Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

T(a) ist also genau dann Fredholmsch, wenn 0 nicht auf der durch die Strecken [a(x − 0), a(x + 0)] vervollständigtenKurve a() liegt.Wir können diese Resultate aber noch wesentlich ergänzen. Dazu bemerken wir, dass in den Bezeichungen des lokalenPrinzips (Satz 4.1.1) gilt:Lemma 4.1.7. Sei A eine C ∗ -Algebra und C C ∗ -Unteralgebra im Zentrum von A. Dann gilt für jedes a ∈ A: ‖a‖ =max x∈M(C) φx (a) .Beweis. Sei Π die die Algebra aller beschränkten Funktionen auf M(C) mit Werten in ⋃ x∈M(c) A/I x, die im Punktx einen Wert in A/I x annehmen. Das lokale Prinzip sagt dann, dass die Abbildungen von A in Π, die dem Elementa ∈ A die Funktionx → φ x (a)zuordnet, die Spektren erhält. Im C ∗ -Fall ist aber jeder Homomorphismus, der Spektren erhält, eine Isometrie. Dahergilt für jedes a ∈ A‖a‖ = sup φx (a) .x∈M(C)Dass man max statt sup schreiben kann, folgt aus Satz 4.1.1: Jede oberhalb stetige Funktion nimmt nämlich ihrMaximum an.Sind nun a, b ∈ PC, so wird den Operatoren T(a)T(b) und T(b)T(a) durch (4.1.8) die gleiche Funktion zugeordnet.Es ist also π x (T(a)T(b)) = π x T(b)T(a)) und folglich nach Lemma 4.1.7 (T(a)T(b) − T(b)T(a)) + K(l 2 ) = max πx (T(a)T(b)) − π x (T(b)T(a)) = 0.x∈Fazit: T(a)T(b) − T(b)T(a) ist kompakt!Zusammenfassung: Die Algebra T(PC)/K(l 2 ) ist kommutativ. Ihr Raum der maximalen Ideale kann mit dem Zylinder × [0, 1] identifizeirt werden. Die Gelfandtransformierte von T(a) + K(l 2 ) ist die Funktion × [0, 1] → ,(x, t) → a(x + 0)t + a(x − 0)(1 − t).Ein Operator A ∈ T(PC) ist genau dann Fredholmsch, wenn die Gelfandtransformierte von A+ K(l 2 ) keine Nullstellenbesitzt.Bemerkung 4.1.8.(i) Natürlich hätten wir auch damit beginnen können, die Kommutativität von T(PC)/K(l 2 ) zu zeigen. Unsere weiterenAufgaben hätten dann darin bestanden, den Raum der maximalen Ideale dieser kommutativen C ∗ -Algebrazu identifizieren. Ein ”Frontalangriff“ auf diesen Raum der maximalen Ideale ist aber keineswegs einfacher. DerNutzen des lokalen Prinzips in diesem Beispiel besteht gerade darin, dass es die getrennte Bestimmung derbeiden ”Faktoren“ und [0, 1] des Raumes der maximalen Ideale in × [0, 1] ermöglicht.66