Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

wobei â(t) = a(−t), ã(t) = a(1/t). Für a ∈ PC sind â und ã wieder in PC. Aus (4.1.6) folgt daher, dass sowohl V alsauch W die Algebra T(PC) auf sich abbilden. Folglich sind die beiden AbbildungenA + K(l 2 ) → V (A) + K(l 2 ), A + K(l 2 ) → W (A) + K(l 2 )wohldefinierte Isomorphismen bzw. Antiisomorphismen von T(PC)/K(l 2 ) auf sich. Wir bezeichnen diese Abbildungenwieder mit V bzw. W .Schließlich seien f , g ∈ C() mit f (1) = 0 bzw. g(−1) = 0. Aus (4.1.6) folgt dannV (T(f ) + K(l 2 )) = T( ˆf ) + K(l 2 ) bzw. W (T(g) + K(l 2 )) = T(˜g) + K(l 2 ),wobei nun ˆf (−1) = 0, ˜g(−1) = 0. Hieraus erhalten wir schließlich, dass die Abbildungenπ 1 (A) → π −1 (V (A)) bzw. π −1 (A) → π −1 (W (A))einen konkret definierten Isomorphismus von T −1 (PC) bzw. einen Antiisomorphismus von T −1 (PC) auf sich darstellen.Diese Abbildungen überführen π 1 (T(χ)) in π −1 (V (T(χ))) = π −1 (T(ˆx)) = π −1 (T(1 − χ)) bzw. π −1 (T(1 − χ)) inπ −1 (W (T(1 − χ))) = π −1 (T(˜1 − ˜x)) = π −1 (T(χ)). Da sowohl Isomorphismen als auch Antiisomorphismen Spektrenerhalten, folgt:σ T1 (PC)(π 1 (T(χ))) = σ T−1 (PC)(π −1 (T(1 − χ))) = σ T−1 (PC)(π −1 (T(χ))).Identifizieren wir also den Raum der maximalen Ideale von T x (PC) mit [0, 1] = σ(π x (T(χ x ))), so folgt aus (4.1.3)sofort, dass die Gelfand-Transformierte von π y (T(a)) die Funktion auf [0, 1]t → a(x + 0)t + a(x − 0)(1 − t) (4.1.7)ist. Kombinieren wir dies mit dem lokalen Prinzip, so finden wir, dass ein Toeplitzoperator mit stückweise stetigerErzeugerfunktion a genau dann Fredholmsch ist, wenn für jedes x ∈ die Funktion (4.1.7) keine Nullstellen auf [0, 1]besitzt. Allgemeiner ist z.B. der Operator ∑ ∏i j T(a i j) mit a i j ∈ PC genau dann Fredhomlsch, wenn für kein x ∈ die Funktion∑ ∏t → (a i j (x + 0)t + a i j (x − 0)(1 − t)) (4.1.8)ijeine Nullstelle auf [0, 1] hat. Zumindest Funktion (4.1.7) lässt sich sehr schön geometrisch interpretieren. Falls a etwaden Einheitskreis abbildet aufa(x1+0)a(x2-0)a(x1-0)a(x2+0)a(x3+0)a(x3-0)so besagt (4.1.7) gerade, dass die 0 nicht auf einer der Strecken [a(x i − 0), a(x i + 0)] liegen darf.65