Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

(ii) Wir haben T(PC)/K(l 2 )) mit dem Zylinder × [0, 1] identifiziert. Die Gelfandtopologie auf diesem Zylinderfällt jedoch nicht mit der üblichen euklidischen Topologie zusammen. Vielmehr wird eine Umgebungsbasis desPunktes (x, t) ∈ × [0, 1] mit 0 < t < 1 durch die Mengen{x} × (t − ɛ, t + ɛ) mit 0 < ɛ < min{t, 1 − t}gegeben. Eine Umbegungsbasis von (x, 1) wird geliefert durch die Mengen([x, xe iɛ ) × (1 − ɛ, 1]) ∪ ((x, xe iɛ ) × [0, 1 − ɛ] mit 0 < ɛ < 1,und eine Umgebungsbasis von (x, 0) durch((xe iɛ , x] × [0, ɛ)) ∪ ((xe iɛ , x) × [ɛ, 1]) mit 0 < ɛ < 1.(iii) Man kann Toeplitzoperatoren auch auf l p -Räumen studieren, muss allerdings beachten, dass nicht mehr jedestückweise stetige (oder gar jede beschränkte Funktion) einen beschränkten Toeplitzoperator defieniert. Beschränktman sich auf geeignete PC-Funktionen (sog. Multiplikatoren), kann man die entsprechende AlgebraT l p(PC) ganz analog studieren. Das Spektrum des erzeugenden Elementes ist allerdings i.A. nicht mehr dasIntervall [0, 1], sondern ein von p abhängender Kreisbogen von 0 nach 1. Demzufolge hat man die Kurve a()statt mit Strecken mit gewissen Kreisbögen zu einer geschlossenen Kurve zu machen. Lemma 4.1.7 und seineFolgerungen gelten aber im p ≠ 2-Fall nicht mehr. Die Kommutativität von T l p(PC)/K(l p ) muss also andersbewiesen werden.Wir haben nun gesehen, wie das lokale Prinzip arbeitet, und müssen noch seinen Beweis nachtragen. Dazu benötigenwirLemma 4.1.9. Die Voraussetzungen seien wie in Satz 4.1.1. Ist L ein maximales Links-, Rechts- oder zweiseitiges Idealvon A, so ist C ∩ L ein maximales Ideal von C.Beweis. Wir zeigen die Aussage für den Fall eines maximalen Linksideals L. Es ist klar, dass L ∩ C ein echtes (dae ∉ L) abgeschlossenes Ideal von C ist, und wir müssen seine Maximalität zeigen.Sei z ∈ C \ L. Dann ist J z := {l + az : l ∈ L, a ∈ A} ein Linksideal von A, welches L echt (da z ∈ J z \ L) enthält. Wegender Maximalität von L ist also J z = A. Insbesondere ist e ∈ J z und das Element z besitzt ein Inverses modulo L(beachte: l + az = e ⇒ l + za = e, da z im Zentrum liegt).Weiter: K z := {a ∈ A : az ∈ L} ist echtes (da e ∉ K z ) Linksideal von A, welches L enthält. Da L maximal ist, folgtK z = L. Sind insbesondere y 1 , y 2 Inverse modulo L von z, so ist y 1 − y 2 ∈ L. Die Inversen modulo L von z sind alsoeindeutig bestimmt.Angenommen, z − λe ∉ L für alle λ ∈ . Es bezeichne y π (λ) das (wie wir soeben gesehen haben) eindeutig bestimmteElement von A/L, welches die Inversen modulo L von z − λe enthält. Wir zeigen, dass y π : → A/L eine analytischeFunktion ist.Sei λ 0 ∈ und y 0 ∈ y π (λ 0 ) eine Inverse modulo L von z − λ 0 e. Für λ − λ0