Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

1.2 Homomorphismen, Ideale, QuotientenDefinition 1.2.1. Seien A, B Algebren. Eine lineare Abbildung W : A → B heißt Homomorphismus, wennW (ab) = W (a)W (b) ∀a, b ∈ A.Haben A und B Einselemente e A bzw. e B , so heißt ein Homomorphismus W : A → B unital, wenn W (e A ) = e B .Sind A, B involutiv, so heißt W : A → B symmetrisch oder ∗-Homomorphismus, wenn W (a ∗ ) = W (a) ∗ für alle a ∈ A.Bijektive Homomorphismen heißen Isomorphismen. Isomorphie ist eine Äquivalenzrelation in der Menge der Algebren.Im Falle normierter Algebren interessiert man sich besonders für stetige Homomorphismen, d.h. für solche mit‖W (a)‖ ≤ C‖a‖∀a ∈ Amit einer gewissen Konstanten C. Gibt es einen stetigen Isomorphismus einer Banachalgebra A auf eine BanachalgebraB, so nennen wir A und B topologisch isomorph und schreiben A ∼ = B. Nach dem Satz von Banach ist die Inverse einesstetigen Isomorphismus wieder ein stetiger Isomorphismus. Topologische Isomorphie ist also eine Äquivalenzrelationin der Menge der Banachalgebren.Definition 1.2.2. Ein linearer Teilraum J einer Algebra A heißt Linksideal, wenna j ∈ J für alle a ∈ A, j ∈ J.Analog erklärt man Rechtsideal, und ein Teilraum, der sowohl Links- als auch Rechtsideal ist, heißt Ideal. Die AlgebraA selbst sowie der Nullraum sind stets Ideale von A. Diese heißen die trivialen Ideale. Besitzt A nur triviale Ideale, soheißt A einfach.Beispielsweise ist die Algebra n×n der n × n-Matrizen mit komplexen Einträgen einfach (↗ Übung).Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen Idealen und den Kernenvon Homomorphismen.ker W := {a ∈ A : W (a) = 0}Lemma 1.2.3. Der Kern jedes Homomorphismus ist ein Ideal, und jedes Ideal ist Kern eines gewissen Homomorphismus.Beweis. Aus der linearen Algebra wissen wir, dass der Kern jeder linearen Abbildung ein linearer Raum ist. Ist nunW : A → B ein Homomorphismus, und sind a ∈ A, j ∈ ker W , so istW (a j) = W (a)W (j) = 0 = W (j)W (a) = W (ja),d.h. a j und ja liegen in ker W .Für die zweite Aussage betrachten wir den Faktorraum A/J für ein Ideal J von A. Dieser lineare Raum kann zu einerAlgebra (die sog. Faktorialalgebra von A nach J) gemacht werden durch die DefinitionMan rechnet leicht nach, dass die Abbildung(a + J) · (b + J) = ab + J.W : A → A/J, a → a + Jein Homomorphismus von A auf A/J ist (der sog. kanonische Homomorphismus) und dass ker W = J.Ist A eine Banachalgebra und J ein abgeschlossenes Ideal von A, so wird in der Faktoralgebra A/J durch‖a + J‖ := inf{‖a + j‖ : j ∈ J}eine Norm definiert, welche A/J zu einer Banachalgebra macht (↗ Übung). Offensichtlich gilt dann ‖a + J‖ ≤ ‖a‖ füralle a ∈ A, d.h. der kanonische Homomorphismus von A auf A/J ist stetig und hat eine Norm nicht größer als 1. Mitdiesen Aussagen erhält man sofort:6