(ii) Wir haben T(PC)/K(l 2 )) mit dem Zylinder × [0, 1] identifiziert. Die Gelfandtopologie auf diesem Zylinderfällt jedoch nicht mit der üblichen euklidischen Topologie zusammen. Vielmehr wird eine Umgebungsbasis desPunktes (x, t) ∈ × [0, 1] mit 0 < t < 1 durch die Mengen{x} × (t − ɛ, t + ɛ) mit 0 < ɛ < min{t, 1 − t}gegeben. Eine Umbegungsbasis von (x, 1) wird geliefert durch die Mengen([x, xe iɛ ) × (1 − ɛ, 1]) ∪ ((x, xe iɛ ) × [0, 1 − ɛ] mit 0 < ɛ < 1,<strong>und</strong> eine Umgebungsbasis von (x, 0) durch((xe iɛ , x] × [0, ɛ)) ∪ ((xe iɛ , x) × [ɛ, 1]) mit 0 < ɛ < 1.(iii) Man kann Toeplitzoperatoren auch auf l p -Räumen studieren, muss allerdings beachten, dass nicht mehr jedestückweise stetige (oder gar jede beschränkte Funktion) einen beschränkten Toeplitzoperator defieniert. Beschränktman sich auf geeignete PC-Funktionen (sog. Multiplikatoren), kann man die entsprechende AlgebraT l p(PC) ganz analog studieren. Das Spektrum des erzeugenden Elementes ist allerdings i.A. nicht mehr dasIntervall [0, 1], sondern ein von p abhängender Kreisbogen von 0 nach 1. Demzufolge hat man die Kurve a()statt mit Strecken mit gewissen Kreisbögen zu einer geschlossenen Kurve zu machen. Lemma 4.1.7 <strong>und</strong> seineFolgerungen gelten aber im p ≠ 2-Fall nicht mehr. Die Kommutativität von T l p(PC)/K(l p ) muss also andersbewiesen werden.Wir haben nun gesehen, wie das lokale Prinzip arbeitet, <strong>und</strong> müssen noch seinen Beweis nachtragen. Dazu benötigenwirLemma 4.1.9. Die Voraussetzungen seien wie in Satz 4.1.1. Ist L ein maximales Links-, Rechts- oder zweiseitiges Idealvon A, so ist C ∩ L ein maximales Ideal von C.Beweis. Wir zeigen die Aussage für den Fall eines maximalen Linksideals L. Es ist klar, dass L ∩ C ein echtes (dae ∉ L) abgeschlossenes Ideal von C ist, <strong>und</strong> wir müssen seine Maximalität zeigen.Sei z ∈ C \ L. Dann ist J z := {l + az : l ∈ L, a ∈ A} ein Linksideal von A, welches L echt (da z ∈ J z \ L) enthält. Wegender Maximalität von L ist also J z = A. Insbesondere ist e ∈ J z <strong>und</strong> das Element z besitzt ein Inverses modulo L(beachte: l + az = e ⇒ l + za = e, da z im Zentrum liegt).Weiter: K z := {a ∈ A : az ∈ L} ist echtes (da e ∉ K z ) Linksideal von A, welches L enthält. Da L maximal ist, folgtK z = L. Sind insbesondere y 1 , y 2 Inverse modulo L von z, so ist y 1 − y 2 ∈ L. Die Inversen modulo L von z sind alsoeindeutig bestimmt.Angenommen, z − λe ∉ L für alle λ ∈ . Es bezeichne y π (λ) das (wie wir soeben gesehen haben) eindeutig bestimmteElement von A/L, welches die Inversen modulo L von z − λe enthält. Wir zeigen, dass y π : → A/L eine analytischeFunktion ist.Sei λ 0 ∈ <strong>und</strong> y 0 ∈ y π (λ 0 ) eine Inverse modulo L von z − λ 0 e. Für λ − λ0
