Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Dies zeigt die Analytizität von y π . Außerdem ist diese Funktion beschränkt. Für |λ| > ‖z‖ ist nämlich z − λe invertierbarund y π (λ) 1= (z − λe)−1 ∞∑ 1 = |λ| λ n zn ≤ 1 1|λ| n=01 − Die rechte Seite dieser Abschätzung geht für λ → ∞ gegen 0. Nach dem Satz von Liouville ist y π also eine konstanteFunktion, die wegen lim λ→∞ y π (λ) = 0 sogar konstant gleich 0 sein muss. Aus y π (0) = 0 folgt aber, es gibt ein y 0 ∈ Lmit y 0 z − e ∈ L. Dann ist e ∈ L − z y 0 = L, und dies ist unmöglich, da L eine echtes Ideal von A ist.Der erhaltene Widerspruch zeigt, dass es ein λ ∈ so gibt, dass z − λe ∈ L. Aus z ∉ L folgt auch λ ≠ 0, und damit iste = 1 z + l mit einem l ∈ L ∩ C.λAngenommen, es gäbe ein abgeschlossenes Ideal I von C so, dass L ∩ C ⊆ I und L ∩ C ≠ I. Dann gäbe es einz ∈ I \ (L ∩ C) ⊆ C \ L, und nach dem oben Bewiesenen gäbe es ein λ ∈ \ {0} und ein l ∈ C ∩ C so, dass e = 1 z + l. λDie impliziert l ∈ I und folglich I = C. Also ist L ∩ C maximal.Beweis von Satz 4.1.1. Wir beschränken uns auf den Beweis von Aussage (i). Die Aussage (ii) und einige ihrer Konsequenzenwerden wir uns in der Übung ansehen.Wir werden zeigen, dass ein Element a ∈ A genau dann von links invertierbar ist, wenn die Nebenklasse φ x (a) fürjedes x ∈ M(ϕ) von links invertierbar sind. Die Invertierbarkeit von rechts untersucht man genauso.Sicher ist φ x (a) von links invertierbar, wenn a von links invertierbar ist. Wir müssen umgekehrt zeigen, dass dielinksseitige Invertierbarkeit aller Nebenklassen φ x (a) die Invertierbarkeit von a von links impliziert. Angenommendas ist falsch. Sei also a ∈ A ein Element, welches nicht von links invertierbar ist, für das aber alle φ x (a) von linksinvertierbar sind.Sei L das maximale Linksideal von A, welches die Menge {ba : b ∈ A} enthält (Wegen e ∉ {ba : b ∈ A} ist {ba : b ∈ A}ein echtes Linksideal, welches nach Krull in einem maximalen Linksideal liegt.). Sei x := L ∩ C. Nach Lemma 4.1.9ist x ein maximales Ideal von C. Wir zeigen nun, dass I x ⊆ L. Dies folgt so: Die Elemente der Gestalt ∑ k a k x k b k mitx k ∈ x und a k , b k ∈ A liegen dicht in I x . Da x k ∈ C ⊆ Zentrum von A, ist ∑ k a k x k b k = ∑ k a k b k x k ∈ L und folglichI x ⊆ L.Auf Grund unserer Annahme ist φ x (a) von links invertierbar in A/I x . Es gibt ein b ∈ A so, dass ba − e ∈ I x . AusI x ⊆ L folgt, ba − e ∈ L. Andererseits ist ba ∈ {ba : b ∈ A} ⊆ L, woraus e ∈ L folgt. Die widerspricht der Maximalitätvon L und widerlegt damit unsere Annahme. z λ4.2 Singuläre IntegraloperatorenAuf der Einheitskreislinie betrachten wir einen Operator der Gestalt(Au)(t) = a(t)u(t) + b(t)πi∫u(s)ds (4.2.9)s − tder sich zusammensetzt aus den Operatoren der Multiplikation mit den Funktionen a und b, die wir als stückweisestetig auf voraussetzen wollen, und aus dem Operator der singulären Integration über ,(Su)(t) = 1 πi∫u(s)s − t ds,Dieses Integral existiert selbst für gutartige (z.B. hölderstetige) Funktionen nur im Sinne des Cauchyschen Hauptwertes.Für s = e ix , t = e i y hat man alsot ∈ (Su)(e i y ) = 1 πiy+2π∫yu(e ix )e ix − e i y ieix d x = 1 π limɛ↘0y+2π−ɛ∫y+ɛu(e ix )1 − e i(y−x) d xUm eine Vorstellung vom Wirken von S zu bekommen, berechnen wir Se n für e n (t) = t n , n ∈ Lemma 4.2.1. Für n ≥ 0 ist Se n = e n , und für n < 0 ist Se n = −e n68