Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Sei f ∈ C() eine Funktion mit f (x) = 1. Dann ist (1 − f )(x) = 0, d.h. die Nebenklasse π(T(1 − f )) liegt im Ideal xund damit erst recht im Ideal I x . Es ist also π x (T(1 − f )) = 0 bzw. π x (T(f )) = π x (T(1)) = π x (I). Wir erhalten daherπ x (T(b)) = π x (I)π x (T(b)) = π x (T(f ))π x (T(b)) = π x (T(f )T(b)).Da weiterhin der Operator T(f )T(b) − T(f b) = −H(f )H(˜b) kompakt ist, folgt π x (T(b)) = π x (T(f b)).Schließlich haben wir mit Satz 2.4.2 (und mit der Definition der Norm in Faktoralgebren) πx (T(b)) = πx (T(f b)) leq f b∞. (4.1.2)Durch Verkleinern des Trägers von f können wir erreichen, dass die rechte Seite von (4.1.2) kleiner als jede positiveZahl wird. Folglich ist π x (T(b)) = 0 bzw. π x (T(a)) = π x (T(a x )), d.h.Dies beweist die Aussage des Satzes.π x (T(a)) = a(x + 0)π x (Tχ x )) + a(x − 0)(π x (I) − π x (T(χ x ))). (4.1.3)(4.1.3) zeigt, dass wir modulo I x die Funktion a durch die Funktion a x , welche sich lokal im Punkt x genauso verhältwie die Funktion a, ersehen können. Dies erklärt die Bezeichnung ”lokales Prinzip” oder ”lokales Ideal” für I x und denübergang von A zu π x (A) nennt man ”lokalisieren“.Da T x (PC) einfach erzeugt ist, wissen wir alles über Invertierbarkeit in T x (PC), wenn wir das Spektrum des Erzeugersπ x (T(χ x )) beschreiben können (Satz 2.1.15). Dies tun wir im folgenden Satz unter Zuhilfenahme eines allgemeinenResultates von Hartmann und Winter:Satz 4.1.5 (Hartmann, Winter). Sei a ∈ L ∞ () reellwertig. Dann fallen sowohl das Spektrum von T(a) als auch dasSpektrum von T(a) + K(l 2 ) zusammen mit dem Intervall [ess inf a(t), ess sup a(t)].Beweis. Böttcher/Silbermann, Analysis of Toeplitz operators, Abschnitt 2.36.Satz 4.1.6. Für jedes x ∈ ist das Spektrum von π x (Tχ x )) gleich [0, 1].Beweis. O.E.d.A. nehmen wir x = 1 an und schreiben χ für χ 1 . Nach Hartmann/Winter ist das Spektrum derNebenklasse T(χ) + K(l 2 ) gleich [0, 1], so dass aus dem lokalen Prinzip folgt:⋃[0, 1] = σ T(PC)/K(l 2 ) (T(χ) + K(l2 )) = σ Ty (PC)(π y (T(χ))). (4.1.4)Falls y ∈ \{−1, 1}, so ist π y (T(χ)) entweder gleich π y (0) oder gleich π y (I), wie aus (4.1.3) sofort folgt. In diesemFall ist also σ Ty (PC)(π y (T(χ))) entweder {0} oder {1}. Aus (4.1.4) schließen wir also unmittelbar auf:y∈(0, 1) ⊆ σ(π 1 (T(χ))) ∪ σ(π −1 (T(χ))) ⊆ [0, 1]und da Spektren abgeschlossen sind, folgt hieraus schließlichσ(π 1 (Tχ))) ∪ σ(π −1 (T(χ))) = [0, 1]. (4.1.5)Wir zeigen nun, dass σ(π 1 (T(χ))) = σ(π −1 (T(χ))), woraus sich mit (4.1.5) die Behauptung ergibt. Dafür definierenwir Operatoren J und C von l 2 auf l 2 durchJ : (x k ) ∞ k=0 → ((−1)k x k ) ∞ k=0und C : (x k ) ∞ k=0 → ( ¯x k) ∞ k=0 .Der Operator J ist linear, C ist antilinear und es gilt J 2 = C 2 = I. Daher definieren die AbbildungenV : A → JAJ bzw. W (T(a)) = T(ã),einen Isomorphismus bzw. einen ”Antiisomorphismus“ (das soll heißen: W (AB) = W (A)W (B) für alle A, B; beachtenSie aber, dass W linear ist: W (αA) = C(αA) ∗ C = CᾱA ∗ C = αCA ∗ C = αW (A) für alle α ∈ , A ∈ L(l 2 )) von L(l 2 ) aufL(l 2 ). Man rechnet leicht nach, dass für a ∈ L ∞ () gilt:V (T(a)) = T(â) bzw. W (T(a)) = T(ã), (4.1.6)64