Dies zeigt die Analytizität von y π . Außerdem ist diese Funktion beschränkt. Für |λ| > ‖z‖ ist nämlich z − λe invertierbar<strong>und</strong> y π (λ) 1= (z − λe)−1 ∞∑ 1 = |λ| λ n zn ≤ 1 1|λ| n=01 − Die rechte Seite dieser Abschätzung geht für λ → ∞ gegen 0. Nach dem Satz von Liouville ist y π also eine konstanteFunktion, die wegen lim λ→∞ y π (λ) = 0 sogar konstant gleich 0 sein muss. Aus y π (0) = 0 folgt aber, es gibt ein y 0 ∈ Lmit y 0 z − e ∈ L. Dann ist e ∈ L − z y 0 = L, <strong>und</strong> dies ist unmöglich, da L eine echtes Ideal von A ist.Der erhaltene Widerspruch zeigt, dass es ein λ ∈ so gibt, dass z − λe ∈ L. Aus z ∉ L folgt auch λ ≠ 0, <strong>und</strong> damit iste = 1 z + l mit einem l ∈ L ∩ C.λAngenommen, es gäbe ein abgeschlossenes Ideal I von C so, dass L ∩ C ⊆ I <strong>und</strong> L ∩ C ≠ I. Dann gäbe es einz ∈ I \ (L ∩ C) ⊆ C \ L, <strong>und</strong> nach dem oben Bewiesenen gäbe es ein λ ∈ \ {0} <strong>und</strong> ein l ∈ C ∩ C so, dass e = 1 z + l. λDie impliziert l ∈ I <strong>und</strong> folglich I = C. Also ist L ∩ C maximal.Beweis von Satz 4.1.1. Wir beschränken uns auf den Beweis von Aussage (i). Die Aussage (ii) <strong>und</strong> einige ihrer Konsequenzenwerden wir uns in der Übung ansehen.Wir werden zeigen, dass ein Element a ∈ A genau dann von links invertierbar ist, wenn die Nebenklasse φ x (a) fürjedes x ∈ M(ϕ) von links invertierbar sind. Die Invertierbarkeit von rechts untersucht man genauso.Sicher ist φ x (a) von links invertierbar, wenn a von links invertierbar ist. Wir müssen umgekehrt zeigen, dass dielinksseitige Invertierbarkeit aller Nebenklassen φ x (a) die Invertierbarkeit von a von links impliziert. Angenommendas ist falsch. Sei also a ∈ A ein Element, welches nicht von links invertierbar ist, für das aber alle φ x (a) von linksinvertierbar sind.Sei L das maximale Linksideal von A, welches die Menge {ba : b ∈ A} enthält (Wegen e ∉ {ba : b ∈ A} ist {ba : b ∈ A}ein echtes Linksideal, welches nach Krull in einem maximalen Linksideal liegt.). Sei x := L ∩ C. Nach Lemma 4.1.9ist x ein maximales Ideal von C. Wir zeigen nun, dass I x ⊆ L. Dies folgt so: Die Elemente der Gestalt ∑ k a k x k b k mitx k ∈ x <strong>und</strong> a k , b k ∈ A liegen dicht in I x . Da x k ∈ C ⊆ Zentrum von A, ist ∑ k a k x k b k = ∑ k a k b k x k ∈ L <strong>und</strong> folglichI x ⊆ L.Auf Gr<strong>und</strong> unserer Annahme ist φ x (a) von links invertierbar in A/I x . Es gibt ein b ∈ A so, dass ba − e ∈ I x . AusI x ⊆ L folgt, ba − e ∈ L. Andererseits ist ba ∈ {ba : b ∈ A} ⊆ L, woraus e ∈ L folgt. Die widerspricht der Maximalitätvon L <strong>und</strong> widerlegt damit unsere Annahme. z λ4.2 Singuläre IntegraloperatorenAuf der Einheitskreislinie betrachten wir einen Operator der Gestalt(Au)(t) = a(t)u(t) + b(t)πi∫u(s)ds (4.2.9)s − tder sich zusammensetzt aus den Operatoren der Multiplikation mit den Funktionen a <strong>und</strong> b, die wir als stückweisestetig auf voraussetzen wollen, <strong>und</strong> aus dem Operator der singulären Integration über ,(Su)(t) = 1 πi∫u(s)s − t ds,Dieses Integral existiert selbst für gutartige (z.B. hölderstetige) Funktionen nur im Sinne des Cauchyschen Hauptwertes.Für s = e ix , t = e i y hat man alsot ∈ (Su)(e i y ) = 1 πiy+2π∫yu(e ix )e ix − e i y ieix d x = 1 π limɛ↘0y+2π−ɛ∫y+ɛu(e ix )1 − e i(y−x) d xUm eine Vorstellung vom Wirken von S zu bekommen, berechnen wir Se n für e n (t) = t n , n ∈ Lemma 4.2.1. Für n ≥ 0 ist Se n = e n , <strong>und</strong> für n < 0 ist Se n = −e n68