Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Beweis. Für n = 0 ist(Se 0 )(e i y ) = 1 π limɛ↘0= 1 π limɛ↘0y+2π−ɛ∫y+ɛ2π−ɛ ∫ɛ= 12πi limɛ↘0∫1d x (Substitution: x := x − y)1 − e−i(x− y)11 − e −i x d x = 1 π limɛ↘02π−ɛɛcot x 2 + i d x = 1,2π−ɛ ∫ɛe i x 2d xe i x 2 − e −i x 2da x → cot x 2auf (0, 2π) eine bezüglich des Punktes π ungerade Funktion ist.επ2π − εFür n > 0 folgt aus diesem Ergebnis leicht:(Se n )(t) = 1 πi= 1 πi= 1 πi∫∫∫k=0s ns − t dss n − t nds + 1 ∫s − t πit ns − t ds ∑n−1s k t n−1−k ds + 1 πik=0∫t ns − t ds= 1 n−1∫∑t n−1−k s k ds + t n (Se 0 )(t) = t n = e n (t)πiSchließlich ist für n > 0S(e −n (t) = 1 ∫πi= 1 πi∫s −ns − t ds = 1 πi∫s −n − t −nds + 1 ∫s − t πit −ns − t ds∑n−1− t k−n s −k−1 ds + t −n = −2t −n + t −n = −t −n = −e −n (t),k=0da bekanntlich (↗ Vorlesung Funktionentheorie)∫ 0z n dz =2πifalls n ≠ −1falls n = −169