarstellung der Projektoren P und Q ablesen.Es sind die Diagonalmatrizen⎛. .. 0P ↔⎜⎝00111⎞ ⎛. .. 1,Q ↔⎟ ⎜⎠ ⎝. ..11000⎞⎟⎠. ..(4.2.10)70