Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Beispiel 4.1.2. Das kleinstmögliche C, welches wir wählen können, ist C = e. Dann ist offenbar {0} das einzige echteIdeal von C, M(C) besteht also nur aus einem Element (dem Nullideal), und das durch {0} erzeugte Ideal von A istnatürlich ebenfalls {0}. Die Aussage des Satzes reduziert sich also auf die Trivialitäta ∈ A invertierbar ⇐⇒ a + {0} invertierbar in A/{0}.Beispiel 4.1.3. Sei A kommutativ. Dann können wir C = A wählen. Für x ∈ M(C) ist dann offenbar I x = x. NachLemma 2.1.3 ist A/I x∼ = für jedes x ∈ M(C) und φx (a) ist gerade der Wert der Gelfandtransformierten â von a ander Stelle x. Die Aussage des Satzes reduziert sich also aufwas im wesentlichen die Aussage von Satz 2.1.5 ist.a ∈ A invertierbar ⇐⇒ â(x) invertierbar für alle x ∈ M(C),Zurück zur Fredholmtheorie für Operatoren in T(PC). Wir haben oben eine Unteralgebra im Zentrum von A =T(PC)/K(l 2 ) gefunden: die Algebra C = T(C)/K(l 2 ). Ihren Raum der maximalen Ideale haben wir bereits in Abschnitt2.4 bestimmt: er ist homöomorph zu und das dem Punkt x ∈ entprechende maximale Ideal von C ist{π(T(f )) : f stetig auf , f (x) = 0}. (4.1.1)Dem lokalen Prinzip von Allan/Douglas entsprechend sei I x das kleinste abgeschlossene Ideal von T(PC)/K(l 2 ), welchesdie Menge 4.1.1 enthält, und wir bezeichnen der Bequemlichkeit halber den HomorphismusT(PC) → (T(PC)/K(l 2 ))/I x ,A → π(A) + I xmit π x . Satz 4.1.1 liefert:Ein Operator A ∈ T(PC) ist genau dann Fredholmsch, wenn für jedes x ∈ die Nebenklasse π x (A) in T x (PC) :=(T(PC)K(l 2 ))/I x invertierbar ist.Um dieses Resultat ausnutzen zu können, benötigen wir genauere Kenntnisse über die Faktoralgebra T x (PC). Da dieAlgebra T x (PC) von den Toeplitzoperatoren T(a), a ∈ PC, erzeugt wird, wird die Algebra T x (PC) offenbar von denNebenklassen π x (T(a)), a ∈ PC, erzeugt.Für jedes x ∈ sei χ x die stückweise konstante Funktion, die auf dem Bogen von x zu −x (bzgl. der üblichenOrientierung) den Wert +1 und auf dem Bogen von −x bis x den Wert 0 annimmt.Satz 4.1.4. Jede der Algebren T x (PC) ist einfach erzeugt und die Nebenklasse π x (T(χ x )) ist ein Erzeuger von T x (PC).Beweis. Wir zeigen, dass für jede stückweise stetige Funktion a die Nebenklasse π x (T(a)) eine Linearkombinationder Nebenklassen π x (I) und π x (T(χ x )) ist. Seien also a(x ± 0) die einseitigen Grenzwerte von a an der Stelle x undseia x := a(x + 0)χ x + a(x − 0)(1 − χ x ).Die Funktion b := a − a x ist stetig im Punkt x und nimmt dort den Wert 0 an:⇒63